2.2 区间（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

2.2　区间 ★[学习目标] 1．掌握区间的概念及其表示方法； 2．会用区间表示相关的集合． 2021年我国高速公路通车里程16.1万公里，稳居世界第一． [问题]　(1)我国高速公路一般限速为多少？(用集合表示) 提示：不等式表示：v≤120；集合表示：{v|v≤120} (2)还有更简单的表示方法吗？ 提示：这节课我们来学习区间，不等式用区间表示更简单． [知识点一]　区间 1．概念： 一般地，由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为 区间 ．这两个点称为 区间端点 ． 2．表示：设a，b∈R，且a<b. 集合表示 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 其中[a，b)，(a，b]两类区间统称为半开半闭区间．实数a与b称为相应区间的端点． 1.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． [知识点二]　无穷区间 1．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)．其中符号“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”． 2．(－∞，＋∞)，[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)都称为无穷区间． 3．无穷区间表示 集合表示 区间 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) R (－∞，＋∞) 2.“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 1．区间(－3,2]用集合可表示为(　　) A．{－2，－1,0,1,2}　　　　 B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} 解析：C　[由区间和集合的关系，可得区间(－3,2]可表示为{x|－3<x≤2}．] 2．不等式x<2用区间可表示为(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，2) 解析：D　[不等式x<2用区间可表示为(－∞，2)．] 3．用区间表示数集{x|2<x≤4}＝____________. 解析：数集{x|2<x≤4}＝(2,4]． 答案：(2,4] 4．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是______________． 解析：由题意知3a－1>a，则a>，所以a的取值范围是. 答案： 　用区间表示不等式 　(1)集合{x|－1＜x＜4}用区间表示为______________； (2)集合{x|0≤x＜3}用区间表示为______________； (3)集合{x|x＜3}用区间表示为______________； (4)集合{x|x≥－2}用区间表示为______________． [解析]　(1)集合{x|－1＜x＜4}用区间表示为(－1,4)． (2)集合{x|0≤x＜3}用区间表示为[0, 3)． (3)集合{x|x＜3}用区间表示为(－∞，3)． (4)集合{x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞) . [答案]　(1)(－1,4)　(2)[0,3)　(3)(－∞，3)　(4)[－2，＋∞) 用区间表示数集的原则 (1)数集是连续的． (2)左小右大． (3)区间的一端是开或闭不能弄错；用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；用数轴表示区间时要特别注意实心点与空心点的区别． [变式训练] 1．用区间表示下列集合： (1)； (2){x|x＜1}； (3){x|x≥3}． 解：(1)用区间可表示为. (2){x|x＜1}用区间可表示为(－∞，1)． (3){x|x≥3}用区间可表示为[3，＋∞)． 　用集合表示区间 　(1)用集合的描述法表示区间[－3, 1]＝____________. (2)用集合的描述法表示区间[1, 2)＝____________. (3)用集合的描述法表示区间[－5, ＋∞)＝____________. (4)用集合的描述法表示区间(－∞，－6)＝____________. (5)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　) A．(－∞，1]∪(2，＋∞)　 B．(－∞，0)∪(1,2) C．[1,2) D．(1,2] [解析]　(1)区间[－3, 1]用集合的描述法表示为{x|－3≤x≤1}． (2)区间[1, 2)用集合的描述法表示为{x|1≤x＜2}． (3)区间[－5, ＋∞)用集合的描述法表示为{x|x≥－5}． (4)区间(－∞，－6)用集合的描述法表示为{x|x＜－6}． (5)B＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为[∁U(A∩B)]∩(A∪B)，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝R，即∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x＞2}，∴[∁U(A∩B)]∩(A∪B)＝{x|x≤1或x＞2}，即(－∞，1]∪(2，＋∞)． [答案]　(1){x|－3≤x≤1}　(2){x|1≤x＜2}　(3){x|x≥－5}　(4){x|x＜－6}　(5)A 利用区间与集合的关系，注意区分是否包含端点，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间． [变式训练] 2．