4.1 角的概念的推广（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

4．1　角的概念的推广 4．1.1　任意角 4．1.2　终边相同的角 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第4章 三角函数 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 ★[学习目标] 1．掌握用“旋转”定义角的概念； 2．理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“界限角”会用集合符号表示这些角； 3．理解 “终边相同的角”的含义，会表示和确定终边相同角，会求指定范围内与已知角终边相同的角． [问题]　(1)当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？ (2)在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角表示吗？ 提示：(1)不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要逆时针转动分针． (2)因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°～360°，不能用0°到360°的角表示． [知识点一]　任意角 1．角的概念：通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角． 2．任意角的表示： 如图所示的角，可记作“∠AOB”或“∠O”，也经常使用小写的希腊字母α，β，γ，...来表示角，记作“角α”．在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记为“α”． 3．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按 逆时针 方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按 顺时针 方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做 任何 旋转，也认为形成了一个角 1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定． 2．正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据组成角的射线的旋转方向． 3．如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？ 提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转． [知识点二]　平面直角坐标系中的任意角 1．界限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，此时角的 终边 在第几象限，就称这个角为第几象限角；如果角的终边在 坐标轴上 ，就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角． 4.界限角的度数有什么特点？ 提示：界限角的度数都是90°的整数倍． 2．终边相同的角 在角α终边相同的角有无数多个，它们与角α均相差360°的整数倍．因此，与角α终边相同的所有角称为终边相同的角，可表示为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 3．对终边相同的角的理解 一般地，与角α终边相同的所有角组成的集合为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和． 5.相等的角终边一定相同吗？不相等的角终边一定不同吗？ 提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可能相同，也可能不同． 6．角β＝α＋k·720°，k∈Z，β与α终边相同吗？ 提示：β＝α＋2k·360°，故β与α 终边相同． 1．下列说法正确的是(　　) A．终边相同的角相等　 B．相等的角终边相同 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角是正角 解析：B　[终边相同的角相差周角的整数倍，A错误；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于90°的角是锐角，也可以是负角，C错误；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．] 2．440°角的终边落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[因为440°＝360°＋80°，所以440°角的终边与80°角的终边相同，所以440°角的终边落在第一象限角．] 3．与2 023°终边相同的角是(　　) A．－113° B．－73° C．223° D．143° 解析：C　[∵2 023°＝360°×5＋223°，∴与2 023°终边相同的角是223°.] 4．分针一小时所转过的角是_____________． 解析：因为一小时等于六十分钟，即分针顺时针走了一圈，所以分针一小时所转过的角是－360°. 答案：－360° 　任意角的概念 　(1)下列说法正确的有________．(填序号) ①零角的始边和终边重合； ②始边和终边重合的角是零角； ③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°； ④绝对值最小的角是零角． (2)若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为(　　) A．80°　B．－80°　　C．960°　　D．－960° [解析]　(1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合． (2)∵40÷60＝eq \f(2,3)，∴360°×eq \f(2,3)＝240°.∵分针是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为－2×360°－240°＝－960°. [答案]　(1)①③④　(2)D 求解任意角问题的步骤 (1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角． (2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小． [变式训练] 1．写出下列说法所表示的角： (1)顺时针拧螺丝2圈； (2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角； (3)向右转体3周． 解：(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°. (2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°. (3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为－1 080°. 　象限角与终边相同的角 　(1)与－2 010°终边相同的最小正角是________． (2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°. [解]　(1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°. (2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°. ②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21°；－21°＋1×360°＝339°. 1．判断α是第几象限角的步骤 第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式． 第二步，判断β的终边所在的象限． 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 2．求解给定范围内终边相同的角的方法 先写出与角α终边相同的角β，即β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β. [变式训练] 2．在0°与360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ (1)－120°；(2)640°；(3) －950°12′. 解：(1)因为－120°＝240°－360°，所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角． (2)因为640°＝280°＋360°，所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角． (3)因为－950°12′＝129°48′－3×360°，所以与－950°12′角终边相同的角是129°48′角，它是第二象限角． 　区域角的表示 　如图所示． (1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． [解]　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k· 360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角．