4.2 弧度制（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

4.2　弧度制 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第4章 三角函数 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 ★[学习目标] 1．理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化； 2．体会引入弧度制的必要性； 3．理解弧度制下弧长与面积公式． [问题]　(1)在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ (2)在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：(1)周角的eq \f(1,360)等于1度． (2)有不同的单位制，即弧度制． [知识点一]　度量角的单位制 1．角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，即把一个周角360等分，每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．用角度制度量角用的是六十进制． 2．弧度制 (1)定义 弧长度等于半径eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(l,r)＝1))的圆弧所对的 圆心角 称为1弧度的角，记作“1rad”读作“1弧度”．以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制． (2)正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是0. (3)角的弧度数的计算 半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角的大小为α，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ eq \f(l,r) . 1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆的半径是否有关系？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的．所以1弧度的角的大小与圆的半径无关． [知识点二]　角度与弧度的换算 1．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ 2π rad 2πrad＝ 360° 180°＝πrad πrad＝ 180° 1°＝eq \f(π,180)rad≈ 0.017_45 rad 1rad＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))° ≈ 57.3° 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 0 eq \f(π,12) eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(5π,12) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) 度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 π eq \f(7π,6) eq \f(5π,4) eq \f(4π,3) eq \f(3π,2) eq \f(5π,3) eq \f(7π,4) eq \f(11π,6) 2π 2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么？ 提示：计算时，我们要特别注意π rad＝180°，用这个公式进行互化即可． [知识点三]　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(n°)，则 　　　度量单位 类别　　　 n为角度制(0°<n°<360°) α为弧度制(0<α<2π) 扇形的弧长 l＝ eq \f(nπR,180) l＝ αR 扇形的面积 S＝ eq \f(nπR2,360) S＝ eq \f(1,2)lR ＝ eq \f(1,2)αR2 3.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公式中有四个量α、R、l、S，根据公式已知几个量可以求其他量吗？ 提示：知二求二． 1．下列说法中，错误的是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1rad的角是周角的eq \f(1,2π) C．1rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 解析：D　[对于A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A选项正确；对于B选项，1°的角是周角的eq \f(1,360)，1rad的角是周角的eq \f(1,2π)，B选项正确；对于C选项，1°＝eq \f(π,180)＜1，C选项正确；对于D选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D选项错误．] 2．下列各式正确的是(　　) A．π＝180　　　　　　 B．π＝3.14 C．90°＝eq \f(π,2)rad D．1rad＝π 解析：C　[180 ,3.14是弧度，∴AB错误，不是弧度，D错误，C正确．] 3．225°化为弧度是(　　) A.eq \f(3π,4)　　　B.eq \f(5π,4)　　　C.eq \f(4π,3)　　　D.eq \f(7π,6) 解析：B　[225°＝225×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,4).] 4．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为________，扇形的面积为________． 解析：扇形的圆心角为α＝60°＝eq \f(π,3)， 故弧长为l＝eq \f(2π,3)，面积为S＝eq \f(1,2)×eq \f(π,3)×22＝eq \f(2π,3). 答案：eq \f(2π,3)　eq \f(2π,3) 　角度制与弧度制的换算 　将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(11π,5). [解]　(1)20°＝eq \f(20π,180)rad＝eq \f(π,9)rad. (2)－15°＝－eq \f(15π,180)rad＝－eq \f(π,12)rad. (3)eq \f(7π,12)＝eq \f(7,12)×180°＝105°. (4)－eq \f(11π,5)＝－eq \f(11,5)×180°＝－396°. 角度制与弧度制互化的关键与方法 1．关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键； 2．方法：度数×eq \f(π,180)＝弧度数；弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数； 3．角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． [变式训练] 1．