2.3 一元二次不等式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

2.3　 一元二次不等式 ★[学习目标] 1．了解方程、不等式、函数的图像之间的联系； 2．掌握一元二次不等式的图像解法． 学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半． [问题]　此时花卉带的宽度的取值范围是多少？ 提示：设花卉带的宽度为x，则(8－2x)(6－2x)> ×8×6，这就是一元二次不等式问题． [知识点一]　一元二次不等式 1．定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式． 2．形式：一元二次不等式的一般形式为ax2＋bx＋c>0(其中a，b，c均为常数，a≠0)． 上面不等式中的“>”也可以换成“<”“≥”或“≤”． 1.不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？ 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了． [知识点二]　二次函数图像与一元二次方程的解和不等式的解集的对应关系 1．对应关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的解 两个不相等的实数解x1，x2 两个相等的实数解x0 无实数解 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) (－∞，x0)∪(x0，＋∞) R 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)的解集 (－∞，x1]∪[x2，＋∞) R R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0(a＞0)的解集 [x1，x2] {x0} ∅ 1．不等式(x－1)(x－2)＜0的解集是(　　) A．(1,2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－2，－1) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 解析：A　[方程(x－1)(x－2)＝0的根为1、2，又函数y＝(x－1)(x－2)的图像开口向上，∴(x－1)· (x－2)＜0的解集是(1,2)．] 2．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　　　 　B. C. D. 解析：D　[不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25>0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，又二次函数y＝2x2－x－3的图像开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是.] 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则y>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|－1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 解析：B　[由题图知y>0的解集为{x|－1<x<2}．] 4．不等式x2－10x＋25＜0的解集为____________． 解析：不等式x2－10x＋25＜0可化为(x－5)2＜0，无解，所以不等式的解集为空集． 答案：空集 　利用图像解一元二次不等式 　观察图像求下列不等式解集． 　　 　(1)x2－2x－3＜0　　　(2)0≥x2－x＋4 (3)－x2＋2x－1≥0 [解]　(1)令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴－1＜x＜3，所以原不等式的解集为x∈(－1,3)． (2)令x2－x＋4＝0，Δ＝b2－4ac<0， 方程无解，与x轴无交点且a>0开口朝上，所以原不等式的解集为x∈∅. (3)由－x2＋2x－1≥0，得x2－2x＋1≤0， 令x2－2x＋1＝0， 解得x＝1，所以原不等式的解集为x∈{1}． 数形结合，牢牢掌握函数、不等式、方程之间关系． [变式训练] 1．观察图像求下列不等式解集． 　　 　(1)x2－x－2＜0　　　(2)x2－x≥0 　 　(3)－x2＋x＋2＜0 解：(1)x∈(－1,2)；(2)x∈(－∞，0]∪[1，＋∞)；(3)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 　一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. [解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图像如图③所示． 由图可得原不等式的解集为 . (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 一元二次不等式的两种解法 (1)图像法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像； ③由图像得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． [变式训练] 2．解下列不等式： (1)x2－x－6>0； (2)25x2－10x＋1>0； (3)－2x2＋x＋1<0. 解：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2， x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图像知x2－x－6>0的解集为{x|x>3或x<－2}． (2)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝. 结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图像知25x2－10x＋1>0的解集为. (3)方法一：方程－2x2＋2x＋1＝0的解为x1＝－，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图像是开口向下的抛物线，与x轴的交点为和(1,0)，如图， 图1 观察图像知不等式的解集为. 方法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图像如图2所示． 图2 观察图像，可得原不等式的解集为. 　三个“二次”关系的应用 　(1)关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜3}，a＝______b＝______. (2)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2－bx＋a>0的解集为________． [解析]　(1)由于不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜3}，所以x2＋ax＋b＝0的根x1＝1，x2＝3，由韦达定理得x1＋x2＝4＝－a，x1x2＝b＝3，解得a＝－4，b＝3. (2)由题意知即 代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)． 即6x2＋5x＋1<0，解得－<x<－，所以所求不等式的解集为. [答案]　(1)－4　3　(2) 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． [变式训练] 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求关于x的不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集． 