3.1 函数的概念（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

3．1　函数的概念 ★[学习目标] 1．会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； 2．了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域． 一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度为h(单位：m)，随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. [问题] (1)炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么？ (2)炮弹距地面的高度h的变化范围的集合B是什么？ (3)对任一时刻t，高度h是否唯一确定？ 提示：(1)A＝{t|0≤t≤26)．(2)B＝{h|0≤h≤845}．(3)唯一确定． [知识点一]　函数的概念 1．定义：一般地，设D是非空实数集，对于D中的每一个x，按照某个 对应法则 f，都有唯一确定的实数y与它对应，则称这个对应关系为集合D上的函数，记作 y＝f(x)，x∈D . 2．定义域：函数y＝f(x)中，x称为函数的 自变量 ，集合D称为函数的 定义域 ． 3．值域：当x0∈D时，与x0相对应的值y0称为函数在点x0处的 函数值 ，记作y0＝f(x0)．函数值的集合 {y|y＝f(x)，x∈D} 称为函数的值域． 1.有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 2．f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． [知识点二]　函数要素及函数相等 1．函数要素： 定义域 与 对应法则 是函数的两个要素． 2．函数相等：由于函数的值域是由 定义域 和 对应关系 确定的，如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，就称这两个函数相等；如果两个函数的 定义域 不同，则这两个函数 不相等 ． 3.函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？ 提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可． 4．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． 1．如图可作为函数y＝f(x)的图像的是(　　) 解析：D　[根据函数的概念，可知对任意的x值，有唯一的y值相对应，结合选项，可得只有选项D可作为函数y＝f(x)的图像．] 2．下列选项中不是函数的是(　　) A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝x2－ C．x＝y＋1 D．y2＝1－x2 解析：D　[A、B、C选项任意的x都能找到唯一的y值与之对应，所以是函数，而D选项反例：x＝时，y＝±，因此不是函数．] 3．已知函数f(x)＝x2－3x，则f(1)＝(　　) A．－2　B．－1　　C．0　　D．2 解析：A　[∵函数f(x)＝x2－3x，∴f(1)＝12－3×1＝1－3＝－2.] 4．函数f(x)＝的定义域是________． 解析：由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}． 答案：{x|x<4} 　函数概念的理解 　(1)下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图像的是(　　) (2)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x； ④f：x→y＝. [解析]　(1)B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性， A、C、D满足函数的定义． (2)①②④满足函数的定义，所以是函数， 对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数． [答案]　(1)B　(2)③ 1．判断对应关系是否为函数的方法 若两个变量x与y ，并对于x每确定一个值，y都有唯一的值与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 如图所示： [变式训练] 1．函数y＝f(x)与y轴的交点个数为(　　) A．至少1个　　 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与f(x)有关，不能确定 解析：B　[由函数定义可知，定义域包含x＝0时，则与y轴有1个交点，当定义域不包含x＝0时，则与y轴无交点，所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数为0个．] 2．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是(　　) 解析：D　[A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．] 　函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝·＋2； (2)f(x)＝＋. [解]　(1)要使此函数有意义，应满足 即1≤x≤4，所以函数的定义域是{x|1≤x≤4}． (2)要使此函数有意义，则 ⇒⇒x≥－3，且x≠－2. 所以函数的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}． 定义域的求法 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合． (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合． (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合． (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． [变式训练] 3．求下列函数的定义域： (1)y＝－； (2)y＝. 