用描述法写出下面这些区间的含义： [－2,7]；[a，b]；(123, ＋∞)；(－∞，－9]． 解：[－2,7]用描述法表示为{x|－2≤x≤7}； [a，b]用描述法表示为{x|a≤x≤b}； (123, ＋∞)用描述法表示为{x|x＞123}； (－∞，－9]用描述法表示为{x|x≤－9}． 　用区间表示集合运算 　已知集合A＝[3, 7)，B＝(2,10)，求：A∩B，∁R(A∪B)，(∁RA)∩B. [解]　∵ A＝[3, 7)，B＝(2,10)，∴A∩B＝[3,7)，∴A∪B＝(2,10)，∴∁R(A∪B)＝(－∞，2]∪[10，＋∞)，∴∁R(A∩B)＝(－∞，3)∪[7，＋∞)，∵∁RA＝(－∞，3)∪[7，＋∞)，∴(∁RA)∩B＝(2,3)∪[7,10)． 进行集合的运算时，一般画出数轴利用数形结合的思想求解，并且注意是否包含端点值． [变式训练] 3．设全集U＝R，集合A＝(－2,4)，B＝(1,3)，C＝(－∞，a)． (1)求A∩(∁UB)； (2)若B∩(∁UC)＝∅，求实数a的取值范围． 解：(1)∁UB＝(－∞，1]∪[3，＋∞)，A∩(∁UB)＝(－2,1]∪[3,4)． (2)∁UC＝[a，＋∞)，∵B∩(∁UC)＝∅，故a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞)． 　　用区间表示一元一次不等式(组)的解集 　(1)不等式>x＋1的解集为________________． (2)不等式组的解集为____________． [解析]　(1)解不等式>x＋1，得x<－3，其解集为(－∞，－3)． (2)记原不等式组为 解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x≥－4；故原不等式组的解集为[－4,1]． [答案]　(1)(－∞，－3)　(2)[－4,1] 一元一次不等式组的解集可以用规律“口诀”来求得，其口诀是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没得找”． [变式训练] 4．(1)不等式组有解，则实数a满足的取值范围集合是____________________． (2)已知a，b为常数，且不等式ax＋b＞0的解集为，则不等式bx－3a＞0的解集为__________． 解析：(1)由不等式组可得，1＋a2＜x＜4＋2a，要有解，则1＋a2＜4＋2a⇒a2－2a－3＜0⇒(a－3)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜3. 故实数a满足的取值范围集合是a∈(－1,3)． (2)因为不等式ax＋b＞0的解集为， 所以，即， 因此不等式bx－3a＞0可化为－ax－3a＞0，则x＋3＞0，解得x＞－，即不等式bx－3a＞0的解集为. 答案：(1)(－1,3)　(2) 1．集合{x|1＜x＜5}可用区间表示为(　　) A．(1,5)　　　　　 B．[1,5] C．[1,5) D．(1,5] 解析：A　[由题意得，1＜x＜5用开区间表示为(1,5)．] 2．已知集合A＝，B＝(0,4)，则A∪B＝(　　) A．(－1,4) B．(－1,0) C. D．(0,4] 解析：A　[A∪B＝{x|－1＜x＜4}＝(－1,4)．] 3．已知区间A＝(－3,1)，B＝(－2,3)，则A∩B＝(　　) A．(－3,3) B．(－3，－2) C．(－2,1) D．(1,3) 解析：C　[因为A＝(－3,1)，B＝(－2,3)，由交集的定义可知A∩B＝(－2,1)．] 4．一天，某地的最高气温为3 ℃，最低气温为－2 ℃，则该地当天的气温用区间表示为_________． 解析：某地的最高气温为3 ℃，最低气温为－2 ℃，则该地当天的气温用区间表示为[－2,3]． 答案：[－2,3] 5．用区间表示下列的集合： {x|－1＜x≤2}；{x|－6≤x＜－1}；{x|2≤x≤5}． 解：{x|－1＜x≤2}的区间表示为(－1,2]； {x|－6≤x＜－1}的区间表示为[－6，－1)； {x|2≤x≤5}的区间表示为[2,5]. [基础过关] 1．若实数x满足{x|3≤x＜7}，则用区间表示为(　　) A．(3,7)　　　　　 B．(3,7] C．[3,7] D．[3,7) 解析：D　[由3≤x＜7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半开半闭区间，D选项符合．] 2．不等式0＜2x－1≤3的解集用区间可表示为(　　) A. B．(0,2] C. D. 解析：D　[由0＜2x－1≤3，解得＜x≤2，用区间表示为.] 3．设集合M＝[0,1]，N＝(0,1]，则M∪N＝(　　) A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(－∞，1] 解析：A　[∵集合M＝[0,1]，集合N＝(0,1]， ∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，即M∪N＝[0,1]．] 