解：∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， ∴a<0且－3和4是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴，解得. ∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0 可化为－ax2＋2ax＋15a<0， 即x2－2x－15<0， ∴－3<x<5， ∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}． 　　含参数的一元二次不等式的解法 　(1)若－1＜a＜0，则不等式(x－a)＜0的解集是(　　) A. B. C. D. (2)关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|0＜m＜4}　　 B．{m|m＜－2或m＞2} C．{m|－2≤m≤2} D．{m|－2＜m＜2} [解析]　(1)由－1＜a＜0，知0＞a＞－1＞， 所以(x－a)＜0的解集为. (2)不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，所以函数y＝x2－mx＋1的图像在x轴上方，所以方程x2－mx＋1＝0无实数解，所以Δ＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2，所以实数m的取值范围是{m|－2＜m＜2}． [答案]　(1)C　(2)D 含参数的一元二次不等式的解法 [变式训练] 4．关于x不等式x2＋ax＋1＞0恒成立，则实数a的取值范围是___________． 解析：由题设，要使x2＋ax＋1＞0恒成立，∵函数y＝x2＋ax＋1开口向上，∴只需Δ＝a2－4＜0即可，解得－2＜a＜2. 答案：(－2,2) 5．解不等式(x－1)(x－a)≥0. 解：当a＞1时，原不等式解集是{x|x≥a，或x≤1}； 当a＝1时，原不等式解集是R； 当a＜1时，原不等式解集是{x|x≤a或x≥1}. 1．不等式(x－2)(2x－3)＞0的解集是(　　) A.∪(2，＋∞) B．R C. D．∅ 解析：A　[由(x－2)(2x－3)＞0，得x＜或x＞2.所以不等式(x－2)(2x－3)＞0的解集为∪(2，＋∞)．] 2．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－5x－6＜0}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1＜x＜2}　　 B．{x|－4＜x＜2} C．{x|－4＜x＜6} D．{x|2＜x＜6} 解析：C　[N＝{x|x2－5x－6＜0}＝{x|－1＜x＜6}，所以M∪N＝{x|－4＜x＜6}．] 3．使式子有意义的实数x的取值范围是(　　) A．{x|x>0，或x<－1} B．{x|x≥0，或x≤－1} C．{x|－1<x<0} D．{x|－1≤x≤0} 解析：C　[分析可知应使－x2－x>0，即x2＋x<0， 所以－1<x<0.] 4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图像与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________． 解析：根据二次函数的图像知所求不等式的解集为{x|x>3或x<－1}，即解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 5．已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解：依题意得方程x2＋ax＋b＝0的解集为1,2，由根与系数的关系，得即∴不等式bx2＋ax＋1＞0. 就是2x2－3x＋1＞0. 由于2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为∪(1，＋∞). [基础过关] 1．不等式－x2－3x＋10≥0的解集为(　　) A．{x|－5≤x≤2}　　 B．{x|x≤－5或x≥2} C．{x|－2≤x≤5} D．{x|x≤－2或x≥5} 解析：A　[－x2－3x＋10≥0⇔x2＋3x－10≤0，即(x－2)(x＋5)≤0，解得－5≤x≤2，即所求解集为{x|－5≤x≤2}．] 2．已知集合A＝{x|x2－25＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＜0}，则A∩B＝(　　) A．{x|3＜x＜5} B．{x|－5＜x＜5} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－5＜x＜1} 解析：C　[∵集合A＝{x|x2－25＜0}＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x＜3}．] 3．当 有意义时，x的取值范围是(　　) A. B. C. D．{x|x≥2} 解析：A　[由题意可得－3x2＋7x－2≥0，即3x2－7x＋2≤0，所以(3x－1)(x－2)≤0，解得≤x≤2，所以x的取值范围是.] 4．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝(　　) A．0　　B．－1　　　C．1　　　D．－2 解析：A　[由题意，可得不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以－1＋2＝－，－1×2＝，解得a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0.] 5．若关于x的不等式ax2－2ax＋1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．a≥1 C．0＜a≤1 D．0≤a≤1 解析：D　[当a＝0时，不等式化为1＜0，此不等式无解；当a≠0时，要使原不等式无解，应满足，解得，即0≤a≤1.综上可知，实数a的取值范围是0≤a≤1.] 6．若关于x的不等式ax2＋5x－2＞0的解集是，则a＝______. 解析：根据题意可知，a≠0且方程ax2＋5x－2＝0的两根为和2，由根与系数的关系可得＋2＝－， 解之得a＝－2. 答案：－2 7．若关于x的不等式tx2－2tx＋4＞0的解集为R，则实数t的取值范围是____________． 解析：当t＝0时，不等式为4＞0，解集为R；当t≠0时，关于x的不等式tx2－2tx＋4＞0的解集为R，则， 解得0＜t＜4，综上可得实数t的取值范围是0≤t＜4. 答案：0≤t＜4 8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 解析：方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1和 a－1，∴B＝{x|a－1<x<a＋1}， ∵A⊆B，∴，解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}． 答案：{a|1≤a≤2} 9．在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝________，q＝________. 解析：甲同学看错了p，但没有看错q，乙同学看错了q，但没有看错p，所以根据根与系数的关系，得q＝(－3)×1＝－3，p＝－(－2＋4)＝－2. 答案：－2　－3 10．已知不等式(a＋1)x2－4x－6＜0的解集是{x|－1＜x＜3}． (1)求常数a的值； (2)若关于x的不等式ax2＋mx＋4≥0的解集为R，求m的取值范围． 解：(1)因为不等式(a＋1)x2－4x－6＜0的解集是{x|－1＜x＜3}． 所以－1和3是方程(a＋1)x2－4x－6＝0的解，把x＝－1代入方程解得a＝1.