解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即 即解得－3≤x≤2且x≠－1， 即函数定义域为{x|－3≤x≤2且x≠－1}． (2)要使函数有意义，则解得－≤x≤ ，且x≠±3，即定义域为{x|－≤x≤，且x≠±3}． 　判定函数相等 　下列函数中与函数y＝x表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝ B．g(x)＝ C．y＝ D．y＝|x| [解析]　A　[选项A，函数f(x)＝＝x的定义域为R，和y＝x定义域、对应法则相同，是同一函数； 选项B，函数g(x)＝＝|x|的定义域为R，和y＝x的对应法则不相同，不是同一函数； 选项C，函数y＝的定义域为{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，不是同一函数； 选项D，函数y＝|x|的定义域为R，和y＝x的对应法则不相同，不是同一函数．] 如何判断两个函数是否相等 (1)判断定义域是否相等； (2)判断对应关系是否相等； (3)结论：如果(1)和(2)都肯定，则两个函数相等；如果(1)和(2)中有一个否定，则两个函数不等． [变式训练] 4．已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝x0；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中表示同一函数的是___________． 解析：对于①，f(x)＝x定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，定义域不相同，所以不是同一函数； 对于②，f(x)＝x定义域为R，g(x)＝＝x定义域为R；定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于③，f(x)＝＝1定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x0＝1定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于④，f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数． 综上可知，②③④表示同一函数． 答案：②③④ 　函数值和函数的值域 　(1)已知f(x)＝x2＋2x＋1，则f(2)＝______. (2)若f(x)＝，则f(3)＝_____，f(f(－2))＝__________. [解析]　(1)f(2)＝22＋2×2＋1＝9. (2)f(3)＝＝－，∵f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＋1＝1，∴f(f(－2))＝12＋2×1＋1＝3. [答案]　(1) 9　(2)－　3 　(1)函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是(　　) A．0,2,3 B．0≤y≤3 C．{0,2,3} D．[0,3] (2)函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域为____________． [解析]　(1)由题意f(－1)＝0，f(1)＝2，f(2)＝3. ∴值域为{0,2,3}． (2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1,5)，由图所示． 所以所求函数的值域为[2,11)． [答案]　(1)C　(2)[2,11) 1．求函数值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域； ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域． (2)常用方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． [变式训练] 5．(1)函数y＝－，x∈[0,2]的值域是(　　) A. B．[－2,0) C．(0,1] D．[－2，－1] (2)若f(x)＝，则f(－3)＝_________. 解析：(1)由题意，令t＝x＋1，由于x∈[0,2]， 故t∈[1,3]， 故y＝－，由反比例函数的性质，y＝－在t∈[1,3]单调递增， 故当t＝1时，ymin＝－2；当t＝3时，ymax＝－， 故函数在x∈[0,2]的值域为. (2)由题意得f(－3)＝＝－. 答案：(1)A　(2)－ 1．已知对应关系f：x→y＝x2－1，x∈A，y∈B，若4∈A，则在B中的对应元素是(　　) A．15　B．17　　C.　　D．± 解析：A　[4在B中的对应元素是42－1＝15.] 2．与函数y＝2x表示同一函数是(　　) A．y＝2()2 B．u＝2 C．y＝2 D．m＝ 解析：B　[对于A，函数y＝2()2＝2x(x≥0)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数u＝2＝2v(v∈R)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数y＝2＝2|x|(x∈R)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数； 对于D，函数m＝＝2n(n≠0)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域不相同，不是同一函数．] 3．函数y＝的定义域是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－1,1) D．(1，＋∞) 解析：B　[x2－1≥0⇒x≥1或x≤－1.] 4．设函数f(x)＝x2－1，若f(x)＝3，则实数x的值为________． 解析：f(x)＝x2－1＝3，解得x＝±2. 答案：±2 5．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)的值； (2)求函数f(x)的定义域和值域． 解：(1)f(2)＝＝－. (2)要使f(x)有意义，则x≠－2； ∴f(x)的定义域为{x|x≠－2}； f(x)＝＝1－；≠0； ∴f(x)≠1；∴f(x)的值域为{f(x)|f(x)≠1}. [基础过关] 1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是(　　) 解析：C　[如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义．其它三个选项都符合函数的定义．] 