4.3 任意角的三角函数（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

4.3　任意角的三角函数 4．3.1　任意角的三角函数定义 4．3.2　单位圆与三角函数 ★[学习目标] 1．使学生理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 3．已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；记住特殊角的三角函数值； 4．使学生掌握正弦、余弦、正切函数的定义域； 5．使学生掌握正弦、余弦、正切函数的值在各象限内的符号． 问题情境：(1)初中锐角的三角函数是如何定义的？(让学生回答) 在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c 锐角A的正弦sin A＝，A的余弦cos A＝，A的正切tan A＝ 角的概念推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们如何对三角函数重新定义呢？ [知识点一]　任意角三角函数 1.定义：设角α为平面直角坐标系Oxy中的任意一个角，如图，在其终边上任取一点P(x，y)(点P与原点O不重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴与点M，则|OM|＝|x|，|MP|＝|y|.设点P到原点O的距离为r，则r＝|OP|＝. 有如下定义 (1)称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝； (2)称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝； (3)称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)；sin α，cos α，tan α都是以角α为自变量的函数分别称为正弦函数，余弦函数，正切函数． 正弦函数，余弦函数和正切函数都是三角函数． 2．三角函数的定义域 函　 数 定　义　域 正弦sin α R 余弦cos α R 正切tan α 1.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． [知识点二]　单位圆与三角函数 1．单位圆：半径为1的圆称为单位圆，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，1为半径的圆就是单位圆． 2．利用单位圆定义任意角的三角函数 角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，r＝|OP|＝1，则角α的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为(cos α，sin α)，如图所示． 一般地，角α的终边与单位圆的交点为点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x≠0) 3．三角函数值的符号 (1)图形表示： 正弦：一二 象限正，三四 象限负； 余弦：一四 象限正，二三 象限负； 正切：一三 象限正，二四 象限负． (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定． 4．常见的角的三角函数值见下表： α(角度制) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° α(弧度制) 0 sin α 0 1 cos α 1 0 － － － tan α 0 1 不存在 － －1 － 1．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则tan α＝(　　) A.　　B．－　　　C.　　　D．－ 解析：B　[tan α＝＝－.] 2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：B　[∵角α终边过点(4，－3)，∴x＝4，y＝－3，r＝|OP|＝＝5，∴sin α＝＝－.] 3．若sin α<0且tan α>0，则α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[因为sin α<0且tan α>0，所以角α所在的象限是第三象限．] 4．已知角α的终边经过点P(－1,3)，则tan α＝_____________. 解析：由题意tan α＝＝－3. 答案：－3 　利用三角函数定义求三角函数值 　(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. [解析]　∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，则sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－. [答案]　－　　－ (2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上， 求sin α，cos α，tan α的值． [解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 已知角α的终边上一点P(x，y)，求三角函数值时，先求r＝|OP|(O为原点)，再根据定义sin α＝，cos α＝，tan α＝确定三角函数值． 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论． [变式训练] 1．(1)已知角α的终边上一点P(m，)，且cos α＝，则m＝________. 解析：由题意得x＝m，y＝，∴r＝|OP|＝，∴cos α＝＝＝， 很明显m>0， 解得m＝. 答案： (2)已知角α的终边经过点P(－12，－5)，求α的正弦、余弦和正切值． 解：因为角α的终边经过点P(－12，－5)， 所以sin α＝＝－， cos α＝＝－，tan α＝＝. 　利用单位圆求三角函数值 　在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边与单位圆分别交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A．－　　B．－　　　C.　　　D. [解析]　B　[∵角α，β的终边与单位圆分别交于点和， 故由定义知sin α＝，cos β＝－， ∴sin αcos β＝×＝－.] 单位圆法求三角函数值时的注意点 (1)找点：确定角α的终边与单位圆的交点P(x，y)． (2)下结论：根据三角函数的定义得sin α＝y； cos α＝x；tan α＝(x≠0)． [变式训练] 2．设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[∵点P在单位圆上，则|OP|＝1. 即＝1，解得a＝±. ∵a<0，∴a＝－. ∴P点的坐标为. ∴sin α＝－，cos α＝. ∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.] 　