表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． [变式训练] 3.写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)． 解：在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}， S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}． 　象限角的判断 　已知α为第二象限角，问2α，eq \f(α,2)分别是第几象限角？ [解]　∵90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°.k∈Z， ∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角． 同理45°＋eq \f(k,2)·360°<eq \f(α,2)<90°＋eq \f(k,2)·360°. 当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<eq \f(α,2)<90°＋n·360°，此时eq \f(α,2)为第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<eq \f(α,2)<270°＋n·360°，此时eq \f(α,2)为第三象限角． ∴eq \f(α,2)为第一或第三象限角． (1)解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或eq \f(α,n)的范围，再根据k与n的关系进行讨论． (2)这类问题也可采用特值法判断角的终边位置，如本例中eq \f(α,2)，45°＋k·180°<eq \f(α,2)<90°＋k·180°，k∈Z，令k＝1,2,3,4分别得eq \f(α,2)的终边位于第三、一、三、一象限，如此循环往复，从而可断定eq \f(α,2)是第一或第三象限角． [变式训练] 4．若α是第二象限角，则eq \f(α,3)是(　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第四象限的角 D．第一象限角或第二象限角或第四象限角 解析：D　[∵90°＋k·360°＜α＜180°＋360°·k，k∈Z， ∴30°＋120°·k＜eq \f(α,3)＜60°＋120°·k，k∈Z， 当k＝0时，30°＜eq \f(α,3)＜60°，eq \f(α,3)是第一象限角； 当k＝1时，150°＜eq \f(α,3)＜180°，eq \f(α,3)是第二象限角； 当k＝2时，270°＜eq \f(α,3)＜300°，eq \f(α,3)是第四象限角．] 1．下列命题中正确的是(　　) A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 解析：D　[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是钝角，C中如300°不是负角，只有D正确．] 2．与600°终边相同的角表示为(k∈Z)(　　) A．k·360°＋220°　　　　 B．k·360°＋240° C．k·360°＋60° D．k·360°＋260° 解析：B　[∵600°＝240°＋360°，∴600°与240°终边相同．∴与600°终边相同的角即为与240°终边相同的角．] 3．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于(　　) A．－60° B．－30° C．60° D．30° 解析：A　[∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30°，∴2秒钟后，OP转过的角等于2×(－30°)＝－60°.] 4．角－870°的终边所在的象限是_________． 解析：由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 答案：第三象限 5．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： (1)－265°；(2)－1 000°. 解：(1)因为－265°＝－1×360°＋95°，所以在0°～360°范围内，与－265°终边相同的角为95°，为第二象限角． (2)因为－1 000°＝－3×360°＋80°，所以在0°～360°范围内，与－1 000°终边相同的角为80°，为第一象限角. $$ [基础过关] 1．与－390°角的终边相同的最小正角是(　　) A．－30°　B．30°　　C．60°　　D．330° 解析：D　[与－390°角终边相同角的集合为{α|α＝－390°＋k·360°，k∈Z}，当k＝2时，取得最小正角为330°.] 2．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D 解析：D　[集合A和集合D都表示锐角的集合．] 3．终边在第四象限的角α的集合是(　　) A．{α|－90°＜α＜0°} B．{α|270°＋k·360°＜α＜k·360°，k∈Z} C．{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z} D．{α|k·180°－90°＜α＜k·180°，k∈Z} 解析：C　[终边在第四象限的角α的集合是{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}或{α|k·360°＋270°＜α＜360°＋k·360°，k∈Z}．] 4．已知α锐角，那么2α是(　　) A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 解析：A　[∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°.] 5．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α的终边在(　　) A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 解析：A　[因为α＝k·180°＋45°，k∈Z，所以当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限，综上，α的终边在第一、三象限．] 6．－1 040°角在第________象限． 解析：与－1 040°角终边相同的角可表示为α＝k·360°＋(－1 040°)，当k＝3时，α＝40°，所以－1 040°角与40°角的终边相同，故－1 040°角的终边在第一象限． 答案：一 7．角α的终边在第二象限，则－α的终边在第__________象限． 解析：∵α在第二象限，∴α∈，k∈Z，∴－α∈，k∈Z，∴－α在第三象限． 答案：三 8．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，第二象限角有_________个． 解析：因为90°＜148°＜180°，所以148°是第二象限角.475°＝360°＋115°是第二象限角．－960°＝－3·360°＋120°是第二象限角．－1 601°＝－5·360°＋199°不是第二象限角．－185°＝－1·360°＋175°是第二象限角，故第二象限角有4个． 答案：4 9．终边在y轴负半轴上的角的集合为___________． 解析：终边在y轴负半轴上的一个角为－，因此终边在y轴负半轴上的角的集合为. 答案： 10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在－720°～－360°范围内的角． 解：与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z. (1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°. (2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°. (3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°. [能力提升] 11．若α是钝角，则－是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：D　[因为90°＜α＜180°，45°＜＜90°， －90°＜－＜－45°，所以－在第四象限．] 12．若α是第四象限角，则90°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：B　[由题意知，α∈(－90°＋360°·k,360°·k)，k∈Z，则90°－α∈(90°－360°·k,180°－360°·k)，在第二象限．] 13．若角α的终边与75°角的终边关于x轴对称，且－360°＜α＜360°，则角α的值为___________． 解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于x轴对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{β|β＝k·360°－75°，k∈Z}，又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°. 答案：－75°或285° 14．已知角β的终边在直线x－y＝0上． (1)写出角β的集合S； (2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素． 