4.4 同角三角函数的基本关系（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

4.4　同角三角函数的基本关系 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第4章 三角函数 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 ★[学习目标] 1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式； 2．理解同角三角函数的基本关系式； 3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 通常用坡度来表示斜坡的斜度，其数值往往是坡角(斜坡与水平面所成的角)的正切值．设坡角为α， 如果tan α＝0.8，小明沿着斜坡走了10 m，想知道升高了多少米，就需要求出坡角α的正弦值．这就需要研究同角三角函数之间的关系． [知识点一]　同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 eq \f(sin α,cos α)＝tan α，α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 1.“同角”一词的含义是什么？ 提示：注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β ＝1就不一定成立． 2．两个公式成立的条件分别是什么？ 提示：公式sin2α＋cos2α＝1对α∈R成立， 公式eq \f(sin α,cos α)＝tan α适用的条件为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)). [知识点二]　同角三角函数基本关系式的变形公式 sin2 α＋cos2α＝1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sin α＝±\r(1－cos2α)，,cos α＝±\r(1－sin2α)，,sin α±cos α2＝1±2sin αcos α.)) tan α＝eq \f(sin α,cos α)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝tan αcos α，,cos α＝\f(sin α,tan α).)) 1．已知sin α＝2cos α，则tan α＝(　　) A．－2　　B．－eq \f(1,2)　　　C.eq \f(1,2)　　　D．2 解析：D　[因为sin α＝2cos α，所以eq \f(sin α,cos α)＝2， ∴tan α＝2.] 2．已知θ是第三象限角，且cos θ＝－eq \f(3,5)，则sin θ＝(　　) A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(4,5) 解析：A　[因为θ是第三象限角，且cos θ＝－eq \f(3,5)，所以sin θ＝－eq \r(1－cos2 θ)＝－eq \f(4,5).] 3．若eq \f(sin α－2cos α,3sin α＋cos α)＝eq \f(1,2)，则tan α＝(　　) A．－5 B．－3 C．3 D．5 解析：A　[由题意得，2(sin α－2cos α)＝3sin α＋cos α，sin α＝－5cos α，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－5.] 4．若sin θ＝eq \f(3,5)，tan θ<0，则cos θ＝________. 解析：由sin θ＝eq \f(3,5)>0，tan θ<0，得cos θ<0， 故cos θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(4,5). 答案：－eq \f(4,5) 　利用基本关系式求值 　(1)已知sin α＝－eq \f(1,5)，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)已知tan α＝2，求sin α与cos α的值． [解]　(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2＝eq \f(24,25). 又∵α是第三象限角，∴cos α<0， 即cos α＝－eq \f(2\r(6),5)，∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2\r(6))))＝eq \f(\r(6),12). (2)∵tan α＝2>0，∴α是第一或第三象限角． ∵tan α＝2，∴eq \f(sin α,cos α)＝2，即sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝eq \f(1,5). 当α为第一象限角时，cos α＝eq \f(\r(5),5)，sin α＝2cos α＝eq \f(2\r(5),5)；当α为第三象限角时，cos α＝－eq \f(\r(5),5)，sin α＝2cos α＝－eq \f(2\r(5),5). 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)，求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ，求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． [变式训练] 1．已知tan α＝eq \f(4,3)，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(4,3)，得sin α＝eq \f(4,3)cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②，得eq \f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq \f(9,25). 又α在第三象限， ∴cos α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,3)cos α＝－eq \f(4,5). 　正弦、余弦的齐次式化切求值 　已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)eq \f(\r(3)cos α－sin α,\r(3)cos α＋sin α)； (2)2sin2α－3sin αcos α. [解]　(1)原式＝eq \f(\f(\r(3)cos α－sin α,cos α),\f(\r(3)cos α＋sin α,cos α))＝eq \f(\r(3)－tan α,\r(3)＋tan α)＝eq \f(\r(3)－3,\r(3)＋3)＝eq \r(3)－2. (2)原式＝eq \f(2sin2α－3sin αcos α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(\f(2sin2α－3sin αcos α,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq \f(2tan2α－3tan α,tan2α＋1)＝eq \f(2×32－3×3,32＋1)＝eq \f(9,10). 