三角函数在各象限的符号运用 　(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　C　[因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．] (2)确定下列三角函数值的符号： ①sin 156°；②cosπ；③cos(－450°)； ④tan；⑤sin；⑥tan 556°. [解]　①∵156°是第二象限角， ∴sin 156°＞0. ②∵π为第三象限角，∴cos π＜0. ③∵－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，∴cos(－450°)＝0. ④∵－π＝－2π－π是第四象限角， ∴tan＜0. ⑤∵－＝－2π＋π是第二象限角， ∴sin＞0. ⑥∵556°＝360°＋196°是第三象限角， ∴tan 556°＞0. 判断三角函数值正负的两个步骤 1．定象限：确定角α所在的象限． 2．定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． [变式训练] 3．判断下列各式的符号： (1)tan 120°sin 269°； (2)cos 4tan. 解：(1)因为120°角是第二象限角， 所以tan 120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin 269°<0. 所以tan 120°sin 269°>0. (2)因为π<4<，所以4弧度角是第三象限角， 所以cos 4<0，因为－＝－6π＋， 所以－是第一象限角，所以tan>0， 所以cos 4tan<0. 1．已知角α的终边过点P(－1,2)，则tan α＝(　　) A．2　　B．－2　　　C．－　　　D. 解析：B　[由题意可知tan α＝＝－2.] 2．若－<α<0，则点Q(cos α，sin α)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[因为－<α<0，所以cos α>0，且sin α<0，所以点Q(cos α，sin α)在第四象限．] 3．在直角坐标系xOy中，已知sin α＝－，cos α＝，那么角α的终边与单位圆的交点O的坐标为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[因为sin α＝－，cos α＝，所以角α的终边与单位圆交点O的坐标为.] 4．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝(　　) A.　 B．－　　 C.　　D．－ 解析：D　[由题意知，角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，即点(1，－)，则r＝＝2， 根据三角函数的定义，可得sin α＝＝－.] 5．已知P(－4，m)是角α终边上一点，且sin α＝－. (1)求实数m的值； (2)角α终边与单位圆交点A的坐标． 解：(1)因为P(－4，m)是角α终边上一点，且sin α＝－，所以sin α＝＝－，且m＜0，解得m＝－3. (2)所以P(－4，－3)，则|OP|＝＝5，所以角α的终边与单位圆交于A. [基础过关] 1．已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　) A．－　　B.　　C．－　　D．－ 解析：B　[因为点P是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α＝.] 2．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[由三角函数的定义可得sin α－cos α＝－＝－.] 3．若sin θ tan θ＜0且sin θ cos θ＞0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：C　[sin θ tan θ＝sin θ·＝＜0，所以cos θ＜0，又sin θ cos θ＞0，所以sin θ＜0，故θ是第三象限角．] 4．已知角α的终边过点P(4，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α的值为(　　) A．± B．－ C．± D. 解析：D　[角α的终边过点P(4，m)(m≠0)，故可得sin α＝＝，解得m2＝9，故cos α＝＝.] 5．设角α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值是(　　) A．－ B. C．－或 D．1 解析：A　[因为角α的终边上有一点P(4，－3)，所以x＝4，y＝－3，r＝|OP|＝＝5，可得sin α＝＝－，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－.] 6．若sin α cos α＜0，则α是第__________象限的角． 解析：由于sin α cos α＜0，若sin α＞0，则cos α＜0，则α是第二象限角，若sin α＜0，则cos α＞0，则α是第四象限角． 答案：二或四 7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝＝－，∴a＝－12. ∴r＝＝13. ∴sin α＝－，cos α＝. ∴sin α＋cos α＝－. 答案：－ 8．sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝___________. 解析：∵sin 90°＝1，cos 0°＝1，sin 270°＝－1， cos 180°＝－1，∴sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝1＋2＋3－10＝－4. 答案：－4 9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________. 解析：因为sin θ＝－＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－3(正值舍去)． 答案：－3 10．已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值． 解：在直线y＝2x上任取一点P(x,2x)(x≠0)， 则r＝＝|x|. ①若x＞0，则r＝x，从而sin α＝＝， cos α＝＝，∴cos α＋sin α＝. ②若x＜0，则r＝－x，从而sin α＝＝－， cos α＝＝－，∴cos α＋sin α＝－. [能力提升] 11．已知f(sin x)＝x且x∈，则f的值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[令sin x＝，由x∈，可得x＝，所以f＝f＝.] 12．坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于第________象限(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 解析：B　[∵＜5＜2π，∴sin 5＜0，cos 5＞0，则点P位于第二象限．] 13．若θ∈，则sin θ与tan θ的大小关系是___________． 解析：因为θ∈，设角θ终边上任意一点为P(x，y)，其中x＞0，y＞0，则r＝|OP|＝，由三角函数的定义可得sin θ＝，tan θ＝，又由r＞x＞0，可得＜，即sin θ＜tan θ. 答案：sin θ＜tan θ 14．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值． 