经验证满足题意． (2)若关于x的不等式ax2＋mx＋4≥0的解集为R，即x2＋mx＋4≥0的解集为R，所以Δ＝m2－16≤0，解得－4≤m≤4，所以m的取值范围是[－4,4]． [能力提升] 11．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵0<t<1，∴>1，∴>t.∴(t－x)>0⇔(x－t)<0⇔t<x<.] 12．若关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是________． 解析：因为关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，所以一元二次方程x2－2x－4＋a＝0的根的判别式小于零，即Δ＝(－2)2－4(a－4)＜0⇒a＞5，即实数a的取值范围为a＞5. 答案：a＞5 13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝________，m＝________. 解析：由题可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0， ∴，解得或(舍去)． 答案：－3　－3 14．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0. 解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a. 所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为 {x|x<－3a，或x>6a}； 当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为 {x|x≠0}； 当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}. 学科网（北京）股份有限公司 $$2.3　 一元二次不等式 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第2章 不等式 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 ★[学习目标] 1．了解方程、不等式、函数的图像之间的联系； 2．掌握一元二次不等式的图像解法． 学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半． [问题]　此时花卉带的宽度的取值范围是多少？ 提示：设花卉带的宽度为x，则(8－2x)(6－2x)> eq \f(1,2)×8×6，这就是一元二次不等式问题． [知识点一]　一元二次不等式 1．定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式． 2．形式：一元二次不等式的一般形式为ax2＋bx＋c>0(其中a，b，c均为常数，a≠0)． 上面不等式中的“>”也可以换成“<”“≥”或“≤”． 1.不等式x2＋eq \f(2,x)>0是一元二次不等式吗？ 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了． [知识点二]　二次函数图像与一元二次方程的解和不等式的解集的对应关系 1．对应关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的解 两个不相等的实数解x1，x2 两个相等的实数解x0 无实数解 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) (－∞，x0)∪(x0，＋∞) R 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)的解集 (－∞，x1]∪[x2，＋∞) R R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0(a＞0)的解集 [x1，x2] {x0} ∅ 1．不等式(x－1)(x－2)＜0的解集是(　　) A．(1,2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－2，－1) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 解析：A　[方程(x－1)(x－2)＝0的根为1、2，又函数y＝(x－1)(x－2)的图像开口向上，∴(x－1)·(x－2)＜0的解集是(1,2)．] 2．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　　　 B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(3,2))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<\f(3,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>\f(3,2))) 解析：D　[不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25>0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝eq \f(3,2)，又二次函数y＝2x2－x－3的图像开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>\f(3,2))).] 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则y>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|－1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 解析：B　[由题图知y>0的解集为{x|－1<x<2}．] 4．不等式x2－10x＋25＜0的解集为____________． 解析：不等式x2－10x＋25＜0可化为(x－5)2＜0，无解，所以不等式的解集为空集． 答案：空集 　利用图像解一元二次不等式 　观察图像求下列不等式解集． 　　 　(1)x2－2x－3＜0　　　(2)0≥x2－x＋4 (3)－x2＋2x－1≥0 [解]　(1)令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴－1＜x＜3，所以原不等式的解集为x∈(－1,3)． (2)令x2－x＋4＝0，Δ＝b2－4ac<0， 方程无解，与x轴无交点且a>0开口朝上，所以原不等式的解集为x∈∅.(3)由－x2＋2x－1≥0，得x2－2x＋1≤0，令x2－2x＋1＝0， 解得x＝1，所以原不等式的解集为x∈{1}． 数形结合，牢牢掌握函数、不等式、方程之间关系． [变式训练] 1．观察图像求下列不等式解集． 　 INCLUDEPICTURE"SC35.TIF" 　 　(1)x2－x－2＜0　　　(2)x2－x≥0 　 　(3)－x2＋x＋2＜0 解：(1)x∈(－1,2)；(2)x∈(－∞，0]∪[1，＋∞)；(3)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 　一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. [解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝eq \f(1,2)， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3<x<\f(1,2))). (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝eq \f(3－\r(3),3)，x2＝eq \f(3＋\r(3),3)， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))). (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－eq \f(1,2).