将下列角度与弧度进行互化： (1)eq \f(511,6)π；(2)－eq \f(7π,12)；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)eq \f(511,6)π＝eq \f(511,6)×180°＝15 330°. (2)－eq \f(7π,12)＝－eq \f(7,12)×180°＝－105°. (3)10°＝10×eq \f(π,180)rad＝eq \f(π,18)rad. (4)－855°＝－855×eq \f(π,180)rad＝－eq \f(19π,4)rad. [答案]　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z)) 　用弧度制表示任意角 　(1)与240°终边相同的所有角的集合用弧度制可以表示为____________． [解析]　将240°化为弧度制为eq \f(4π,3)，所以与240°终边相同的所有角的集合用弧度制为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z)). (2)将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？ [解]　－1 125°＝－1 125×eq \f(π,180)＝－eq \f(25π,4)＝－8π＋eq \f(7π,4). 其中eq \f(3π,2)<eq \f(7π,4)<2π，因为eq \f(7π,4)是第四象限角， 所以－1 125°是第四象限角． 用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)还要注意角度制与弧度制不能混用． [变式训练] 2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq \f(3π,5)，β2＝－eq \f(π,3). (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，－180°]内找出与它们终边相同的所有角． 解：(1)α1＝－570°＝－eq \f(570π,180)＝－eq \f(19π,6)＝－2×2π＋eq \f(5π,6)，α2＝750°＝eq \f(750π,180)＝eq \f(25π,6)＝2×2π＋eq \f(π,6).故α1＝－eq \f(19π,6)，α2＝eq \f(25π,6)，α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝eq \f(3π,5)＝eq \f(3,5)×180°＝108°，β2＝－eq \f(π,3)＝－eq \f(1,3)×180°＝－60°. 设θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)，θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)， 令－720°≤θ1≤－180°，－720°≤θ2≤－180°， 即－720°≤108°＋k1·360°≤－180°(k1∈Z) －720°≤－60°＋k2·360°≤－180°(k2∈Z) 得k1＝－2或k1＝－1，k2＝－1.故在[－720°，－180°]内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°. 　扇形的弧长公式及面积公式 　已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3).求： (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积． [解]　(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3)，所以半径r＝eq \f(1,sin\f(π,3))＝eq \f(2\r(3),3)， 所以这个圆心角所对的弧长l＝eq \f(2\r(3),3)×eq \f(2π,3)＝eq \f(4\r(3)π,9). (2)由(1)得扇形的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(3),3)×eq \f(4\r(3)π,9)＝eq \f(4π,9). 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式：|α|＝eq \f(l,r)，S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值． (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解． [变式训练] 3．(1)弧长为3π.圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________． 解析：因为135°＝eq \f(135π,180)＝eq \f(3π,4)，所以扇形的半径为eq \f(3π,\f(3π,4))＝4，面积为eq \f(1,2)×3π×4＝6π. 答案：4　6π (2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r， 所以S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100. 所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝eq \f(l,r)＝eq \f(40－2×10,10)＝2rad. 1．下列转化结果正确的是(　　) A．60°化成弧度是eq \f(π,6)rad B.eq \f(π,12)rad化成角度是30° C．1°化成弧度是eq \f(180,π)rad D．1rad化成角度是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))° 解析：D　[由π＝180°，得对于A选项，60°化成弧度是eq \f(π,3)rad，故A不正确；对于B选项，eq \f(π,12)rad化成角度是eq \f(1,12)×180°＝15°，故B不正确；对于C选项，1°化成弧度是eq \f(π,180)rad，故C错误；对于D选项，1rad化成角度是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，D正确．] 2．将－300°化为弧度数为(　　) A．－eq \f(4π,3)　B．－eq \f(5π,3)　　C．－eq \f(7π,6)　　D．－eq \f(7π,4) 解析：B　[－300°＝－300×eq \f(π,180)＝－eq \f(5π,3).] 3．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝\f(5π,6)＋k·180°，k∈Z)) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)) 解析：D　[因为150°＝150×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,6)，故与150°角的终边相同的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)).] 4．角eq \f(25π,6)是第________象限角． 