2．下列四个方程中表示y是x的函数的是(　　) ①x－2y＝6；②x2＋y＝1；③x＋y2＝1；④x＝. A．①②　　　　　 B．①④ C．③④ D．①②④ 解析：D　[根据函数的定义，对于x任意一个值，y有唯一的值与之对应，可知表示y是x的函数的是①②④.] 3．已知f(x)＝，当f(x)＝时x的值是(　　) A．－2　B．0　　C．1　　D．2 解析：D　[因为f(x)＝，f(x)＝，即＝，解得x＝2.] 4．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(1,3) D．[1,3)∪(3，＋∞) 解析：D　[要使函数有意义，必须，解之得x≥1，x≠3， 则函数f(x)的定义域为[1,3)∪(3，＋∞)．] 5．下列四组函数中相等的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 解析：C　[选项A，定义域不同，选项B，对应法则不同， 选项D，定义域、对应法则都不同．] 6．若函数f(x)＝x2＋a且f(1)＝0，则a的值为________． 解析：因为f(1)＝1＋a＝0，所以a＝－1. 答案：－1 7．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝，则f(g(0))＝________；g(f(0))＝________. 解析：因为f(x)＝2x＋1，g(x)＝，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以f(g(0))＝2×1＋1＝3， g(f(0))＝＝. 答案：3　 8．已知函数f(x)＝x3＋ax－3，且f(m)＝2，那么f(－m)的值为______． 解析：设g(x)＝f(x)＋3＝x3＋ax，可得g(－x)＝(－x)3＋a(－x)＝－x3－ax＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，因为f(m)＝2，可得g(m)＝f(m)＋3＝5，可得g(－m)＝－5，所以f(－m)＋3＝－5，可得f(－m)＝－8. 答案：－8 9．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1)) ＝－1，那么a的值是_____． 解析：∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1， f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1. ∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1. 答案：1 10．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1 则(1)f(g(1))的值； (2)函数y＝g(f(x))的值域； (3)方程g(f(x))＝x的解集． 解：(1)由表格可知，g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝1. (2)函数f(x)的定义域是{1,2,3}．则当x＝1时，y＝g(f(1))＝g(1)＝3；当x＝2时，y＝g(f(2))＝g(3)＝1；当x＝3时，y＝g(f(3))＝g(1)＝3.所以函数y＝g(f(x))的值域为{1,3}． (3)当x＝1时，f(1)＝1，g(f(1))＝3，不符合题意；当x＝2时，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合题意；当x＝3时，f(3)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}． [能力提升] 11．函数f(x)＝x2－8x＋4在[1,8]上的值域为(　　) A．[－12，－3] B．[－16,4] C．[－3,4] D．[－12,4] 解析：D　[函数f(x)＝x2－8x＋4的对称轴为x＝4，由于二次函数f(x)的开口向上， 故函数f(x)在x＝4处取到最小值f(4)＝42－8×4＋4＝－12， 最大值为f(8)＝82－8×8＋4＝4，故所求值域为[－12,4]．] 12．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为________． 解析：由得0≤x≤， 所以函数f(2x)＋f的定义域为. 答案： 13．已知f(x)＝(x≠－1)，g(x)＝x2＋2， 则f(2)＝________，f(g(2))＝________. 解析：因为f(x)＝，故可得f(2)＝； 又g(x)＝x2＋2，故可得g(2)＝22＋2＝6， 故f(g(2))＝f(6)＝. 答案：　 14．已知函数f(x)＝－. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(12)的值． 解：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0， ∴x≥－4且x≠1， 即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f(－1)＝－＝－3－. f(12)＝－＝－4＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是(　　) 解析：C　[如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义．其它三个选项都符合函数的定义．] 2．下列四个方程中表示y是x的函数的是(　　) ①x－2y＝6；②x2＋y＝1；③x＋y2＝1；④x＝. A．①②　　　　　 B．①④ C．③④ D．①②④ 解析：D　[根据函数的定义，对于x任意一个值，y有唯一的值与之对应，可知表示y是x的函数的是①②④.] 3．已知f(x)＝，当f(x)＝时x的值是(　　) A．－2　B．0　　C．1　　D．2 解析：D　[因为f(x)＝，f(x)＝，即＝，解得x＝2.] 4．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(1,3) D．[1,3)∪(3，＋∞) 解析：D　[要使函数有意义，必须，解之得x≥1，x≠3， 则函数f(x)的定义域为[1,3)∪(3，＋∞)．] 5．下列四组函数中相等的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 解析：C　[选项A，定义域不同，选项B，对应法则不同， 选项D，定义域、对应法则都不同．] 6．