作出函数y＝4x2＋4x＋1的图像如图③所示． 由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(1,2)，x∈R)). (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 一元二次不等式的两种解法 (1)图像法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像； ③由图像得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． [变式训练] 2．解下列不等式： (1)x2－x－6>0； (2)25x2－10x＋1>0； (3)－2x2＋x＋1<0. 解：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2， x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图像知x2－x－6>0的解集为{x|x>3或x<－2}． (2)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝eq \f(1,5). 结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图像知25x2－10x＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(1,5))). (3)方法一：方程－2x2＋2x＋1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图像是开口向下的抛物线，与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))和(1,0)，如图， 图1 观察图像知不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(1,2)或x>1)). 方法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图像如图2所示． 图2 观察图像，可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(1,2)或x>1)). 　三个“二次”关系的应用 　(1)关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜3}，a＝______b＝______. (2)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2－bx＋a>0的解集为________． [解析]　(1)由于不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜3}，所以x2＋ax＋b＝0的根x1＝1，x2＝3，由韦达定理得x1＋x2＝4＝－a，x1x2＝b＝3，解得a＝－4，b＝3. (2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0.))代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．即6x2＋5x＋1<0，解得－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)，所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<－\f(1,3))). [答案]　(1)－4　3　(2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<－\f(1,3))) 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． [变式训练] 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求关于x的不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集． 解：∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， ∴a<0且－3和4是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a),－3×4＝\f(c,a)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a,c＝－12a)). ∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，可化为－ax2＋2ax＋15a<0， 即x2－2x－15<0，∴－3<x<5，∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}． 　　含参数的一元二次不等式的解法 　(1)若－1＜a＜0，则不等式(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))＜0的解集是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|a＜x＜\f(1,a))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(1,a)或x＜a)) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)＜x＜a)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1,a)或x＞a)) (2)关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|0＜m＜4}　　 B．{m|m＜－2或m＞2} C．{m|－2≤m≤2} D．{m|－2＜m＜2} [解析]　(1)由－1＜a＜0，知0＞a＞－1＞eq \f(1,a)， 所以(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)＜x＜a)). (2)不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，所以函数y＝x2－mx＋1的图像在x轴上方，所以方程x2－mx＋1＝0无实数解，所以Δ＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2，所以实数m的取值范围是{m|－2＜m＜2}． [答案]　(1)C　(2)D 含参数的一元二次不等式的解法 [变式训练] 4．关于x不等式x2＋ax＋1＞0恒成立，则实数a的取值范围是___________． 解析：由题设，要使x2＋ax＋1＞0恒成立，∵函数y＝x2＋ax＋1开口向上，∴只需Δ＝a2－4＜0即可，解得－2＜a＜2. 答案：(－2,2) 5．解不等式(x－1)(x－a)≥0. 解：当a＞1时，原不等式解集是{x|x≥a，或x≤1}； 当a＝1时，原不等式解集是R； 当a＜1时，原不等式解集是{x|x≤a或x≥1}. 1．不等式(x－2)(2x－3)＞0的解集是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞) B．R C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D．∅ 解析：A　[由(x－2)(2x－3)＞0，得x＜eq \f(3,2)或x＞2.