解析：∵eq \f(25π,6)＝eq \f(π,6)＋4π，∴eq \f(25π,6)与eq \f(π,6)终边相同， ∴eq \f(25π,6)是第一象限角． 答案：一 5．已知扇形AOB的面积为eq \f(3π,4)，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为___________． 解析：扇形AOB的半径为R，因为扇形AOB的圆心角为120°，即圆心角为eq \f(2π,3)，则扇形AOB的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)R2＝eq \f(3π,4)，解得R＝eq \f(3,2). 答案：eq \f(3,2) 6．已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))). 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq \f(14,9)π， ∴α＝－800°＝eq \f(14π,9)＋(－3)×2π. ∵α与角eq \f(14π,9)终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋eq \f(14π,9)，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋eq \f(14π,9)，k∈Z. 又γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴－eq \f(π,2)<2kπ＋eq \f(14π,9)<eq \f(π,2)，k∈Z， 解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq \f(14π,9)＝－eq \f(4π,9). $$ [基础过关] 1．下列叙述中，正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角的和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 解析：D　[根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．] 2．210°化为弧度是(　　) A.π　　　B.π　　　C.π　　　D.π 解析：D　[210°＝210×rad＝rad.] 3．将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：D　[将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是－×2π＝－.] 4．已知单位圆上有一段长度等于2的弧，则这段弧所对应的圆心角为(　　) A．2° B．2 C．1 D．1° 解析：B　[由已知圆心角为＝2弧度．] 5．我国采用的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分为6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________弧度(　　) A. B. C. D. 解析：B　[因为将一个圆周分成6 000等份，每一份是一个密位，所以一个密位所对的弧长l＝，所以60密位所对的弧长为60l＝，所以60密位的弧度数为＝.] 6．把化为度为________． 解析：＝×＝80°. 答案：80° 7．将时钟的分针拨快30 min，则时针转过的弧度为__________． 解析：由题意知，分针被顺时针旋转了π，由时针转动角度为分针转动角度的，∴时针转过的角度大小为，同样为顺时针旋转，即时针转过的弧度为－. 答案：－ 8．终边在第一象限的角的集合是_____________．(用弧度制表示) 解析：(0,2π)范围内，第一象限角的终边对应的角为0弧度的角到弧度的角，结合角的周期性，那么第一象限角的集合为. 答案： 9．若扇形圆心角为120°，扇形面积为π，则扇形半径为___________． 解析：依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为r，则×r2＝，r＝2. 答案：2 10．用弧度制写出角的终边在如图所示的阴影区域内的角的集合． 解：(1)－150°＝－，150°＝，用弧度制表示终边在题图中阴影区域内的角的集合为. (2)45°＝，225°＝，用弧度制表示终边在题图中阴影区域内的角的集合为∪ ＝. [能力提升] 11．以下各角中，是第二象限角的为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：B　[对于A选项，－＝－4π，为第三象限角，则－为第三象限角；对于B选项，－π＝－2π，为第二象限角，则－为第二象限角；对于C选项，为第三象限角；对于D选项，为第四象限角．] 12．下列命题中，正确的是(　　) A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．5弧度的角是第三象限的角 C．若α是第一象限角，则－是第四象限的角 D．若α是第一象限角，则－α也是第一象限的角 解析：D　[对于选项A，由弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，故A错误；对于选项B，第三象限角的取值范围为，k∈Z，因为5不在此区间中，故B错误；对于选项C，因为α是第一象限角，所以α∈，k∈Z，所以－∈，k∈Z，当k＝－1时，－∈为第二象限角，故C错误；对于选项D，因为α是第一象限角，所以α∈，k∈Z，所以－α∈，k∈Z，是第一象限的角，故D正确．] 13．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为__________． 解析：终边落在第二象限的角的集合为：(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 14．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝， R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 解：(1)α＝60°＝rad，l＝10×＝ cm. (2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2. (3)设弓形面积为S弓．由题意知l＝ cm. S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin＝ cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2　弧度制 ★[学习目标] 1．理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化； 2．体会引入弧度制的必要性； 3．理解弧度制下弧长与面积公式． [问题]　(1)在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ (2)在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：(1)周角的等于1度． (2)有不同的单位制，即弧度制． [知识点一]　度量角的单位制 1．角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，即把一个周角360等分，每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．