若函数f(x)＝x2＋a且f(1)＝0，则a的值为________． 解析：因为f(1)＝1＋a＝0，所以a＝－1. 答案：－1 7．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝，则f(g(0))＝________；g(f(0))＝________. 解析：因为f(x)＝2x＋1，g(x)＝，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以f(g(0))＝2×1＋1＝3， g(f(0))＝＝. 答案：3　 8．已知函数f(x)＝x3＋ax－3，且f(m)＝2，那么f(－m)的值为______． 解析：设g(x)＝f(x)＋3＝x3＋ax，可得g(－x)＝(－x)3＋a(－x)＝－x3－ax＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，因为f(m)＝2，可得g(m)＝f(m)＋3＝5，可得g(－m)＝－5，所以f(－m)＋3＝－5，可得f(－m)＝－8. 答案：－8 9．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1)) ＝－1，那么a的值是_____． 解析：∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1， f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1. ∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1. 答案：1 10．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1 则(1)f(g(1))的值； (2)函数y＝g(f(x))的值域； (3)方程g(f(x))＝x的解集． 解：(1)由表格可知，g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝1. (2)函数f(x)的定义域是{1,2,3}．则当x＝1时，y＝g(f(1))＝g(1)＝3；当x＝2时，y＝g(f(2))＝g(3)＝1；当x＝3时，y＝g(f(3))＝g(1)＝3.所以函数y＝g(f(x))的值域为{1,3}． (3)当x＝1时，f(1)＝1，g(f(1))＝3，不符合题意；当x＝2时，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合题意；当x＝3时，f(3)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}． [能力提升] 11．函数f(x)＝x2－8x＋4在[1,8]上的值域为(　　) A．[－12，－3] B．[－16,4] C．[－3,4] D．[－12,4] 解析：D　[函数f(x)＝x2－8x＋4的对称轴为x＝4，由于二次函数f(x)的开口向上， 故函数f(x)在x＝4处取到最小值f(4)＝42－8×4＋4＝－12， 最大值为f(8)＝82－8×8＋4＝4，故所求值域为[－12,4]．] 12．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为________． 解析：由得0≤x≤， 所以函数f(2x)＋f的定义域为. 答案： 13．已知f(x)＝(x≠－1)，g(x)＝x2＋2， 则f(2)＝________，f(g(2))＝________. 解析：因为f(x)＝，故可得f(2)＝； 又g(x)＝x2＋2，故可得g(2)＝22＋2＝6， 故f(g(2))＝f(6)＝. 答案：　 14．已知函数f(x)＝－. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(12)的值． 解：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0， ∴x≥－4且x≠1， 即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f(－1)＝－＝－3－. f(12)＝－＝－4＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$3．1　函数的概念 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第3章 函数 ★[学习目标] 1．会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； 2．了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域． 一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度为h(单位：m)，随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. [问题] (1)炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么？ (2)炮弹距地面的高度h的变化范围的集合B是什么？ (3)对任一时刻t，高度h是否唯一确定？ 提示：(1)A＝{t|0≤t≤26)．(2)B＝{h|0≤h≤845}．(3)唯一确定． [知识点一]　函数的概念 1．定义：一般地，设D是非空实数集，对于D中的每一个x，按照某个 对应法则 f，都有唯一确定的实数y与它对应，则称这个对应关系为集合D上的函数，记作 y＝f(x)，x∈D . 2．定义域：函数y＝f(x)中，x称为函数的 自变量 ，集合D称为函数的 定义域 ． 3．值域：当x0∈D时，与x0相对应的值y0称为函数在点x0处的 函数值 ，记作y0＝f(x0)．函数值的集合 {y|y＝f(x)，x∈D} 称为函数的值域． 1.有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 2．f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． [知识点二]　函数要素及函数相等 1．函数要素： 定义域 与 对应法则 是函数的两个要素． 2．函数相等：由于函数的值域是由 定义域 和 对应关系 确定的，如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，就称这两个函数相等；如果两个函数的 定义域 不同，则这两个函数 不相等 ． 3.