4．不等式－6＜x≤8写成区间形式是(　　) A．(－6,8) B．(－6,8] C．[－6,8) D．[－6,8] 解析：B　[不等式－6＜x≤8写成区间的形式是(－6,8]．] 5．已知集合A＝(－1,2]，B＝，则A∩B＝(　　) A. B. C．(－1,4) D．[2,4] 解析：A　[因为A＝(－1,2]，B＝，所以A∩B＝.] 6．将集合A＝{x|1≤x≤2}表示成区间，则A＝_________；区间(2,3)∪(3，＋∞)表示成集合为_________． 解析：集合A＝{x|1≤x≤2}表示成区间为A＝[1,2]； 区间(2,3)∪(3，＋∞)表示成集合为{x|2＜x＜3或x＞3}． 答案：[1,2]　{x|2＜x＜3或x＞3} 7．不等式(3x－2)＋1>2x－6的解集用区间表示为__________________． 解析：解不等式(3x－2)＋1>2x－6，得x>－5，用区间表示为(－5，＋∞)． 答案：(－5，＋∞) 8．已知区间(4p－1,2p＋1)，则p的取值范围为______． 解析：由题意知4p－1＜2p＋1，解得p＜1，即p的取值范围为(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 9．已知集合A＝(1, 4) ，B＝(1,5]，则∁BA＝______. 解析：因为A＝(1, 4)，B＝(1,5] ，所以∁BA＝[4,5]． 答案：[4, 5] 10．已知全集U＝R，A＝[－4,2)，B＝(－1,3]，P＝(－∞， 0]∪，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 解：如图， ∴A∩B＝(－1,2)，∵∁UB＝(－∞，－1]∪(3，＋∞)， ∁UP＝，∴(∁UB)∪P＝(－∞，0]∪，(A∩B)∩(∁UP)＝(0,2)． [能力提升] 11．集合A＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)，B＝(1,5)，则集合(∁RA)∪B等于(　　) A．[－1,5) B．(－1,5) C．(1,4] D．(1,4) 解析：B　[因为集合A＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)，又B＝(1,5)，所以∁RA＝(－1,4)，则集合(∁RA)∪B＝(－1,5)．] 12．已知集合A＝(8,10)，设集合U＝(0,9)，B＝(a,2a－1)，若(∁UB)∩A＝(8,9)，则实数a的取值范围是________． 解析：当B＝∅时，2a－1≤a，解得a≤1，此时∁UB＝U，(∁UB)∩A＝U∩A＝(8,9)，符合题意； 当B≠∅时，2a－1>a，解得a>1，因为集合U＝(0,9)，B＝(a,2a－1)，所以∁UB＝(0，a]∪[2a－1,9)，因为(∁UB)∩A＝(8,9)，所以2a－1≤8，解得a≤，所以B≠∅时，1<a≤，综上所述，实数a的取值范围是. 答案： 13．设数集M＝，N＝，且M，N都是集合U＝[0, 1]的子集，定义b－a为集合[a, b]的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为_________． 解析：在数轴上表示出集合M与N(图略)，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝，“长度”为－＝；当n＝且m＝时，M∩N＝，“长度”为－＝.综上可知，M∩N的长度的最小值为. 答案： 14．已知全集U＝R，集合A＝[－3,4]，B＝[m－1,3m－2]． (1)当m＝3时，求A∩B与A∪B； (2)若B⊆∁UA，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝3时，B＝[2,7]，而A＝[－3,4]， 所以A∩B＝[2,4]，A∪B＝[－3,7]． (2)因为∁UA＝(－∞，－3)∪(4，＋∞)，而B＝[m－1，3m－2]，所以当m－1＞3m－2，即m＜时， B＝∅，显然符合题意； 当m≥时，B≠∅，要B⊆∁UA，所以3m－2＜－3或m－1＞4，解得m＞5.综上可知，实数m的取值范围为∪(5，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．若实数x满足{x|3≤x＜7}，则用区间表示为(　　) A．(3,7)　　　　　 B．(3,7] C．[3,7] D．[3,7) 解析：D　[由3≤x＜7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半开半闭区间，D选项符合．] 2．不等式0＜2x－1≤3的解集用区间可表示为(　　) A. B．(0,2] C. D. 解析：D　[由0＜2x－1≤3，解得＜x≤2，用区间表示为.] 3．设集合M＝[0,1]，N＝(0,1]，则M∪N＝(　　) A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(－∞，1] 解析：A　[∵集合M＝[0,1]，集合N＝(0,1]， ∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，即M∪N＝[0,1]．] 4．不等式－6＜x≤8写成区间形式是(　　) A．(－6,8) B．(－6,8] C．[－6,8) D．