3.3.3 几种常见的函数（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

3.3.3　几种常见的函数 ★[学习目标] 1．理解并掌握一次函数、反比例函数和二次函数的图像及性质； 2．学会用数学语言表达函数的定义域、值域、单调性和奇偶性； 3．会运用一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质解决数学问题． 同学们，我们在初中时学过一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数，我们在本章节又重点学习了函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等，那你会用我们刚学的知识去解释这三种函数吗？ 接下来，让我们一起来探究把！ [知识点一]　一次函数 1．一次函数及其图像 y＝kx＋b(k≠0)是一次函数，其图像为直线，如图所示． 2．一次函数的性质 (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域和值域均为R. (2)当k＞0时，在R上是增函数，如图①所示； 当k＜0时，在R上是减函数，如图②所示． (3)当b＝0时，如图③④所示． 一次函数y＝kx(k≠0)是奇函数，其图像关于原点中心对称． [知识点二]　反比例函数 1．反比例函数及其图像 y＝(k≠0)是反比例函数，其图像如图所示． 2．反比例函数的性质 (1)反比例函数的定义域和值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)当k＞0时，函数图像在第一、三象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数； 当k＜0时，函数图像在第二、四象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数． (3)函数是奇函数，图像关于原点中心对称． 1.函数y＝在其定义域上是减函数吗？ 提示：不是减函数． [知识点三]　二次函数 1．二次函数及其图像 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是二次函数，其图像是抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为x＝－. 一般地，当a＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条开口向上的抛物线；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条开口向下的抛物线． 2．二次函数的性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 定义域 R 值域 奇偶性 当b＝0时为偶函数 单调性 在 上是减函数，在 上是增函数 在上是增函数，在上是减函数 1．y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　) A．k＞　　　　　 B．k＞－ C．k＜ D．k＜－ 解析：C　[∵y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数， ∴2k－1＜0，∴k＜.] 2．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是(　　) A. B．[－1，＋∞] C. D．(－∞，＋∞) 解析：C　[y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减， ∴当x≤－时单调递减．] 3．若函数y＝(k≠0)在(0，＋∞)上是单调递增函数，则(　　) A．k＞0 B．k＜0 C．k＝0 D．b＝0 解析：B　[反比例函数y＝(k≠0)，当k＞0时，函数图像在第一、三象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当k＜0时，函数图像在第二、四象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．] 4．设函数f(x)＝－x＋k－2是R上的奇函数，则实数k＝______. 解析：当k－2＝0时，即k＝2时，f(x)＝－x是奇函数． 答案：2 　一次函数的图像和性质 　已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3. (1)若函数图像经过一，二，三象限，求m的取值范围值； (2)若函数是奇函数，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． [解]　(1)若函数图像经过一，二，三象限，则，解得m>3， ∴m的取值范围为(3，＋∞)． (2)当m－3＝0, 即m＝3时，y＝7x是奇函数． (3)由于函数为一次函数，且y随着x的增大而减小，故2m＋1＜0，解得m＜－0.5.故m的取值范围是(－∞，－0.5)． 一次函数y＝kx＋b(k≠0)图像是一条直线，当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数，当b＝0时 y＝kx是奇函数，当b≠0时y＝kx＋b(k≠0)是非奇非偶函数． [变式训练] 1．若函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为________． 解析：由于函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k2－3k＋2＜0，解得1＜k＜2. 因此，实数k的取值范围是(1,2)． 答案：(1, 2) 　反比例函数的图像和性质 　(1)已知y＝(m＋1)xm－2是反比例函数，则函数图像在(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 (2)若反比例函数y＝在(－∞，0)上是增函数，则m的取值范围为________． [解析]　(1)根据反比例函数y＝(k≠0)的形式，得m－2＝－1，即m＝1，所以m＋1＝2＞0，即函数图像过第一、三象限． (2)反比例函数y＝(k≠0)，当k＞0时，函数图像在第一、三象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当k＜0时，函数图像在第二、四象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．