解：(1)如图， 直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}． (2)由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z，解得－＜n＜，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2，3.所以集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．1　角的概念的推广 4．1.1　任意角 4．1.2　终边相同的角 ★[学习目标] 1．掌握用“旋转”定义角的概念； 2．理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“界限角”会用集合符号表示这些角； 3．理解 “终边相同的角”的含义，会表示和确定终边相同角，会求指定范围内与已知角终边相同的角． [问题]　(1)当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？ (2)在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角表示吗？ 提示：(1)不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要逆时针转动分针． (2)因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°～360°，不能用0°到360°的角表示． [知识点一]　任意角 1．角的概念：通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角． 2．任意角的表示： 如图所示的角，可记作“∠AOB”或“∠O”，也经常使用小写的希腊字母α，β，γ，...来表示角，记作“角α”．在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记为“α”． 3．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按 逆时针 方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按 顺时针 方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做 任何 旋转，也认为形成了一个角 1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定． 2．正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据组成角的射线的旋转方向． 3．如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？ 提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转． [知识点二]　平面直角坐标系中的任意角 1．界限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，此时角的 终边 在第几象限，就称这个角为第几象限角；如果角的终边在 坐标轴上 ，就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角． 4.界限角的度数有什么特点？ 提示：界限角的度数都是90°的整数倍． 2．终边相同的角 在角α终边相同的角有无数多个，它们与角α均相差360°的整数倍．因此，与角α终边相同的所有角称为终边相同的角，可表示为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 3．对终边相同的角的理解 一般地，与角α终边相同的所有角组成的集合为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和． 5.相等的角终边一定相同吗？不相等的角终边一定不同吗？ 提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可能相同，也可能不同． 6．角β＝α＋k·720°，k∈Z，β与α终边相同吗？ 提示：β＝α＋2k·360°，故β与α 终边相同． 1．下列说法正确的是(　　) A．终边相同的角相等　 B．相等的角终边相同 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角是正角 解析：B　[终边相同的角相差周角的整数倍，A错误；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于90°的角是锐角，也可以是负角，C错误；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．] 2．440°角的终边落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[因为440°＝360°＋80°，所以440°角的终边与80°角的终边相同，所以440°角的终边落在第一象限角．] 3．与2 023°终边相同的角是(　　) A．－113° B．－73° C．223° D．143° 解析：C　[∵2 023°＝360°×5＋223°，∴与2 023°终边相同的角是223°.] 4．分针一小时所转过的角是_____________． 解析：因为一小时等于六十分钟，即分针顺时针走了一圈，所以分针一小时所转过的角是－360°. 答案：－360° 　任意角的概念 　(1)下列说法正确的有________．(填序号) ①零角的始边和终边重合； ②始边和终边重合的角是零角； ③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°； ④绝对值最小的角是零角． (2)若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为(　　) A．80°　B．－80°　　C．960°　　D．－960° [解析]　(1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合． (2)∵40÷60＝，∴360°×＝240°.∵分针是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为－2×360°－240°＝－960°. [答案]　(1)①③④　(2)D 求解任意角问题的步骤 (1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角． (2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小． [变式训练] 1．写出下列说法所表示的角： (1)顺时针拧螺丝2圈； (2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角； (3)向右转体3周． 解：(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°. (2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°. (3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为－1 080°. 　象限角与终边相同的角 　(1)与－2 010°终边相同的最小正角是________． (2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°. [解]　(1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°. (2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°. ②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21°；－21°＋1×360°＝339°. 1．判断α是第几象限角的步骤 第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式． 第二步，判断β的终边所在的象限． 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 2．求解给定范围内终边相同的角的方法 先写出与角α终边相同的角β，即β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β. [变式训练] 2．在0°与360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ (1)－120°；(2)640°；(3) －950°12′. 解：(1)因为－120°＝240°－360°，所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角． (2)因为640°＝280°＋360°，所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角． (3)因为－950°12′＝129°48′－3×360°，所以与－950°12′角终边相同的角是129°48′角，它是第二象限角． 　区域角的表示 　如图所示． (1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． [解]　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k· 360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角．