用角度制度量角用的是六十进制． 2．弧度制 (1)定义 弧长度等于半径的圆弧所对的 圆心角 称为1弧度的角，记作“1rad”读作“1弧度”．以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制． (2)正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是0. (3)角的弧度数的计算 半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角的大小为α，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ . 1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆的半径是否有关系？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的．所以1弧度的角的大小与圆的半径无关． [知识点二]　角度与弧度的换算 1．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ 2π rad 2πrad＝ 360° 180°＝πrad πrad＝ 180° 1°＝rad≈ 0.017_45 rad 1rad＝ ° ≈ 57.3° 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧 度 0 度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧 度 π 2π 2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么？ 提示：计算时，我们要特别注意π rad＝180°，用这个公式进行互化即可． [知识点三]　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(n°)，则 　　　度量单位 类别　　　 n为角度制(0°<n°<360°) α为弧度制(0<α<2π) 扇形的弧长 l＝ l＝ αR 扇形的面积 S＝ S＝ lR ＝ αR2 3.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公式中有四个量α、R、l、S，根据公式已知几个量可以求其他量吗？ 提示：知二求二． 1．下列说法中，错误的是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1rad的角是周角的 C．1rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 解析：D　[对于A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A选项正确；对于B选项，1°的角是周角的，1rad的角是周角的，B选项正确；对于C选项，1°＝＜1，C选项正确；对于D选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D选项错误．] 2．下列各式正确的是(　　) A．π＝180　　　　　　 B．π＝3.14 C．90°＝rad D．1rad＝π 解析：C　[180 ,3.14是弧度，∴AB错误，不是弧度，D错误，C正确．] 3．225°化为弧度是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[225°＝225×＝.] 4．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为________，扇形的面积为________． 解析：扇形的圆心角为α＝60°＝， 故弧长为l＝，面积为S＝××22＝. 答案：　 　角度制与弧度制的换算 　将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. [解]　(1)20°＝rad＝rad. (2)－15°＝－rad＝－rad. (3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 角度制与弧度制互化的关键与方法 1．关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键； 2．方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数； 3．角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． [变式训练] 1．将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝×180°＝15 330°. (2)－＝－×180°＝－105°. (3)10°＝10×rad＝rad. (4)－855°＝－855×rad＝－rad. 　用弧度制表示任意角 　(1)与240°终边相同的所有角的集合用弧度制可以表示为____________． [解析]　将240°化为弧度制为，所以与240°终边相同的所有角的集合用弧度制为. [答案]　 (2)将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？ [解]　－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋. 其中<<2π，因为是第四象限角， 所以－1 125°是第四象限角． 用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)还要注意角度制与弧度制不能混用． [变式训练] 2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，－180°]内找出与它们终边相同的所有角． 解：(1)α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，α2＝750°＝＝＝2×2π＋. 故α1＝－，α2＝，α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝＝×180°＝108°， β2＝－＝－×180°＝－60°. 设θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)， θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)， 令－720°≤θ1≤－180°，－720°≤θ2≤－180°， 即－720°≤108°＋k1·360°≤－180°(k1∈Z) －720°≤－60°＋k2·360°≤－180°(k2∈Z) 得k1＝－2或k1＝－1，k2＝－1. 故在[－720°，－180°]内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°. 　扇形的弧长公式及面积公式 　已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求： (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积． [解]　(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝， 所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝. (2)由(1)得扇形的面积S＝××＝. 