所以此题为m－1＜0，得m＜1. [答案]　(1)A　(2)(－∞，1) (1)反比例函数y＝的图像是由两支曲线组成的． (2)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数；反比例函数y＝是奇函数． [变式训练] 2．一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝在同一直角坐标系内的图像大致是(　　) 解析：D　[由于k≠0，则一次函数y＝kx－k不经过原点，排除C； 当两支曲线分别位于第一、三象限内，则k＞0，一次函数y＝kx－k交y轴于(0，－k)，－k＜0，则交点在y轴负半轴上，排除A； 当两支曲线分别位于第二、四象限内，则k＜0，一次函数y＝kx－k交y轴于(0，－k)，－k＞0，则交点在y轴正半轴上，排除B.] 3．反比例函数y＝，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是(　　) A．m＜3 B．m＞3 C．m＜－3 D．m＞－3 解析：C　[当x>0时，y随x的增大而增大，反比例函数y＝图像在第二、四象限，∴m＋3＜0. ∴m＜－3.] 　二次函数的图像和性质 　已知函数f(x)＝x2－2x，x∈R. (1)画出函数f(x)的简图(不用列表)； (2)根据函数f(x)图像写出函数的定义域、值域、单调区间． [解]　(1) f(x)＝x2－2x，x∈R，图像如下： (2)由(1)图像可知， 函数的定义域为R；值域为[－1，＋∞); 单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为(1，＋∞)． 　已知函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2(a＞0)． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． [解]　(1)因为f(x)的对称轴为x＝－＝，且a＞0， 所以函数f(x)的单调递增区间为. (2)由(1)可得函数f(x)的单调递增区间为. 所以[1，＋∞) ⊆，即≤1， 解得0＜a≤1. 所以a的取值范围为(0,1]． 1．作二次函数图像可用描点法，也可通过对称轴，顶点及开口方向画出草图解决问题． 2．探究二次函数的单调性，要探究对称轴的位置，及开口方向． 3．二次函数ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b＝0时，是偶函数；当b≠0时，是非奇非偶函数． [变式训练] 4．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2－2x＋6 解析：A　[把点(1,0)，(2,5)代入y＝x2＋bx＋c， 得，解得， 所以这个二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3.] 5．若函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________． 解析：函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则函数f(x)的图像关于y轴对称，所以m－1＝0，即m＝1，所以f(x)＝－x2＋2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 1．若函数y＝kx＋b(k≠0)在定义域上具有奇偶性，则下列说法正确的是(　　) A．b＞0　　　　　　　 B．b＜0 C．b＝0 D．无法判断 解析：C　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有当b＝0时，才具有奇偶性．] 2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞.] 3．函数y＝＋2的单调减区间为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：C　[函数y＝＋2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因反比例函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以y＝＋2单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递增区间．] 4．函数f(x)＝－x2＋2(a－3)x＋1在区间[－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：B　[函数f(x)图像的对称轴为x＝－，依题意有－≤－2，解得a≤1.] 5．已知函数f(x)＝ax2＋2，且f(1)＝4，求： (1)a的值； (2)f(3)的值． 解：(1)因函数f(x)＝ax2＋2，且f(1)＝4，则f(1)＝a·12＋2＝4，解得a＝2；综上所述，a＝2. (2)由(1)得f(x)＝2x2＋2， 则f(3)＝2×32＋2＝20. 综上所述，f(3)＝20. [基础过关] 1．若函数y＝kx＋b(k≠0)在定义域R上是单调递减函数，则(　　) A．k＞0　　　　　 B．k＜0 C．k＝0 D．b＝0 解析：B　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数．] 2．二次函数y＝x2＋mx－3在(－∞，－1)上是减函数，在[－1，＋∞)上是增函数，则m的值是(　　) A．2　B．－2　　C．10　　D．－10 解析：A　[由二次函数y＝x2＋mx－3的a＝1＞0，得此函数图像是一条开口向上的抛物线，在对称轴的左侧部分是减函数，对称轴右侧部分是增函数，所以对称轴x＝－＝－＝－1，解得m＝2.] 3．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 解析：B　[由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，知a＜0， ∴g(x)＝a(x2－4x＋3)开口向下，对称轴为x＝2， ∴g(x)在(－∞，2)上单调递增．] 4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由y＝x2＋(2a－1)x＋1可知是二次函数，其对称轴为x＝－， 要使得函数在x∈(－∞，2)上时是减函数，则必须－≥2，即a≤－.] 5．函数f(x)＝|x－1|与g(x)＝x(x－2)的单调递增区间分别为(　　) A．[1，＋∞)，[1，＋∞) B．(－∞，1]，[1，＋∞) C．(1，＋∞)，(－∞，1] D．(－∞，＋∞)，[1，＋∞) 解析：A　[∵f(x)＝|x－1|＝， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∵g(x)＝x(x－2)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增．] 6．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝________. 解析：f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0. 答案：0 7．若函数f(x)＝ax2－1，a＞0，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是________． 解析：f(－1)＝a－1，∴f[f(－1)]＝f(a－1) ＝a(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0， 又∵a＞0，∴(a－1)2＝0，∴a＝1. 答案：1 8．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是_______________． 解析：由f(x)＝|x－2|·x＝ 当x＞2时，f(x)＝x2－2x开口向上，对称轴方程为x＝1，所以在(2，＋∞)上单调递增． 当x≤2时，f(x)＝2x－x2开口向下，对称轴方程为x＝1， 所以此时f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1,2]上单调递减． 答案：[1,2] 9．函数f(x)＝，x∈[－3，－1]的最小值是________，此时x值为________． 解析：因为函数f(x)＝，得k＝5＞0，其图像在定义域上是减函数，所以函数的最小值为f(－1)＝－5；此时x值为－1. 答案：－5　－1 10．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋b－1的对称轴为x＝1. (1)试求二次函数的解析式； (2)求出二次函数的单调递增区间． 解：(1)函数f(x)＝x2＋bx＋b－1的对称轴方程为x＝－＝1，得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x－3. (2)由f(x)＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，得单调递增区间为[1，＋∞)． [能力提升] 11．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，3)上递减 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是 解析：D　[当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，3)上递减，B错误；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0＜a≤，所以a的取值范围是，D正确．] 12．二次函数f(x)＝－x2－4x＋5的定义域为________，值域为__________；在____________上是增函数，在____________上是减函数；是__________函数(奇偶性)；它的图像与x轴的交点为______________，与y轴的交点坐标为_____________． 解析：二次函数f(x)＝－x2－4x＋5的定义域为R，值域为，即值域为(－∞，9]；在上是增函数，即在(－∞，－2]上为增函数；在上是减函数；即在[－2，＋∞)上是减函数；它是非奇非偶函数；它的图像与x轴的交点为(－5,0)和(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,5)． 答案：R；(－∞，9]；(－∞，－2]；[－2，＋∞)；非奇非偶；(－5,0)和(1,0)；(0,5) 13．若函数f(x)＝ax2－x，且f(2)＝6，求 (1)a的值； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(－2)的值． 解：(1)因为函数f(x)＝ax2－x，f(2)＝6, 所以4a－2＝6，解得a＝2. (2)由(1)得函数f(x)＝2x2－x.其函数的定义域为R，对于任意的x∈R，都有－x∈R， 但f(－x)＝2x2＋x≠f(x)；且f(－x)＝2x2＋x≠－f(x)．所以函数是非奇非偶函数． (3)因为函数f(x)＝2x2－x，所以f(－2)＝8＋2＝10. 14．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题． (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求函数f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R， 列表： x －1 0 1 3 y 0 3 4 0 描点，连线，得函数图像如图． 根据图像，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0 所以f(3)＜f(0)＜f(1)． (2)根据图像，容易发现当x1＜x2＜1时， 有f(x1)＜f(x2)． (3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$3.3.3　几种常见的函数 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 ★[学习目标] 1．理解并掌握一次函数、反比例函数和二次函数的图像及性质； 2．学会用数学语言表达函数的定义域、值域、单调性和奇偶性； 3．会运用一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质解决数学问题． 同学们，我们在初中时学过一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数，我们在本章节又重点学习了函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等，那你会用我们刚学的知识去解释这三种函数吗？ 接下来，让我们一起来探究把！ [知识点一]　一次函数 1．一次函数及其图像 y＝kx＋b(k≠0)是一次函数，其图像为直线，如图所示． 2．一次函数的性质 (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域和值域均为R. (2)当k＞0时，在R上是增函数，如图①所示； 当k＜0时，在R上是减函数，如图②所示． (3)当b＝0时，如图③④所示． 一次函数y＝kx(k≠0)是奇函数，其图像关于原点中心对称． [知识点二]　反比例函数 1．反比例函数及其图像 y＝eq \f(k,x)(k≠0)是反比例函数，其图像如图所示． 2．反比例函数的性质 (1)反比例函数的定义域和值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)当k＞0时，函数图像在第一、三象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数； 当k＜0时，函数图像在第二、四象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数． (3)函数是奇函数，图像关于原点中心对称． 1.函数y＝eq \f(2,x)在其定义域上是减函数吗？ 提示：不是减函数． [知识点三]　二次函数 1．二次函数及其图像 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是二次函数，其图像是抛物线，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，对称轴方程为x＝－eq \f(b,2a). 一般地，当a＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条开口向上的抛物线；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条开口向下的抛物线． 2．二次函数的性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 定义域 R 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 奇偶性 当b＝0时为偶函数 单调性 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a))) 上是减函数，在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞)) 上是增函数 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数 1．y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　) A．k＞eq \f(1,2)　　　　　 B．k＞－eq \f(1,2) C．k＜eq \f(1,2) D．k＜－eq \f(1,2) 解析：C　[∵y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数， ∴2k－1＜0，∴k＜eq \f(1,2).] 2．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B．[－1，＋∞] C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) D．(－∞，＋∞) 解析：C　[y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)，其对称轴为x＝－eq \f(1,2)，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－eq \f(1,2)时单调递减．] 3．若函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)在(0，＋∞)上是单调递增函数，则(　　) A．k＞0 B．k＜0 C．k＝0 D．b＝0 解析：B　[反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)，当k＞0时，函数图像在第一、三象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当k＜0时，函数图像在第二、四象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．] 4．设函数f(x)＝－x＋k－2是R上的奇函数，则实数k＝______. 解析：当k－2＝0时，即k＝2时，f(x)＝－x是奇函数． 答案：2 　一次函数的图像和性质 　已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3. (1)若函数图像经过一，二，三象限，求m的取值范围值； (2)若函数是奇函数，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． [解]　(1)若函数图像经过一，二，三象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m＋1＞0,m－3＞0))，解得m>3， ∴m的取值范围为(3，＋∞)． (2)当m－3＝0, 即m＝3时，y＝7x是奇函数． (3)由于函数为一次函数，且y随着x的增大而减小，故2m＋1＜0，解得m＜－0.5.故m的取值范围是(－∞，－0.5)． 一次函数y＝kx＋b(k≠0)图像是一条直线，当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数，当b＝0时 y＝kx是奇函数，当b≠0时y＝kx＋b(k≠0)是非奇非偶函数． [变式训练] 1．若函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为________． 解析：由于函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k2－3k＋2＜0，解得1＜k＜2.因此，实数k的取值范围是(1,2)． 答案：(1, 2) 　反比例函数的图像和性质 　(1)已知y＝(m＋1)xm－2是反比例函数，则函数图像在(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 (2)若反比例函数y＝eq \f(m－1,x)在(－∞，0)上是增函数，则m的取值范围为________． [解析]　(1)根据反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的形式，得m－2＝－1，即m＝1，所以m＋1＝2＞0，即函数图像过第一、三象限． (2)反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)，当k＞0时，函数图像在第一、三象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当k＜0时，函数图像在第二、四象限，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．所以此题为m－1＜0，得m＜1. [答案]　(1)A　(2)(－∞，1) (1)反比例函数y＝eq \f(k,x)的图像是由两支曲线组成的． (2)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数；反比例函数y＝eq \f(k,x)是奇函数． [变式训练] 2．一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝eq \f(k,x)在同一直角坐标系内的图像大致是(　　) 解析：D　[由于k≠0，则一次函数y＝kx－k不经过原点，排除C； 当两支曲线分别位于第一、三象限内，则k＞0，一次函数y＝kx－k交y轴于(0，－k)，－k＜0，则交点在y轴负半轴上，排除A； 当两支曲线分别位于第二、四象限内，则k＜0，一次函数y＝kx－k交y轴于(0，－k)，－k＞0，则交点在y轴正半轴上，排除B.] 3．反比例函数y＝eq \f(m＋3,x)，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是(　　) A．m＜3 B．m＞3 C．m＜－3 D．m＞－3 解析：C　[当x>0时，y随x的增大而增大，反比例函数y＝eq \f(m＋3,x)图像在第二、四象限，∴m＋3＜0. ∴m＜－3.] 　二次函数的图像和性质 　已知函数f(x)＝x2－2x，x∈R. (1)画出函数f(x)的简图(不用列表)； (2)根据函数f(x)图像写出函数的定义域、值域、单调区间． [解]　(1) f(x)＝x2－2x，x∈R，图像如下： (2)由(1)图像可知， 函数的定义域为R；值域为[－1，＋∞); 单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为(1，＋∞)． 　已知函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2(a＞0)． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． [解]　(1)因为f(x)的对称轴为x＝－eq \f(－3a－1,2a)＝eq \f(3a－1,2a)，且a＞0， 所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,2a)，＋∞)). (2)由(1)可得函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,2a)，＋∞)). 所以[1，＋∞) ⊆eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,2a)，＋∞))，即eq \f(3a－1,2a)≤1，解得0＜a≤1. 所以a的取值范围为(0,1]． 1．作二次函数图像可用描点法，也可通过对称轴，顶点及开口方向画出草图解决问题． 2．探究二次函数的单调性，要探究对称轴的位置，及开口方向． 3．二次函数ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b＝0时，是偶函数；当b≠0时，是非奇非偶函数． [变式训练] 4．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2－2x＋6 解析：A　[把点(1,0)，(2,5)代入y＝x2＋bx＋c， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0,4＋2b＋c＝5))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝－3))， 所以这个二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3.] 5．若函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________． 解析：函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则函数f(x)的图像关于y轴对称，所以m－1＝0，即m＝1，所以f(x)＝－x2＋2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 1．若函数y＝kx＋b(k≠0)在定义域上具有奇偶性，则下列说法正确的是(　　) A．b＞0　　　　　　　 B．b＜0 C．b＝0 D．无法判断 解析：C　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有当b＝0时，才具有奇偶性．] 2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) 解析：B　[f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞eq \f(1,3).] 3．函数y＝eq \f(1,x)＋2的单调减区间为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：C　[函数y＝eq \f(1,x)＋2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因反比例函数y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以y＝eq \f(1,x)＋2单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递增区间．] 4．函数f(x)＝－x2＋2(a－3)x＋1在区间[－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：B　[函数f(x)图像的对称轴为x＝－eq \f(a－3,－1)，依题意有－eq \f(a－3,－1)≤－2，解得a≤1.] 5．已知函数f(x)＝ax2＋2，且f(1)＝4，求： (1)a的值； (2)f(3)的值． 解：(1)因函数f(x)＝ax2＋2，且f(1)＝4，则f(1)＝a·12＋2＝4，解得a＝2；综上所述，a＝2. (2)由(1)得f(x)＝2x2＋2， 则f(3)＝2×32＋2＝20. 综上所述，f(3)＝20. $$ [基础过关] 1．若函数y＝kx＋b(k≠0)在定义域R上是单调递减函数，则(　　) A．k＞0　　　　　 B．k＜0 C．k＝0 D．b＝0 解析：B　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数．] 2．二次函数y＝x2＋mx－3在(－∞，－1)上是减函数，在[－1，＋∞)上是增函数，则m的值是(　　) A．