函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？ 提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可． 4．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． 1．如图可作为函数y＝f(x)的图像的是(　　) 解析：D　[根据函数的概念，可知对任意的x值，有唯一的y值相对应，结合选项，可得只有选项D可作为函数y＝f(x)的图像．] 2．下列选项中不是函数的是(　　) A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝x2－eq \r(2) C．x＝y＋1 D．y2＝1－x2 解析：D　[A、B、C选项任意的x都能找到唯一的y值与之对应，所以是函数，而D选项反例：x＝eq \f(1,2)时，y＝±eq \f(\r(3),2)，因此不是函数．] 3．已知函数f(x)＝x2－3x，则f(1)＝(　　) A．－2　B．－1　　C．0　　D．2 解析：A　[∵函数f(x)＝x2－3x，∴f(1)＝12－3×1＝1－3＝－2.] 4．函数f(x)＝eq \f(1,\r(4－x))的定义域是________． 解析：由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}． 答案：{x|x<4} 　函数概念的理解 　(1)下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图像的是(　　) (2)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x). [解析]　(1)B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A、C、D满足函数的定义． (2)①②④满足函数的定义，所以是函数， 对于③，因为当x＝4时，y＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)∉Q，所以③不是函数． [答案]　(1)B　(2)③ 1．判断对应关系是否为函数的方法 若两个变量x与y ，并对于x每确定一个值，y都有唯一的值与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 如图所示： [变式训练] 1．函数y＝f(x)与y轴的交点个数为(　　) A．至少1个　　 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与f(x)有关，不能确定 解析：B　[由函数定义可知，定义域包含x＝0时，则与y轴有1个交点，当定义域不包含x＝0时，则与y轴无交点，所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数为0个．] 2．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是(　　) 解析：D　[A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．] 　函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(4－x)＋2； (2)f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2). [解]　(1)要使此函数有意义，应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,4－x≥0，)) 即1≤x≤4，所以函数的定义域是{x|1≤x≤4}． (2)要使此函数有意义，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3≥0，,x＋2≠0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－3，,x≠－2))⇒x≥－3，且x≠－2. 所以函数的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}． 定义域的求法 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合． (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合． (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合． (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． [变式训练] 3．求下列函数的定义域： (1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(－x2－x＋6)； (2)y＝eq \f(\r(10－x2),|x|－3). 解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,－x2－x＋6≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x2＋x－6≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x＋3x－2≤0，))解得－3≤x≤2且x≠－1， 即函数定义域为{x|－3≤x≤2且x≠－1}． (2)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(10－x2≥0，,|x|－3≠0，))解得－eq \r(10)≤x≤ eq \r(10)，且x≠±3，即定义域为{x|－eq \r(10)≤x≤eq \r(10)，且x≠±3}． 　判定函数相等 　下列函数中与函数y＝x表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝eq \r(3,x3) B．g(x)＝eq \r(x2) C．y＝eq \f(x2,x) D．y＝|x| [解析]　A　[选项A，函数f(x)＝eq \r(3,x3)＝x的定义域为R，和y＝x定义域、对应法则相同，是同一函数； 选项B，函数g(x)＝eq \r(x2)＝|x|的定义域为R，和y＝x的对应法则不相同，不是同一函数； 选项C，函数y＝eq \f(x2,x)的定义域为{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，不是同一函数； 选项D，函数y＝|x|的定义域为R，和y＝x的对应法则不相同，不是同一函数．] 