表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． [变式训练] 3.写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)． 解：在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}， S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}． 　象限角的判断 　已知α为第二象限角，问2α，分别是第几象限角？ [解]　∵90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°.k∈Z， ∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角． 同理45°＋·360°<<90°＋·360°. 当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时为第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时为第三象限角． ∴为第一或第三象限角． (1)解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论． (2)这类问题也可采用特值法判断角的终边位置，如本例中，45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z，令k＝1,2,3,4分别得的终边位于第三、一、三、一象限，如此循环往复，从而可断定是第一或第三象限角． [变式训练] 4．若α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第四象限的角 D．第一象限角或第二象限角或第四象限角 解析：D　[∵90°＋k·360°＜α＜180°＋360°·k，k∈Z， ∴30°＋120°·k＜＜60°＋120°·k，k∈Z， 当k＝0时，30°＜＜60°，是第一象限角； 当k＝1时，150°＜＜180°，是第二象限角； 当k＝2时，270°＜＜300°，是第四象限角．] 1．下列命题中正确的是(　　) A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 解析：D　[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是钝角，C中如300°不是负角，只有D正确．] 2．与600°终边相同的角表示为(k∈Z)(　　) A．k·360°＋220°　　　　 B．k·360°＋240° C．k·360°＋60° D．k·360°＋260° 解析：B　[∵600°＝240°＋360°，∴600°与240°终边相同．∴与600°终边相同的角即为与240°终边相同的角．] 3．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于(　　) A．－60° B．－30° C．60° D．30° 解析：A　[∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30°，∴2秒钟后，OP转过的角等于2×(－30°)＝－60°.] 4．角－870°的终边所在的象限是_________． 解析：由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 答案：第三象限 5．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： (1)－265°；(2)－1 000°. 解：(1)因为－265°＝－1×360°＋95°，所以在0°～360°范围内，与－265°终边相同的角为95°，为第二象限角． (2)因为－1 000°＝－3×360°＋80°，所以在0°～360°范围内，与－1 000°终边相同的角为80°，为第一象限角. [基础过关] 1．与－390°角的终边相同的最小正角是(　　) A．－30°　B．30°　　C．60°　　D．330° 解析：D　[与－390°角终边相同角的集合为{α|α＝－390°＋k·360°，k∈Z}，当k＝2时，取得最小正角为330°.] 2．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D 解析：D　[集合A和集合D都表示锐角的集合．] 3．终边在第四象限的角α的集合是(　　) A．{α|－90°＜α＜0°} B．{α|270°＋k·360°＜α＜k·360°，k∈Z} C．{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z} D．{α|k·180°－90°＜α＜k·180°，k∈Z} 解析：C　[终边在第四象限的角α的集合是{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}或{α|k·360°＋270°＜α＜360°＋k·360°，k∈Z}．] 4．已知α锐角，那么2α是(　　) A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 解析：A　[∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°.] 5．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α的终边在(　　) A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 解析：A　[因为α＝k·180°＋45°，k∈Z，所以当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限，综上，α的终边在第一、三象限．] 6．－1 040°角在第________象限． 解析：与－1 040°角终边相同的角可表示为α＝k·360°＋(－1 040°)，当k＝3时，α＝40°，所以－1 040°角与40°角的终边相同，故－1 040°角的终边在第一象限． 答案：一 7．角α的终边在第二象限，则－α的终边在第__________象限． 解析：∵α在第二象限，∴α∈，k∈Z，∴－α∈，k∈Z，∴－α在第三象限． 答案：三 8．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，第二象限角有_________个． 解析：因为90°＜148°＜180°，所以148°是第二象限角.475°＝360°＋115°是第二象限角．－960°＝－3·360°＋120°是第二象限角．－1 601°＝－5·360°＋199°不是第二象限角．－185°＝－1·360°＋175°是第二象限角，故第二象限角有4个． 答案：4 9．终边在y轴负半轴上的角的集合为___________． 解析：终边在y轴负半轴上的一个角为－，因此终边在y轴负半轴上的角的集合为. 答案： 10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在－720°～－360°范围内的角． 解：与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z. (1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°. (2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°. (3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°. [能力提升] 11．若α是钝角，则－是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：D　[因为90°＜α＜180°，45°＜＜90°， －90°＜－＜－45°，所以－在第四象限．] 12．若α是第四象限角，则90°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：B　[由题意知，α∈(－90°＋360°·k,360°·k)，k∈Z，则90°－α∈(90°－360°·k,180°－360°·k)，在第二象限．] 13．若角α的终边与75°角的终边关于x轴对称，且－360°＜α＜360°，则角α的值为___________． 解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于x轴对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{β|β＝k·360°－75°，k∈Z}，又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°. 答案：－75°或285° 14．已知角β的终边在直线x－y＝0上． (1)写出角β的集合S； (2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素． 解：(1)如图， 直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}． (2)由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z，解得－＜n＜，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2，3.所以集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 学科网（北京）股份有限公司 $$