解：设点M的坐标为(x1，y1)．由题意，可知sin α＝－，即y1＝－.因为点M在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1， 即x＋2＝1，解得x1＝或－. 所以cos α＝，tan α＝－1，或cos α＝－，tan α＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　) A．－　　B.　　C．－　　D．－ 解析：B　[因为点P是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α＝.] 2．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[由三角函数的定义可得sin α－cos α＝－＝－.] 3．若sin θ tan θ＜0且sin θ cos θ＞0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：C　[sin θ tan θ＝sin θ·＝＜0，所以cos θ＜0，又sin θ cos θ＞0，所以sin θ＜0，故θ是第三象限角．] 4．已知角α的终边过点P(4，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α的值为(　　) A．± B．－ C．± D. 解析：D　[角α的终边过点P(4，m)(m≠0)，故可得sin α＝＝，解得m2＝9，故cos α＝＝.] 5．设角α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值是(　　) A．－ B. C．－或 D．1 解析：A　[因为角α的终边上有一点P(4，－3)，所以x＝4，y＝－3，r＝|OP|＝＝5，可得sin α＝＝－，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－.] 6．若sin α cos α＜0，则α是第__________象限的角． 解析：由于sin α cos α＜0，若sin α＞0，则cos α＜0，则α是第二象限角，若sin α＜0，则cos α＞0，则α是第四象限角． 答案：二或四 7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝＝－，∴a＝－12. ∴r＝＝13. ∴sin α＝－，cos α＝. ∴sin α＋cos α＝－. 答案：－ 8．sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝___________. 解析：∵sin 90°＝1，cos 0°＝1，sin 270°＝－1， cos 180°＝－1，∴sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝1＋2＋3－10＝－4. 答案：－4 9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________. 解析：因为sin θ＝－＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－3(正值舍去)． 答案：－3 10．已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值． 解：在直线y＝2x上任取一点P(x,2x)(x≠0)， 则r＝＝|x|. ①若x＞0，则r＝x，从而sin α＝＝， cos α＝＝，∴cos α＋sin α＝. ②若x＜0，则r＝－x，从而sin α＝＝－， cos α＝＝－，∴cos α＋sin α＝－. [能力提升] 11．已知f(sin x)＝x且x∈，则f的值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[令sin x＝，由x∈，可得x＝，所以f＝f＝.] 12．坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于第________象限(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 解析：B　[∵＜5＜2π，∴sin 5＜0，cos 5＞0，则点P位于第二象限．] 13．若θ∈，则sin θ与tan θ的大小关系是___________． 解析：因为θ∈，设角θ终边上任意一点为P(x，y)，其中x＞0，y＞0，则r＝|OP|＝，由三角函数的定义可得sin θ＝，tan θ＝，又由r＞x＞0，可得＜，即sin θ＜tan θ. 答案：sin θ＜tan θ 14．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值． 解：设点M的坐标为(x1，y1)．由题意，可知sin α＝－，即y1＝－.因为点M在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1， 即x＋2＝1，解得x1＝或－. 所以cos α＝，tan α＝－1，或cos α＝－，tan α＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$4.3　任意角的三角函数 4．3.1　任意角的三角函数定义 4．3.2　单位圆与三角函数 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第4章 三角函数 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 ★[学习目标] 1．使学生理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 3．已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；记住特殊角的三角函数值； 4．使学生掌握正弦、余弦、正切函数的定义域； 5．使学生掌握正弦、余弦、正切函数的值在各象限内的符号． 问题情境：(1)初中锐角的三角函数是如何定义的？(让学生回答) 在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c 锐角A的正弦sin A＝eq \f(a,c)，A的余弦cos A＝eq \f(b,c)，A的正切tan A＝eq \f(a,b) 角的概念推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们如何对三角函数重新定义呢？ [知识点一]　任意角三角函数 1.定义：设角α为平面直角坐标系Oxy中的任意一个角，如图，在其终边上任取一点P(x，y)(点P与原点O不重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴与点M，则|OM|＝|x|，|MP|＝|y|.设点P到原点O的距离为r，则r＝|OP|＝eq \r(x2＋y2). 有如下定义 (1)eq \f(y,r)称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝eq \f(y,r)； (2)eq \f(x,r)称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝eq \f(x,r)； (3)eq \f(y,x)称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)；sin α，cos α，tan α都是以角α为自变量的函数分别称为正弦函数，余弦函数，正切函数． 