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． [变式训练] 2．已知tan α＝2，则 (1)eq \f(2sin α－3cos α,4sin α－9cos α)＝________. (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________. 解析：(1)eq \f(2sin α－3cos α,4sin α－9cos α)＝eq \f(2tan α－3,4tan α－9)＝eq \f(2×2－3,4×2－9)＝－1. (2)4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α ＝eq \f(4sin2α－3sin αcos α－5cos2α,sin2α＋cos2α)，这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝eq \f(4tan2α－3tan α－5,tan2α＋1)＝eq \f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1. 答案：(1)－1　(2)1 　三角函数式的化简 　化简：(1)eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)；(2)eq \f(2sin2α－1,1－2cos2α). [解]　(1)eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)＝eq \f(sin α1－sin α－sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α)＝eq \f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq \f(－2sin2α,cos2α)＝－2tan2α. (2)原式＝eq \f(2sin2 α－1,1－21－sin2 α)＝eq \f(2sin2α－1,2sin2α－1)＝1. 三角函数式化简的关键是公式的灵活运用，要分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [变式训练] 3．(1)化简cos4α＋sin2α(1＋cos2α)； (2)已知α为第一象限角，化简eq \r(\f(1,cos2 α)－1). 解：(1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α ＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1. (2)α为第一象限角，故tan α＞0，所以原式＝eq \r(\f(1－cos2 α,cos2 α))＝eq \r(\f(sin2 α,cos2 α))＝eq \r(tan2 α)＝tan α. 　利用同角三角函数关系证明 　求证：eq \f(1－2sin αcos α,cos2α－sin2α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α). [证明]　左边＝eq \f(sin2α－2sin αcos α＋cos2α,cos2α－sin2α) ＝eq \f(cos α－sin α2,cos α－sin αcos α＋sin α)＝eq \f(cos α－sin α,cos α＋sin α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝右边． ∴原等式成立． 三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差异，有目的的化简． (1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两边同时证． (3)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． [变式训练] 4．求证：eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(cos αtan α,1＋cos α)＝1. 证明：eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(cos αtan α,1＋cos α)＝eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(cos α·\f(sin α,cos α),1＋cos α)＝eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(sin2α,1－cos2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1. [答案]　－eq \f(\r(2),3) 　　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 　已知sin θ＋cos θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cos θ的值为___________． [解析]　∵sin θ＋cos θ＝eq \f(4,3)，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝eq \f(16,9)，2sin θ cos θ＝eq \f(7,9)，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ cos θ＝eq \f(2,9)，又∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－eq \f(\r(2),3). (1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是： ①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； ②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sinα－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α. (2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号． (3)由sin2α＋cos2α＝1联立方程组也可以解得，但要注意根据角的范围取舍解，这种方法计算量较大． [变式训练] 5．