[－6,8] 解析：B　[不等式－6＜x≤8写成区间的形式是(－6,8]．] 5．已知集合A＝(－1,2]，B＝，则A∩B＝(　　) A. B. C．(－1,4) D．[2,4] 解析：A　[因为A＝(－1,2]，B＝，所以A∩B＝.] 6．将集合A＝{x|1≤x≤2}表示成区间，则A＝_________；区间(2,3)∪(3，＋∞)表示成集合为_________． 解析：集合A＝{x|1≤x≤2}表示成区间为A＝[1,2]； 区间(2,3)∪(3，＋∞)表示成集合为{x|2＜x＜3或x＞3}． 答案：[1,2]　{x|2＜x＜3或x＞3} 7．不等式(3x－2)＋1>2x－6的解集用区间表示为__________________． 解析：解不等式(3x－2)＋1>2x－6，得x>－5，用区间表示为(－5，＋∞)． 答案：(－5，＋∞) 8．已知区间(4p－1,2p＋1)，则p的取值范围为______． 解析：由题意知4p－1＜2p＋1，解得p＜1，即p的取值范围为(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 9．已知集合A＝(1, 4) ，B＝(1,5]，则∁BA＝______. 解析：因为A＝(1, 4)，B＝(1,5] ，所以∁BA＝[4,5]． 答案：[4, 5] 10．已知全集U＝R，A＝[－4,2)，B＝(－1,3]，P＝(－∞， 0]∪，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 解：如图， ∴A∩B＝(－1,2)，∵∁UB＝(－∞，－1]∪(3，＋∞)， ∁UP＝，∴(∁UB)∪P＝(－∞，0]∪，(A∩B)∩(∁UP)＝(0,2)． [能力提升] 11．集合A＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)，B＝(1,5)，则集合(∁RA)∪B等于(　　) A．[－1,5) B．(－1,5) C．(1,4] D．(1,4) 解析：B　[因为集合A＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)，又B＝(1,5)，所以∁RA＝(－1,4)，则集合(∁RA)∪B＝(－1,5)．] 12．已知集合A＝(8,10)，设集合U＝(0,9)，B＝(a,2a－1)，若(∁UB)∩A＝(8,9)，则实数a的取值范围是________． 解析：当B＝∅时，2a－1≤a，解得a≤1，此时∁UB＝U，(∁UB)∩A＝U∩A＝(8,9)，符合题意； 当B≠∅时，2a－1>a，解得a>1，因为集合U＝(0,9)，B＝(a,2a－1)，所以∁UB＝(0，a]∪[2a－1,9)，因为(∁UB)∩A＝(8,9)，所以2a－1≤8，解得a≤，所以B≠∅时，1<a≤，综上所述，实数a的取值范围是. 答案： 13．设数集M＝，N＝，且M，N都是集合U＝[0, 1]的子集，定义b－a为集合[a, b]的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为_________． 解析：在数轴上表示出集合M与N(图略)，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝，“长度”为－＝；当n＝且m＝时，M∩N＝，“长度”为－＝.综上可知，M∩N的长度的最小值为. 答案： 14．已知全集U＝R，集合A＝[－3,4]，B＝[m－1,3m－2]． (1)当m＝3时，求A∩B与A∪B； (2)若B⊆∁UA，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝3时，B＝[2,7]，而A＝[－3,4]， 所以A∩B＝[2,4]，A∪B＝[－3,7]． (2)因为∁UA＝(－∞，－3)∪(4，＋∞)，而B＝[m－1，3m－2]，所以当m－1＞3m－2，即m＜时， B＝∅，显然符合题意； 当m≥时，B≠∅，要B⊆∁UA，所以3m－2＜－3或m－1＞4，解得m＞5.综上可知，实数m的取值范围为∪(5，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$2.2　区间 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第2章 不等式 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 ★[学习目标] 1．掌握区间的概念及其表示方法； 2．会用区间表示相关的集合． 2021年我国高速公路通车里程16.1万公里，稳居世界第一． [问题]　(1)我国高速公路一般限速为多少？(用集合表示) 提示：不等式表示：v≤120；集合表示：{v|v≤120} (2)还有更简单的表示方法吗？ 提示：这节课我们来学习区间，不等式用区间表示更简单． [知识点一]　区间 1．概念： 一般地，由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为 区间 ．这两个点称为 区间端点 ． 2．表示：设a，b∈R，且a<b. 集合表示 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 其中[a，b)，(a，b]两类区间统称为半开半闭区间．实数a与b称为相应区间的端点． 1.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． [知识点二]　无穷区间 1．