正弦函数，余弦函数和正切函数都是三角函数． 2．三角函数的定义域 函　 数 定　义　域 正弦sin α R 余弦cos α R 正切tan α eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)) 1.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． [知识点二]　单位圆与三角函数 1．单位圆：半径为1的圆称为单位圆，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，1为半径的圆就是单位圆． 2．利用单位圆定义任意角的三角函数 角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，r＝|OP|＝1，则角α的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为(cos α，sin α)，如图所示． 一般地，角α的终边与单位圆的交点为点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝eq \f(y,x) (x≠0) 3．三角函数值的符号 (1)图形表示： 正弦：一二 象限正，三四 象限负； 余弦：一四 象限正，二三 象限负； 正切：一三 象限正，二四 象限负． (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定． 4．常见的角的三角函数值见下表： α(角度制) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° α(弧度制) 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) sin α 0 eq \f(1,2) eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(3),2) 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) cos α 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) 0 －eq \f(1,2) －eq \f(\r(2),2) －eq \f(\r(3),2) tan α 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) 不存在 －eq \r(3) －1 －eq \f(\r(3),3) 1．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，则tan α＝(　　) A.eq \r(3)　　B．－eq \r(3)　　　C.eq \f(\r(3),3)　　　D．－eq \f(\r(3),3) 解析：B　[tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \r(3).] 2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin α＝(　　) A．－eq \f(3,4) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(4,3) 解析：B　[∵角α终边过点(4，－3)，∴x＝4，y＝－3，r＝|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝5，∴sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(3,5).] 3．若sin α<0且tan α>0，则α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[因为sin α<0且tan α>0，所以角α所在的象限是第三象限．] 4．已知角α的终边经过点P(－1,3)，则tan α＝_____________. 解析：由题意tan α＝eq \f(3,－1)＝－3. 答案：－3 [答案]　－eq \f(12,13)　eq \f(5,13)　－eq \f(12,5) 　利用三角函数定义求三角函数值 　(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. [解析]　∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq \r(52＋－122)＝13，则sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(12,13)，cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(5,13)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(12,5). (2)已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上， 求sin α，cos α，tan α的值． [解]　直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cos α＝－eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3)；在第四象限取直线上的点(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cos α＝eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3). 已知角α的终边上一点P(x，y)，求三角函数值时，先求r＝|OP|(O为原点)，再根据定义sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)确定三角函数值． 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论． [变式训练] 1．(1)已知角α的终边上一点P(m，eq \r(3))，且cos α＝eq \f(\r(10),4)，则m＝________. 解析：由题意得x＝m，y＝eq \r(3)，∴r＝|OP|＝eq \r(m2＋3)，∴cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(10),4)，很明显m>0，解得m＝eq \r(5). 答案：eq \r(5) (2)已知角α的终边经过点P(－12，－5)，求α的正弦、余弦和正切值． 解：因为角α的终边经过点P(－12，－5)， 所以sin α＝eq \f(－5,\r(144＋25))＝－eq \f(5,13)， cos α＝eq \f(－12,\r(144＋25))＝－eq \f(12,13)，tan α＝eq \f(－5,－12)＝eq \f(5,12). 　利用单位圆求三角函数值 　在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边与单位圆分别交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin αcos β＝(　　) A．