已知sin α·cos α＝－eq \f(1,8)，α∈(0，π)，求cos α－sin α. 解：因为sin αcos α＝－eq \f(1,8)＜0，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cos α－sin α＜0， cos α－sin α＝－eq \r(1－2sin αcos α)＝－eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8))))＝－eq \f(\r(5),2). 1．若α为第二象限角，且sin α＝eq \f(1,3)，则tan α＝(　　) A．2eq \r(2)　B．－2eq \r(2)　　C.eq \f(\r(2),4)　　D．－eq \f(\r(2),4) 解析：D　[因为α为第二象限角，则cos α＝－eq \r(1－sin2 α)＝－eq \f(2\r(2),3)，则tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(\r(2),4).] 2．若tan α＝2，则sin2α－cos2α的值为(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 解析：C　[方法一：由tan α＝2，得sin α＝2cos α，且sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，得cos2α＝eq \f(1,5)，所以sin2α－cos2α＝eq \f(3,5). 方法二：由tan α＝2，得sin2α－cos2α＝eq \f(sin2α－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(tan2α－1,tan2α＋1)＝eq \f(3,5).] 3．若sin θ－cos θ＝eq \f(1,2)，则sin θcos θ＝(　　) A．－eq \f(3,8) B.eq \f(3,8) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4) 解析：B　[因为sin θ－cos θ＝eq \f(1,2)，所以(sin θ－cos θ)2＝eq \f(1,4)，所以sin2 θ＋cos2 θ－2sin θcos θ＝eq \f(1,4)，所以1－2sin θcos θ＝eq \f(1,4)，所以sin θcos θ＝eq \f(3,8).] 4．已知sin αcos α＝eq \f(1,2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)的值为__________． 解析：原式＝eq \f(sin α,cos α)＋eq \f(cos α,sin α)＝eq \f(1,sin acos α)＝2. 答案：2 5．求证：sin4α－cos4α＝2sin2α－1. 证明：左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝右边．所以等式成立. $$ 4.4　同角三角函数的基本关系 ★[学习目标] 1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式； 2．理解同角三角函数的基本关系式； 3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 通常用坡度来表示斜坡的斜度，其数值往往是坡角(斜坡与水平面所成的角)的正切值．设坡角为α， 如果tan α＝0.8，小明沿着斜坡走了10 m，想知道升高了多少米，就需要求出坡角α的正弦值．这就需要研究同角三角函数之间的关系． [知识点一]　同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α，α≠kπ＋(k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 1.“同角”一词的含义是什么？ 提示：注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β ＝1就不一定成立． 2．两个公式成立的条件分别是什么？ 提示：公式sin2α＋cos2α＝1对α∈R成立， 公式＝tan α适用的条件为. [知识点二]　同角三角函数基本关系式的变形公式 sin2 α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒ 1．已知sin α＝2cos α，则tan α＝(　　) A．－2　　B．－　　　C.　　　D．2 解析：D　[因为sin α＝2cos α，所以＝2， ∴tan α＝2.] 2．已知θ是第三象限角，且cos θ＝－，则sin θ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[因为θ是第三象限角，且cos θ＝－，所以sin θ＝－＝－.] 3．若＝，则tan α＝(　　) A．－5 B．－3 C．3 D．5 解析：A　[由题意得，2(sin α－2cos α)＝3sin α＋cos α，sin α＝－5cos α，tan α＝＝－5.] 4．若sin θ＝，tan θ<0，则cos θ＝________. 解析：由sin θ＝>0，tan θ<0，得cos θ<0， 故cos θ＝－＝－. 答案：－ 　利用基本关系式求值 　(1)已知sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)已知tan α＝2，求sin α与cos α的值． [解]　(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－2＝. 又∵α是第三象限角，∴cos α<0， 即cos α＝－， ∴tan α＝＝－×＝. (2)∵tan α＝2>0，∴α是第一或第三象限角． ∵tan α＝2，∴＝2，即sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝. 当α为第一象限角时，cos α＝，sin α＝2cos α＝；当α为第三象限角时，cos α＝－，sin α＝2cos α＝－. 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)，求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ，求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． [变式训练] 1．已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②，得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α在第三象限， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 　正弦、余弦的齐次式化切求值 　已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)； (2)2sin2α－3sin αcos α. [解]　(1)原式＝＝＝＝－2. (2)原式＝＝＝＝＝. 