所以不等式(x－2)(2x－3)＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞)．] 2．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－5x－6＜0}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1＜x＜2}　　 B．{x|－4＜x＜2} C．{x|－4＜x＜6} D．{x|2＜x＜6} 解析：C　[N＝{x|x2－5x－6＜0}＝{x|－1＜x＜6}，所以M∪N＝{x|－4＜x＜6}．] 3．使式子eq \f(1,\r(－x2－x))有意义的实数x的取值范围是(　　) A．{x|x>0，或x<－1} B．{x|x≥0，或x≤－1} C．{x|－1<x<0} D．{x|－1≤x≤0} 解析：C　[分析可知应使－x2－x>0，即x2＋x<0， 所以－1<x<0.] 4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图像与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________． 解析：根据二次函数的图像知所求不等式的解集为{x|x>3或x<－1}，即解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 5．已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解：依题意得方程x2＋ax＋b＝0的解集为1,2，由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2，))∴不等式bx2＋ax＋1＞0. 就是2x2－3x＋1＞0. 由于2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜eq \f(1,2)或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞). $$ [基础过关] 1．不等式－x2－3x＋10≥0的解集为(　　) A．{x|－5≤x≤2}　　 B．{x|x≤－5或x≥2} C．{x|－2≤x≤5} D．{x|x≤－2或x≥5} 解析：A　[－x2－3x＋10≥0⇔x2＋3x－10≤0，即(x－2)(x＋5)≤0，解得－5≤x≤2，即所求解集为{x|－5≤x≤2}．] 2．已知集合A＝{x|x2－25＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＜0}，则A∩B＝(　　) A．{x|3＜x＜5} B．{x|－5＜x＜5} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－5＜x＜1} 解析：C　[∵集合A＝{x|x2－25＜0}＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x＜3}．] 3．当 有意义时，x的取值范围是(　　) A. B. C. D．{x|x≥2} 解析：A　[由题意可得－3x2＋7x－2≥0，即3x2－7x＋2≤0，所以(3x－1)(x－2)≤0，解得≤x≤2，所以x的取值范围是.] 4．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝(　　) A．0　　B．－1　　　C．1　　　D．－2 解析：A　[由题意，可得不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以－1＋2＝－，－1×2＝，解得a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0.] 5．若关于x的不等式ax2－2ax＋1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．a≥1 C．0＜a≤1 D．0≤a≤1 解析：D　[当a＝0时，不等式化为1＜0，此不等式无解；当a≠0时，要使原不等式无解，应满足，解得，即0≤a≤1.综上可知，实数a的取值范围是0≤a≤1.] 6．若关于x的不等式ax2＋5x－2＞0的解集是，则a＝______. 解析：根据题意可知，a≠0且方程ax2＋5x－2＝0的两根为和2，由根与系数的关系可得＋2＝－， 解之得a＝－2. 答案：－2 7．若关于x的不等式tx2－2tx＋4＞0的解集为R，则实数t的取值范围是____________． 解析：当t＝0时，不等式为4＞0，解集为R；当t≠0时，关于x的不等式tx2－2tx＋4＞0的解集为R，则， 解得0＜t＜4，综上可得实数t的取值范围是0≤t＜4. 答案：0≤t＜4 8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 解析：方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1和 a－1，∴B＝{x|a－1<x<a＋1}， ∵A⊆B，∴，解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}． 答案：{a|1≤a≤2} 9．在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝________，q＝________. 解析：甲同学看错了p，但没有看错q，乙同学看错了q，但没有看错p，所以根据根与系数的关系，得q＝(－3)×1＝－3，p＝－(－2＋4)＝－2. 答案：－2　－3 10．已知不等式(a＋1)x2－4x－6＜0的解集是{x|－1＜x＜3}． (1)求常数a的值； (2)若关于x的不等式ax2＋mx＋4≥0的解集为R，求m的取值范围． 解：(1)因为不等式(a＋1)x2－4x－6＜0的解集是{x|－1＜x＜3}． 所以－1和3是方程(a＋1)x2－4x－6＝0的解，把x＝－1代入方程解得a＝1.经验证满足题意． (2)若关于x的不等式ax2＋mx＋4≥0的解集为R，即x2＋mx＋4≥0的解集为R，所以Δ＝m2－16≤0，解得－4≤m≤4，所以m的取值范围是[－4,4]． [能力提升] 11．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵0<t<1，∴>1，∴>t.∴(t－x)>0⇔(x－t)<0⇔t<x<.] 12．若关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是________． 解析：因为关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，所以一元二次方程x2－2x－4＋a＝0的根的判别式小于零，即Δ＝(－2)2－4(a－4)＜0⇒a＞5，即实数a的取值范围为a＞5. 答案：a＞5 13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝________，m＝________. 解析：由题可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0， ∴，解得或(舍去)． 答案：－3　－3 14．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0. 解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a. 所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为 {x|x<－3a，或x>6a}； 当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为 {x|x≠0}； 当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}. 学科网（北京）股份有限公司 $$