－eq \f(36,65)　　B．－eq \f(3,13)　　　C.eq \f(4,13)　　　D.eq \f(48,65) [解析]　B　[∵角α，β的终边与单位圆分别交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))， 故由定义知sin α＝eq \f(5,13)，cos β＝－eq \f(3,5)， ∴sin αcos β＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,13).] 单位圆法求三角函数值时的注意点 (1)找点：确定角α的终边与单位圆的交点P(x，y)． (2)下结论：根据三角函数的定义得sin α＝y； cos α＝x；tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)． [变式训练] 2．设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A.eq \f(2,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5) 解析：A　[∵点P在单位圆上，则|OP|＝1. 即eq \r(－3a2＋4a2)＝1，解得a＝±eq \f(1,5). ∵a<0，∴a＝－eq \f(1,5). ∴P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).∴sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5). ∴sin α＋2cos α＝－eq \f(4,5)＋2×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5).] 　三角函数在各象限的符号运用 　(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　C　[因为点P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan α>0，,cos α<0，))由此可判断角α终边在第三象限．] (2)确定下列三角函数值的符号： ①sin 156°；②coseq \f(16,5)π；③cos(－450°)； ④taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)π))；⑤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))；⑥tan 556°. [解]　①∵156°是第二象限角，∴sin 156°＞0. ②∵eq \f(16,5)π为第三象限角，∴cos eq \f(16,5)π＜0. ③∵－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，∴cos(－450°)＝0. ④∵－eq \f(17,8)π＝－2π－eq \f(1,8)π是第四象限角，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)π))＜0. ⑤∵－eq \f(4π,3)＝－2π＋eq \f(2,3)π是第二象限角，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))＞0. ⑥∵556°＝360°＋196°是第三象限角，∴tan 556°＞0. 判断三角函数值正负的两个步骤 1．定象限：确定角α所在的象限． 2．定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． [变式训练] 3．判断下列各式的符号： (1)tan 120°sin 269°； (2)cos 4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))). 解：(1)因为120°角是第二象限角， 所以tan 120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin 269°<0. 所以tan 120°sin 269°>0. (2)因为π<4<eq \f(3π,2)，所以4弧度角是第三象限角， 所以cos 4<0，因为－eq \f(23π,4)＝－6π＋eq \f(π,4)， 所以－eq \f(23π,4)是第一象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))>0， 所以cos 4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))<0. 1．已知角α的终边过点P(－1,2)，则tan α＝(　　) A．2　　B．－2　　　C．－eq \f(1,2)　　　D.eq \f(1,2) 解析：B　[由题意可知tan α＝eq \f(2,－1)＝－2.] 2．若－eq \f(π,2)<α<0，则点Q(cos α，sin α)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[因为－eq \f(π,2)<α<0，所以cos α>0，且sin α<0，所以点Q(cos α，sin α)在第四象限．] 3．在直角坐标系xOy中，已知sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5)，那么角α的终边与单位圆的交点O的坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) 解析：A　[因为sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5)，所以角α的终边与单位圆交点O的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).] 4．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝(　　) A.eq \f(1,2)　 B．－eq \f(1,2)　　 C.eq \f(\r(3),2)　　D．－eq \f(\r(3),2) 解析：D　[由题意知，角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，即点(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2， 根据三角函数的定义，可得sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(\r(3),2).] 5．已知P(－4，m)是角α终边上一点，且sin α＝－eq \f(3,5). (1)求实数m的值； (2)角α终边与单位圆交点A的坐标． 解：(1)因为P(－4，m)是角α终边上一点，且sin α＝－eq \f(3,5)，所以sin α＝eq \f(m,\r(－42＋m2))＝－eq \f(3,5)，且m＜0，解得m＝－3. (2)所以P(－4，－3)，则|OP|＝eq \r(－42＋－32)＝5，所以角α的终边与单位圆交于Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，－\f(3,5))). $$