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． [变式训练] 2．已知tan α＝2，则 (1)＝________. (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________. 解析：(1)＝＝＝－1. (2)4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α ＝，这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，则4sin2α－3sin αcos α－ 5cos2α＝＝＝1. 答案：(1)－1　(2)1 　三角函数式的化简 　化简：(1)－；(2). [解]　(1)－＝＝ ＝＝－2tan2α. (2)原式＝＝＝1. 三角函数式化简的关键是公式的灵活运用，要分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [变式训练] 3．(1)化简cos4α＋sin2α(1＋cos2α)； (2)已知α为第一象限角，化简. 解：(1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α ＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1. (2)α为第一象限角，故tan α＞0，所以原式＝＝＝＝tan α. 　利用同角三角函数关系证明 　求证：＝. [证明]　左边＝ ＝＝＝＝右边． ∴原等式成立． 三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差异，有目的的化简． (1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两边同时证． (3)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． [变式训练] 4．求证：·＝1. 证明：·＝·＝·＝＝＝1. 　　　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为___________． [解析]　∵sin θ＋cos θ＝，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，2sin θ cos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ cos θ＝，又∵θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－. [答案]　－ (1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是： ①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； ②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sinα－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α. (2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号． (3)由sin2α＋cos2α＝1联立方程组也可以解得，但要注意根据角的范围取舍解，这种方法计算量较大． [变式训练] 5．已知sin α·cos α＝－，α∈(0，π)，求cos α－sin α. 解：因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0， cos α－sin α＝－＝－＝－. 1．若α为第二象限角，且sin α＝，则tan α＝(　　) A．2　B．－2　　C.　　D．－ 解析：D　[因为α为第二象限角，则cos α＝－＝－，则tan α＝＝－.] 2．若tan α＝2，则sin2α－cos2α的值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[方法一：由tan α＝2，得sin α＝2cos α，且sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，得cos2α＝，所以sin2α－cos2α＝. 方法二：由tan α＝2，得sin2α－cos2α＝＝＝.] 3．若sin θ－cos θ＝，则sin θcos θ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：B　[因为sin θ－cos θ＝，所以(sin θ－cos θ)2＝，所以sin2 θ＋cos2 θ－2sin θcos θ＝，所以1－2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝.] 4．已知sin αcos α＝，则tan α＋的值为__________． 解析：原式＝＋＝＝2. 答案：2 5．求证：sin4α－cos4α＝2sin2α－1. 证明：左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝右边．所以等式成立. [基础过关] 1．已知cos α＝，α∈(0，π)，则sin α＝(　　) A．－　　B．－　　　C.　　　D. 解析：D　[因为cos α＝，α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝1，sin α＞0，所以sin α＝＝＝.] 2．已知tan α＝－2，则sin2α＋2sin αcos α的值为(　　) A. B．1 C．0 D．－ 解析：C　[由题意得，＝＝＝0.] 3．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：B　[由α∈(0，π)，将sin α＋cos α＝两边平方得2sin αcos α＝－1＜0，而sin α＞0，∴cos α＜0，故α为钝角．] 4．若2sin2θ＋3cos2θ＝3，则cos θ＝(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 解析：C　[由题意知，2sin2θ＋3cos2θ＝3，因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以2sin2θ＋3cos2θ＝2(sin2θ＋cos2θ)＋cos2θ＝3，得cos2θ＝1，此时sin2θ＝0，θ＝kπ，k∈Z，所以cos θ＝±1.] 5．已知sin α－3cos α＝0，则＝(　　) A．