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)．其中符号“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”． 2．(－∞，＋∞)，[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)都称为无穷区间． 3．无穷区间表示 集合表示 区间 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) R (－∞，＋∞) 2.“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 1．区间(－3,2]用集合可表示为(　　) A．{－2，－1,0,1,2}　　　　 B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} 解析：C　[由区间和集合的关系，可得区间(－3,2]可表示为{x|－3<x≤2}．] 2．不等式x<2用区间可表示为(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，2) 解析：D　[不等式x<2用区间可表示为(－∞，2)．] 3．用区间表示数集{x|2<x≤4}＝____________. 解析：数集{x|2<x≤4}＝(2,4]． 答案：(2,4] 4．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是______________． 解析：由题意知3a－1>a，则a>eq \f(1,2)，所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 　用区间表示不等式 　(1)集合{x|－1＜x＜4}用区间表示为______________； (2)集合{x|0≤x＜3}用区间表示为______________； (3)集合{x|x＜3}用区间表示为______________； (4)集合{x|x≥－2}用区间表示为______________． [解析]　(1)集合{x|－1＜x＜4}用区间表示为(－1,4)． (2)集合{x|0≤x＜3}用区间表示为[0, 3)． (3)集合{x|x＜3}用区间表示为(－∞，3)． (4)集合{x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞) . [答案]　(1)(－1,4)　(2)[0,3)　(3)(－∞，3)　(4)[－2，＋∞) 用区间表示数集的原则 (1)数集是连续的． (2)左小右大． (3)区间的一端是开或闭不能弄错；用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；用数轴表示区间时要特别注意实心点与空心点的区别． [变式训练] 1．用区间表示下列集合： (1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)≤x＜5))； (2){x|x＜1}； (3){x|x≥3}． 解：(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)≤x＜5))用区间可表示为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)). (2){x|x＜1}用区间可表示为(－∞，1)． (3){x|x≥3}用区间可表示为[3，＋∞)． 　用集合表示区间 　(1)用集合的描述法表示区间[－3, 1]＝____________. (2)用集合的描述法表示区间[1, 2)＝____________. (3)用集合的描述法表示区间[－5, ＋∞)＝____________. (4)用集合的描述法表示区间(－∞，－6)＝____________. (5)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　) A．(－∞，1]∪(2，＋∞)　 B．(－∞，0)∪(1,2) C．[1,2) D．(1,2] [解析]　(1)区间[－3, 1]用集合的描述法表示为{x|－3≤x≤1}． (2)区间[1, 2)用集合的描述法表示为{x|1≤x＜2}． (3)区间[－5, ＋∞)用集合的描述法表示为{x|x≥－5}． (4)区间(－∞，－6)用集合的描述法表示为{x|x＜－6}． (5)B＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为[∁U(A∩B)]∩(A∪B)，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝R，即∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x＞2}，∴[∁U(A∩B)]∩(A∪B)＝{x|x≤1或x＞2}，即(－∞，1]∪(2，＋∞)． [答案]　(1){x|－3≤x≤1}　(2){x|1≤x＜2}　(3){x|x≥－5}　(4){x|x＜－6}　(5)A 利用区间与集合的关系，注意区分是否包含端点，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间． [变式训练] 2．用描述法写出下面这些区间的含义： [－2,7]；[a，b]；(123, ＋∞)；(－∞，－9]． 