如何判断两个函数是否相等 (1)判断定义域是否相等； (2)判断对应关系是否相等； (3)结论：如果(1)和(2)都肯定，则两个函数相等；如果(1)和(2)中有一个否定，则两个函数不等． [变式训练] 4．已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2；②f(x)＝x，g(x)＝eq \r(5,x5)；③f(x)＝eq \f(x,x)，g(x)＝x0；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中表示同一函数的是___________． 解析：对于①，f(x)＝x定义域为R，g(x)＝(eq \r(x))2的定义域为{x|x≥0}，定义域不相同，所以不是同一函数； 对于②，f(x)＝x定义域为R，g(x)＝eq \r(5,x5)＝x定义域为R；定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于③，f(x)＝eq \f(x,x)＝1定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x0＝1定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于④，f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数． 综上可知，②③④表示同一函数． 答案：②③④ 　函数值和函数的值域 　(1)已知f(x)＝x2＋2x＋1，则f(2)＝______. (2)若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝_____，f(f(－2))＝__________. [解析]　(1)f(2)＝22＋2×2＋1＝9. (2)f(3)＝eq \f(1,1－32)＝－eq \f(1,8)，∵f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＋1＝1，∴f(f(－2))＝12＋2×1＋1＝3. [答案]　(1) 9　(2)－eq \f(1,8)　3 　(1)函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是(　　) A．0,2,3 B．0≤y≤3 C．{0,2,3} D．[0,3] (2)函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域为____________． [解析]　(1)由题意f(－1)＝0，f(1)＝2，f(2)＝3. ∴值域为{0,2,3}． (2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1,5)，由图所示． 所以所求函数的值域为[2,11)． [答案]　(1)C　(2)[2,11) 1．求函数值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域； ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域． (2)常用方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． [变式训练] 5．(1)函数y＝－eq \f(2,x＋1)，x∈[0,2]的值域是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3))) B．[－2,0) C．(0,1] D．[－2，－1] (2)若f(x)＝eq \f(x,\r(1－x))，则f(－3)＝_________. 解析：(1)由题意，令t＝x＋1，由于x∈[0,2]，故t∈[1,3]， 故y＝－eq \f(2,t)，由反比例函数的性质，y＝－eq \f(2,t)在t∈[1,3]单调递增， 故当t＝1时，ymin＝－2；当t＝3时，ymax＝－eq \f(2,3)， 故函数在x∈[0,2]的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3))). (2)由题意得f(－3)＝eq \f(－3,\r(1－－3))＝－eq \f(3,2). 答案：(1)A　(2)－eq \f(3,2) 1．已知对应关系f：x→y＝x2－1，x∈A，y∈B，若4∈A，则在B中的对应元素是(　　) A．15　B．17　　C.eq \r(5)　　D．±eq \r(5) 解析：A　[4在B中的对应元素是42－1＝15.] 2．与函数y＝2x表示同一函数是(　　) A．y＝2(eq \r(x))2 B．u＝2eq \r(3,v3) C．y＝2eq \r(x2) D．m＝eq \f(2n2,n) 解析：B　[对于A，函数y＝2(eq \r(x))2＝2x(x≥0)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数u＝2eq \r(3,v3)＝2v(v∈R)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数y＝2eq \r(x2)＝2|x|(x∈R)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数； 对于D，函数m＝eq \f(2n2,n)＝2n(n≠0)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域不相同，不是同一函数．] 3．函数y＝eq \r(x2－1)的定义域是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－1,1) D．(1，＋∞) 解析：B　[x2－1≥0⇒x≥1或x≤－1.] 4．设函数f(x)＝x2－1，若f(x)＝3，则实数x的值为________． 解析：f(x)＝x2－1＝3，解得x＝±2. 答案：±2 5．已知函数f(x)＝eq \f(x－3,x＋2). (1)求f(2)的值； (2)求函数f(x)的定义域和值域． 解：(1)f(2)＝eq \f(2－3,2＋2)＝－eq \f(1,4). (2)要使f(x)有意义，则x≠－2；∴f(x)的定义域为{x|x≠－2}； f(x)＝eq \f(x－3,x＋2)＝1－eq \f(5,x＋2)；eq \f(5,x＋2)≠0； ∴f(x)≠1；∴f(x)的值域为{f(x)|f(x)≠1}. $$