－ B. C. D．－3 解析：A　[∵sin α－3cos α＝0，即sin α＝3cos α， ∴＝＝－.] 6．化简：sin4α－sin2α＋cos2α＝___________. 解析：sin4α－sin2α＋cos2α＝sin2α(sin2α－1)＋cos2α＝－sin2αcos2α＋cos2α＝cos2α(1－sin2α)＝cos4α. 答案：cos4α 7．已知tan θ＝2，则＝_____________. 解析：对原式分子分母同时除以cos θ，则＝＝. 答案： 8．若cos α＝－，α为第二象限的角，则tan α·sin α＝___________. 解析：∵cos α＝－，α为第二象限的角，∴sin α＝＝，∴tan α＝＝－2，∴tan α·sin α＝－2×＝－. 答案：－ 9．若sin θ·cos θ＝，θ∈，则cos θ－sin θ＝___________. 解析：(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 故|cos θ－sin θ|＝，因为θ∈， 故cos θ－sin θ＜0，故cos θ－sin θ＝－. 答案：－ 10．化简： (1)； (2)cos2θsin θ. 解：(1)原式＝＝＝cos θ. (2)原式＝cos2θsin θ ＝·cos2θsin θ＝·sin θ＝cos θ. [能力提升] 11．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：B　[P点的纵坐标为－6＜0，且cos α＝－＜0，所以P在第三象限，所以sin α＝－＝－，tan α＝＝，＋＝－＋＝－＝－.] 12．已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　) A. B. C. D．－ 解析：B　[因为－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，又，即2cos2α－cos α－＝0，解得cos α＝，sin α＝－，所以＝＝.] 13．已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则m的值为___________． 解析：由sin2α＋cos2α＝1，得2＋2＝1，∴m＝4或，又∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，把m的值代入检验得， m＝4. 答案：4 14．设α是第二象限角，化简：·. 解：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以·＝·＝·＝·＝·＝－1，所以·＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．已知cos α＝，α∈(0，π)，则sin α＝(　　) A．－　　B．－　　　C.　　　D. 解析：D　[因为cos α＝，α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝1，sin α＞0，所以sin α＝＝＝.] 2．已知tan α＝－2，则sin2α＋2sin αcos α的值为(　　) A. B．1 C．0 D．－ 解析：C　[由题意得，＝＝＝0.] 3．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：B　[由α∈(0，π)，将sin α＋cos α＝两边平方得2sin αcos α＝－1＜0，而sin α＞0，∴cos α＜0，故α为钝角．] 4．若2sin2θ＋3cos2θ＝3，则cos θ＝(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 解析：C　[由题意知，2sin2θ＋3cos2θ＝3，因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以2sin2θ＋3cos2θ＝2(sin2θ＋cos2θ)＋cos2θ＝3，得cos2θ＝1，此时sin2θ＝0，θ＝kπ，k∈Z，所以cos θ＝±1.] 5．已知sin α－3cos α＝0，则＝(　　) A．－ B. C. D．－3 解析：A　[∵sin α－3cos α＝0，即sin α＝3cos α， ∴＝＝－.] 6．化简：sin4α－sin2α＋cos2α＝___________. 解析：sin4α－sin2α＋cos2α＝sin2α(sin2α－1)＋cos2α＝－sin2αcos2α＋cos2α＝cos2α(1－sin2α)＝cos4α. 答案：cos4α 7．已知tan θ＝2，则＝_____________. 解析：对原式分子分母同时除以cos θ，则＝＝. 答案： 8．若cos α＝－，α为第二象限的角，则tan α·sin α＝___________. 解析：∵cos α＝－，α为第二象限的角，∴sin α＝＝，∴tan α＝＝－2，∴tan α·sin α＝－2×＝－. 答案：－ 9．若sin θ·cos θ＝，θ∈，则cos θ－sin θ＝___________. 解析：(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 故|cos θ－sin θ|＝，因为θ∈， 故cos θ－sin θ＜0，故cos θ－sin θ＝－. 答案：－ 10．化简： (1)； (2)cos2θsin θ. 解：(1)原式＝＝＝cos θ. (2)原式＝cos2θsin θ ＝·cos2θsin θ＝·sin θ＝cos θ. [能力提升] 11．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：B　[P点的纵坐标为－6＜0，且cos α＝－＜0，所以P在第三象限，所以sin α＝－＝－，tan α＝＝，＋＝－＋＝－＝－.] 12．已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　) A. B. C. D．－ 解析：B　[因为－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，又，即2cos2α－cos α－＝0，解得cos α＝，sin α＝－，所以＝＝.] 13．已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则m的值为___________． 解析：由sin2α＋cos2α＝1，得2＋2＝1，∴m＝4或，又∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，把m的值代入检验得， m＝4. 答案：4 14．设α是第二象限角，化简：·. 解：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以·＝·＝·＝·＝·＝－1，所以·＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$