解：[－2,7]用描述法表示为{x|－2≤x≤7}； [a，b]用描述法表示为{x|a≤x≤b}； (123, ＋∞)用描述法表示为{x|x＞123}； (－∞，－9]用描述法表示为{x|x≤－9}． 　用区间表示集合运算 　已知集合A＝[3, 7)，B＝(2,10)，求：A∩B，∁R(A∪B)，(∁RA)∩B. [解]　∵ A＝[3, 7)，B＝(2,10)，∴A∩B＝[3,7)，∴A∪B＝(2,10)，∴∁R(A∪B)＝(－∞，2]∪[10，＋∞)，∴∁R(A∩B)＝(－∞，3)∪[7，＋∞)，∵∁RA＝(－∞，3)∪[7，＋∞)，∴(∁RA)∩B＝(2,3)∪[7,10)． 进行集合的运算时，一般画出数轴利用数形结合的思想求解，并且注意是否包含端点值． [变式训练] 3．设全集U＝R，集合A＝(－2,4)，B＝(1,3)，C＝(－∞，a)． (1)求A∩(∁UB)； (2)若B∩(∁UC)＝∅，求实数a的取值范围． 解：(1)∁UB＝(－∞，1]∪[3，＋∞)，A∩(∁UB)＝(－2,1]∪[3,4)． (2)∁UC＝[a，＋∞)，∵B∩(∁UC)＝∅，故a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞)． 　　用区间表示一元一次不等式(组)的解集 　(1)不等式eq \f(x－1,2)>x＋1的解集为________________． (2)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,3)－\f(4－3x,6)≥\f(x－2,2),2x－7≤3x－1))的解集为____________． [解析]　(1)解不等式eq \f(x－1,2)>x＋1，得x<－3，其解集为(－∞，－3)． (2)记原不等式组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,3)－\f(4－3x,6)≥\f(x－2,2)①,2x－7≤3x－1②)) 解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x≥－4；故原不等式组的解集为[－4,1]． [答案]　(1)(－∞，－3)　(2)[－4,1] 一元一次不等式组的解集可以用规律“口诀”来求得，其口诀是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没得找”． [变式训练] 4．(1)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＞a2,x－4＜2a))有解，则实数a满足的取值范围集合是____________________． (2)已知a，b为常数，且不等式ax＋b＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))，则不等式bx－3a＞0的解集为__________． 解析：(1)由不等式组可得，1＋a2＜x＜4＋2a，要有解，则1＋a2＜4＋2a⇒a2－2a－3＜0⇒(a－3)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜3. 故实数a满足的取值范围集合是a∈(－1,3)． (2)因为不等式ax＋b＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0,－\f(b,a)＝\f(2,3)))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0,b＝－\f(2,3)a))， 因此不等式bx－3a＞0可化为－eq \f(2,3)ax－3a＞0，则eq \f(2,3)x＋3＞0，解得x＞－eq \f(9,2)，即不等式bx－3a＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞)). 答案：(1)(－1,3)　(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞)) 1．集合{x|1＜x＜5}可用区间表示为(　　) A．(1,5)　　　　　 B．[1,5] C．[1,5) D．(1,5] 解析：A　[由题意得，1＜x＜5用开区间表示为(1,5)．] 2．已知集合A＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5)))，B＝(0,4)，则A∪B＝(　　) A．(－1,4) B．(－1,0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5))) D．(0,4] 解析：A　[A∪B＝{x|－1＜x＜4}＝(－1,4)．] 3．已知区间A＝(－3,1)，B＝(－2,3)，则A∩B＝(　　) A．(－3,3) B．(－3，－2) C．(－2,1) D．(1,3) 解析：C　[因为A＝(－3,1)，B＝(－2,3)，由交集的定义可知A∩B＝(－2,1)．] 4．一天，某地的最高气温为3 ℃，最低气温为－2 ℃，则该地当天的气温用区间表示为_________． 解析：某地的最高气温为3 ℃，最低气温为－2 ℃，则该地当天的气温用区间表示为[－2,3]． 答案：[－2,3] 5．用区间表示下列的集合： {x|－1＜x≤2}；{x|－6≤x＜－1}；{x|2≤x≤5}． 解：{x|－1＜x≤2}的区间表示为(－1,2]； {x|－6≤x＜－1}的区间表示为[－6，－1)； {x|2≤x≤5}的区间表示为[2,5]. $$