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值． (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解． [变式训练] 3．(1)弧长为3π.圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________． 解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π. 答案：4　6π (2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r， 所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100. 所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2rad. 1．下列转化结果正确的是(　　) A．60°化成弧度是rad B.rad化成角度是30° C．1°化成弧度是rad D．1rad化成角度是° 解析：D　[由π＝180°，得对于A选项，60°化成弧度是rad，故A不正确；对于B选项，rad化成角度是×180°＝15°，故B不正确；对于C选项，1°化成弧度是rad，故C错误；对于D选项，1rad化成角度是°，D正确．] 2．将－300°化为弧度数为(　　) A．－　B．－　　C．－　　D．－ 解析：B　[－300°＝－300×＝－.] 3．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为150°＝150×＝，故与150°角的终边相同的角的集合为.] 4．角是第________象限角． 解析：∵＝＋4π，∴与终边相同， ∴是第一象限角． 答案：一 5．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为___________． 解析：扇形AOB的半径为R，因为扇形AOB的圆心角为120°，即圆心角为，则扇形AOB的面积S＝×R2＝，解得R＝. 答案： 6．已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π， ∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z. 又γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z， 解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. [基础过关] 1．下列叙述中，正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角的和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 解析：D　[根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．] 2．210°化为弧度是(　　) A.π　　　B.π　　　C.π　　　D.π 解析：D　[210°＝210×rad＝rad.] 3．将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：D　[将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是－×2π＝－.] 4．已知单位圆上有一段长度等于2的弧，则这段弧所对应的圆心角为(　　) A．2° B．2 C．1 D．1° 解析：B　[由已知圆心角为＝2弧度．] 5．我国采用的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分为6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________弧度(　　) A. B. C. D. 解析：B　[因为将一个圆周分成6 000等份，每一份是一个密位，所以一个密位所对的弧长l＝，所以60密位所对的弧长为60l＝，所以60密位的弧度数为＝.] 6．把化为度为________． 解析：＝×＝80°. 答案：80° 7．将时钟的分针拨快30 min，则时针转过的弧度为__________． 解析：由题意知，分针被顺时针旋转了π，由时针转动角度为分针转动角度的，∴时针转过的角度大小为，同样为顺时针旋转，即时针转过的弧度为－. 答案：－ 8．终边在第一象限的角的集合是_____________．(用弧度制表示) 解析：(0,2π)范围内，第一象限角的终边对应的角为0弧度的角到弧度的角，结合角的周期性，那么第一象限角的集合为. 答案： 9．若扇形圆心角为120°，扇形面积为π，则扇形半径为___________． 解析：依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为r，则×r2＝，r＝2. 答案：2 10．用弧度制写出角的终边在如图所示的阴影区域内的角的集合． 解：(1)－150°＝－，150°＝，用弧度制表示终边在题图中阴影区域内的角的集合为. (2)45°＝，225°＝，用弧度制表示终边在题图中阴影区域内的角的集合为∪ ＝. [能力提升] 11．以下各角中，是第二象限角的为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：B　[对于A选项，－＝－4π，为第三象限角，则－为第三象限角；对于B选项，－π＝－2π，为第二象限角，则－为第二象限角；对于C选项，为第三象限角；对于D选项，为第四象限角．] 12．下列命题中，正确的是(　　) A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．5弧度的角是第三象限的角 C．若α是第一象限角，则－是第四象限的角 D．若α是第一象限角，则－α也是第一象限的角 解析：D　[对于选项A，由弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，故A错误；对于选项B，第三象限角的取值范围为，k∈Z，因为5不在此区间中，故B错误；对于选项C，因为α是第一象限角，所以α∈，k∈Z，所以－∈，k∈Z，当k＝－1时，－∈为第二象限角，故C错误；对于选项D，因为α是第一象限角，所以α∈，k∈Z，所以－α∈，k∈Z，是第一象限的角，故D正确．] 13．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为__________． 解析：终边落在第二象限的角的集合为：(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 14．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝， R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 解：(1)α＝60°＝rad，l＝10×＝ cm. (2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2. (3)设弓形面积为S弓．由题意知l＝ cm. S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin＝ cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $$