3.3.2 第2课时 函数的奇偶性（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

[基础过关] 1．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x＋2，则f(0)＋f(3)＝(　　) A．－3　　B．－1　　　C．1　　　D．3 解析：C　[因为函数f(x)为R上的奇函数， 当x＜0时，f(x)＝x＋2， 所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1. 而f(0)＝0，∴f(0)＋f(3)＝1.] 2．已知函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x(x＋1)，则f(－3)＝(　　) A．－12 B．12 C．9 D．－9 解析：B　[f(3)＝－3×4＝－12，因为函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝12.] 3．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f(x)的图像如图所示，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＞f(－2)＞f(3) B．f(3)＞f(1)＞f(－2) C．f(1)＞f(3)＞f(－2) D．f(－2)＞f(1)＞f(3) 解析：A　[由题意，函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，可得f(－2)＝f(2)，又由当x≥0时，函数为单调递减函数，所以f(1)＞f(2)＞f(3)， 所以f(1)＞f(－2)＞f(3)．] 4．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[－1,2] C．[0,4] D．[1,3] 解析：D　[由函数f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1即为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.] 5．已知奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的增函数，且f(t)＋f(2t＋1)＞0，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[依题意奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的增函数， f(t)＋f(2t＋1)＞0，f(2t＋1)＞－f(t)＝f(－t)， ⇒－＜t＜.] 6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________. 解析：因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 答案：3 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________． 解析：利用奇函数图像关于原点对称，画出函数f(x)的简图(图略)，从图中容易看出x∈(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 8．设偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)≤f(1)的x的取值范围是___________． 解析：因为函数是偶函数，所以f(2x－1)≤f(1)⇔f(|2x－1|)≤f(1)， 因为函数在区间[0，＋∞)单调递增，所以|2x－1|≤1，得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1. 答案：[0,1] 9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时， f(x)＝3x2－2x＋m，则f(x)在[1,2]上的最大值为________． 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， 又∵x≤0，f(x)＝3x2－2x＋m，∴f(0)＝0＝m， ∴x≤0时，f(x)＝3x2－2x， 设x＞0，则－x＜0，则f(－x)＝3x2＋2x， 则f(x)＝－f(－x)＝－3x2－2x， 即当x＞0时，f(x)＝－3x2－2x，∴f(x)在[1,2]上单调递减， ∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)＝－5. 答案：－5 10．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1－m)＜f(m)． (1)若f(x)是奇函数，求m的取值范围； (2)若f(x)是偶函数，求m的取值范围． 解：(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在[－2,2]上单调递减，故，解得m∈， 故m的取值范围为. (2)若f(x)是偶函数，因为f(x)在[0,2]上单调递减，故在[－2,0)上单调递增，由f(1－m)＜f(m)，得f(|1－m|)＜f(|m|)，故， 解得m∈， 故m的取值范围为. [能力提升] 11．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是(　　) A．a<1 B．a<3 C．a>1 D．a>3 解析：B　[∵f(x)在R上为奇函数，∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)． 又f(x)在R上单调递减，∴2－a>a－4，得a<3.] 12．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与 f 的大小关系是(　　) A．f > f B．f < f C．f ≥ f D．f ≤ f 解析：C　[因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ＝f ≥ f .] 13．已知f(x)＝，若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是____________． 解析：当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x＝f(x)， ∴f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤2f(1)，即f(a)≤f(1)； ∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减， ∴|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1,1]． 答案：[－1,1] 14．f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数． (1)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (2)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0. 解：(1)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝， 因为－1＜x1＜x2＜1， 所以x1－x2＜0,1－x1x2＞0， (1＋x)(1＋x)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以函数f(x)在(－1,1)上是增函数． (2)由函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数且 f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)， 又由(1)可知函数f(x)在(－1,1)上是增函数，所以有⇒0＜t＜.所以不等式的解集是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二课时　函数奇偶性的应用 ★[学习目标] 1．掌握函数奇偶性的简单应用； 2．了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件． 　根据函数奇偶性求函数解析式 　已知函数y＝f(x)的图像关于原点对称，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.试求f(x)在R上的解析式． [解]　∵f(x)的图像关于原点对称， ∴f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． 又f(x)的定义域为R， ∴f(0)＝－f(0)，解得f(0)＝0. 设x＜0，则－x＞0， ∵当x＞0时，f(x)＝x2－2x， ∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－2x， 所以f(x)＝. 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． [变式训练] 1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x＋2，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x－2　　　　　　　 B．－x＋2 C．x－2 D．x＋2 解析：C　[x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x＋2， ∴f(x)＝－f(－x)＝x－2.] 　函数单调性与奇偶性的关系 　(1)已知R上的奇函数f(x)是增函数，若f(a)＋f(3a－1)＜0，则a的取值范围是________． [解析]　因为函数为奇函数，所以f(a)＋f(3a－1)＜0⇒f(a)＜－f(3a－1)＝f(1－3a)，而函数在R上为增函数，则a＜1－3a⇒a∈. [答案]　 (2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [解]　∵函数f(x)是偶函数， ∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． ∴原不等式等价于 ∴实数m的取值范围是. 解不等式的策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [变式训练] 2．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(0,1) D．[－1,1) 解析：A　[由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.] 3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x)＞f(4)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(4，＋∞) C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－4,4) 解析：D　[∵因为偶函数满足f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，∴f(x)＝f(|x|)＞f(4)，又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x|＜4，即－4＜x＜4，∴x∈(－4,4)．] 　利用奇偶性、单调性比较大小 　设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(2)<f<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f D．f(－1)<f<f(2) [解析]　B　[因为函数y＝f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)， 由于函数y＝f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，∴f(－2)＜f＜f(－1)，即f(2)＜f＜f(－1)．] 比较大小的求解策略 　看自变量是否在同一单调区间上． (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． [变式训练] 4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　) A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10) C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定 解析：A　[f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)． 又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10， ∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．] 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　) A．－1　B．1　　C．－2　　D．2 解析：A　[由题意可得，f(2)＝22－3＝1，由于函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，因此，f(－2)＝－f(2)＝－1.] 2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 解析：C　[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在实数集上是增函数且f(3)＜f|2a＋1|，∴3＜|2a＋1|，解得a＞1或a＜－2.] 3．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 解析：C　[∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)．] 4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为________． 解析：当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x＋1. 答案：f(x)＝x＋1 5．若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，求不等式f(x)≥0的解集． 解：若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(－x)＝f(x)，因为f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，综上当x≤－1或x≥1时，f(x)≥0，即f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥1}. [基础过关] 1．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x＋2，则f(0)＋f(3)＝(　　) A．－3　　B．－1　　　C．1　　　D．3 解析：C　[因为函数f(x)为R上的奇函数， 当x＜0时，f(x)＝x＋2， 所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1. 而f(0)＝0，∴f(0)＋f(3)＝1.] 2．已知函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x(x＋1)，则f(－3)＝(　　) A．－12 B．12 C．9 D．－9 解析：B　[f(3)＝－3×4＝－12，因为函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝12.] 3．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f(x)的图像如图所示，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＞f(－2)＞f(3) B．f(3)＞f(1)＞f(－2) C．f(1)＞f(3)＞f(－2) D．f(－2)＞f(1)＞f(3) 解析：A　[由题意，函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，可得f(－2)＝f(2)，又由当x≥0时，函数为单调递减函数，所以f(1)＞f(2)＞f(3)， 所以f(1)＞f(－2)＞f(3)．] 4．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[－1,2] C．[0,4] D．[1,3] 解析：D　[由函数f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1即为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.] 5．已知奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的增函数，且f(t)＋f(2t＋1)＞0，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[依题意奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的增函数， f(t)＋f(2t＋1)＞0，f(2t＋1)＞－f(t)＝f(－t)， ⇒－＜t＜.] 6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________. 解析：因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 答案：3 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________． 解析：利用奇函数图像关于原点对称，画出函数f(x)的简图(图略)，从图中容易看出x∈(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 8．设偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)≤f(1)的x的取值范围是___________． 解析：因为函数是偶函数，所以f(2x－1)≤f(1)⇔f(|2x－1|)≤f(1)， 因为函数在区间[0，＋∞)单调递增，所以|2x－1|≤1，得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1. 答案：[0,1] 9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时， f(x)＝3x2－2x＋m，则f(x)在[1,2]上的最大值为________． 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， 又∵x≤0，f(x)＝3x2－2x＋m，∴f(0)＝0＝m， ∴x≤0时，f(x)＝3x2－2x， 设x＞0，则－x＜0，则f(－x)＝3x2＋2x， 则f(x)＝－f(－x)＝－3x2－2x， 即当x＞0时，f(x)＝－3x2－2x，∴f(x)在[1,2]上单调递减， ∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)＝－5. 答案：－5 10．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1－m)＜f(m)． (1)若f(x)是奇函数，求m的取值范围； (2)若f(x)是偶函数，求m的取值范围． 解：(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在[－2,2]上单调递减，故，解得m∈， 故m的取值范围为. (2)若f(x)是偶函数，因为f(x)在[0,2]上单调递减，故在[－2,0)上单调递增，由f(1－m)＜f(m)，得f(|1－m|)＜f(|m|)，故， 解得m∈， 故m的取值范围为. [能力提升] 11．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是(　　) A．a<1 B．a<3 C．a>1 D．a>3 解析：B　[∵f(x)在R上为奇函数，∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)． 又f(x)在R上单调递减，∴2－a>a－4，得a<3.] 12．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与 f 的大小关系是(　　) A．f > f B．f < f C．f ≥ f D．f ≤ f 解析：C　[因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ＝f ≥ f .] 13．已知f(x)＝，若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是____________． 解析：当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x＝f(x)， ∴f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤2f(1)，即f(a)≤f(1)； ∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减， ∴|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1,1]． 答案：[－1,1] 14．f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数． (1)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (2)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0. 解：(1)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝， 因为－1＜x1＜x2＜1， 所以x1－x2＜0,1－x1x2＞0， (1＋x)(1＋x)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以函数f(x)在(－1,1)上是增函数． (2)由函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数且 f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)， 又由(1)可知函数f(x)在(－1,1)上是增函数，所以有⇒0＜t＜.所以不等式的解集是. 学科网（北京）股份有限公司 $$第二课时　函数奇偶性的应用 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 课堂·互动学案 01 随堂·步步夯实 02 课后·素养提升 03 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 ★[学习目标] 1．掌握函数奇偶性的简单应用； 2．了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件． 　根据函数奇偶性求函数解析式 　已知函数y＝f(x)的图像关于原点对称，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.试求f(x)在R上的解析式． [解]　∵f(x)的图像关于原点对称，∴f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． 又f(x)的定义域为R，∴f(0)＝－f(0)，解得f(0)＝0. 设x＜0，则－x＞0，∵当x＞0时，f(x)＝x2－2x， ∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－2x， 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2xx＞0,0x＝0,－x2－2xx＜0)). 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． [变式训练] 1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x＋2，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x－2　　　　　　　 B．－x＋2 C．x－2 D．x＋2 解析：C　[x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x＋2， ∴f(x)＝－f(－x)＝x－2.] [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) 　函数单调性与奇偶性的关系 　(1)已知R上的奇函数f(x)是增函数，若f(a)＋f(3a－1)＜0，则a的取值范围是________． [解析]　因为函数为奇函数，所以f(a)＋f(3a－1)＜0⇒f(a)＜－f(3a－1)＝f(1－3a)，而函数在R上为增函数，则a＜1－3a⇒a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))). (2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [解]　∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．∴原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，解得－1≤m<\f(1,2).,|1－m|>|m|，))∴实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). 解不等式的策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [变式训练] 2．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(0,1) D．[－1,1) 解析：A　[由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.] 3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x)＞f(4)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(4，＋∞) C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－4,4) 解析：D　[∵因为偶函数满足f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，∴f(x)＝f(|x|)＞f(4)，又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x|＜4，即－4＜x＜4，∴x∈(－4,4)．] 　利用奇偶性、单调性比较大小 　设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2) B．f(2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1) C．f(2)<f(－1)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) D．f(－1)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2) [解析]　B　[因为函数y＝f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)， 由于函数y＝f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2＜－eq \f(3,2)＜－1，∴f(－2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜f(－1)，即f(2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜f(－1)．] 比较大小的求解策略 　看自变量是否在同一单调区间上． (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． [变式训练] 4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　) A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10) C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定 解析：A　[f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)． 又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10， ∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．] 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　) A．－1　B．1　　C．－2　　D．2 解析：A　[由题意可得，f(2)＝22－3＝1，由于函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，因此，f(－2)＝－f(2)＝－1.] 2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 解析：C　[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在实数集上是增函数且f(3)＜f|2a＋1|，∴3＜|2a＋1|，解得a＞1或a＜－2.] 3．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 解析：C　[∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)．] 4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为________． 解析：当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x＋1. 答案：f(x)＝x＋1 5．若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，求不等式f(x)≥0的解集． 解：若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(－x)＝f(x)，因为f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，综上当x≤－1或x≥1时，f(x)≥0，即f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥1}. $$