2　B．－2　　C．10　　D．－10 解析：A　[由二次函数y＝x2＋mx－3的a＝1＞0，得此函数图像是一条开口向上的抛物线，在对称轴的左侧部分是减函数，对称轴右侧部分是增函数，所以对称轴x＝－＝－＝－1，解得m＝2.] 3．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 解析：B　[由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，知a＜0， ∴g(x)＝a(x2－4x＋3)开口向下，对称轴为x＝2， ∴g(x)在(－∞，2)上单调递增．] 4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由y＝x2＋(2a－1)x＋1可知是二次函数，其对称轴为x＝－， 要使得函数在x∈(－∞，2)上时是减函数，则必须－≥2，即a≤－.] 5．函数f(x)＝|x－1|与g(x)＝x(x－2)的单调递增区间分别为(　　) A．[1，＋∞)，[1，＋∞) B．(－∞，1]，[1，＋∞) C．(1，＋∞)，(－∞，1] D．(－∞，＋∞)，[1，＋∞) 解析：A　[∵f(x)＝|x－1|＝， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∵g(x)＝x(x－2)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增．] 6．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝________. 解析：f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0. 答案：0 7．若函数f(x)＝ax2－1，a＞0，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是________． 解析：f(－1)＝a－1，∴f[f(－1)]＝f(a－1) ＝a(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0， 又∵a＞0，∴(a－1)2＝0，∴a＝1. 答案：1 8．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是_______________． 解析：由f(x)＝|x－2|·x＝ 当x＞2时，f(x)＝x2－2x开口向上，对称轴方程为x＝1，所以在(2，＋∞)上单调递增． 当x≤2时，f(x)＝2x－x2开口向下，对称轴方程为x＝1， 所以此时f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1,2]上单调递减． 答案：[1,2] 9．函数f(x)＝，x∈[－3，－1]的最小值是________，此时x值为________． 解析：因为函数f(x)＝，得k＝5＞0，其图像在定义域上是减函数，所以函数的最小值为f(－1)＝－5；此时x值为－1. 答案：－5　－1 10．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋b－1的对称轴为x＝1. (1)试求二次函数的解析式； (2)求出二次函数的单调递增区间． 解：(1)函数f(x)＝x2＋bx＋b－1的对称轴方程为x＝－＝1，得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x－3. (2)由f(x)＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，得单调递增区间为[1，＋∞)． [能力提升] 11．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，3)上递减 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是 解析：D　[当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，3)上递减，B错误；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0＜a≤，所以a的取值范围是，D正确．] 12．二次函数f(x)＝－x2－4x＋5的定义域为________，值域为__________；在____________上是增函数，在____________上是减函数；是__________函数(奇偶性)；它的图像与x轴的交点为______________，与y轴的交点坐标为_____________． 解析：二次函数f(x)＝－x2－4x＋5的定义域为R，值域为，即值域为(－∞，9]；在上是增函数，即在(－∞，－2]上为增函数；在上是减函数；即在[－2，＋∞)上是减函数；它是非奇非偶函数；它的图像与x轴的交点为(－5,0)和(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,5)． 答案：R；(－∞，9]；(－∞，－2]；[－2，＋∞)；非奇非偶；(－5,0)和(1,0)；(0,5) 13．若函数f(x)＝ax2－x，且f(2)＝6，求 (1)a的值； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(－2)的值． 解：(1)因为函数f(x)＝ax2－x，f(2)＝6, 所以4a－2＝6，解得a＝2. (2)由(1)得函数f(x)＝2x2－x.其函数的定义域为R，对于任意的x∈R，都有－x∈R， 但f(－x)＝2x2＋x≠f(x)；且f(－x)＝2x2＋x≠－f(x)．所以函数是非奇非偶函数． (3)因为函数f(x)＝2x2－x，所以f(－2)＝8＋2＝10. 14．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题． (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求函数f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R， 列表： x －1 0 1 3 y 0 3 4 0 描点，连线，得函数图像如图． 根据图像，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0 所以f(3)＜f(0)＜f(1)． (2)根据图像，容易发现当x1＜x2＜1时， 有f(x1)＜f(x2)． (3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$