2.1 不等式的基本性质（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

[基础过关] 1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是(　　) A．A≤B　　　　　　　 B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 解析：B　[∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，∴A≥B.] 2．已知a＞b＞0，c＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac－bc＞0 B．3ac＞0 C．ac＜bc D.ac＞4ab 解析：C　[由a＞b＞0，c＜0，得ac＜bc，C正确，A错误，B错误，ab＞0，ac＜0，所以D错误．] 3．已知m＜n＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．mn＜0 B．m－n＜0 C．2m＞2n D．m2＜n2 解析：B　[因为m＜n＜0，所以mn＞0，A错误；在m＜n左右两边同时乘以2，不等号的方向不变，所以2m＜2n，C错误； 由m＜n＜0，得m2＞n2，D错误．] 4．若－1＜α＜β＜1，则α－β的范围为(　　) A．(－2,0) B．(－2，－1) C．(－1,0) D．(0,1) 解析：A　[因为α＜β，故α－β＜0，因为α＞－1，β＜1， 故－β＞－1，所以α－β＞－2即－2＜α－β＜0.] 5．已知2≤a≤7，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　) A．－1≤a－2b≤4 B．－2≤a－2b≤8 C．6≤a－2b≤9 D．－6≤a－2b≤9 解析：D　[由已知条件可得－8≤－2b≤2，故－6≤a－2b≤9.] 6．若a＞b，且＞，则ab____0.(填“＞”或“＜”) 解析：＞⇔－＜＞0，∵a＞b，∴b－a＜0，即ab＜0. 答案：＜ 7．一次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次知识竞赛中，小强被评为优秀(85分或85分以上)，小强至少答对________道题． 解析：设小强答对了x道题，则他答错或不答的共有(25－x)道题，由题意得4x－(25－x)×1≥85，解得x≥22，所以小强至少答对了22道题． 答案：22 8．若x∈R，则与的大小关系为________． 解析：∵－＝＝≤0，∴≤. 答案：≤ 9．已知实数b＞a＞0，m＜0，则mb______ma，______(用“>”“<”填空)． 解析：∵b＞a＞0，m＜0，∴b－a＞0， ∴mb－ma＝m(b－a)＜0，∴mb＜ma. －＝＝＜0， ∴＜. 答案：＜　＜ 10．如果a>b>0，c<d<0，f<0，证明：>. 证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0. 不等式的两边同乘， 得>>0， 又因为f<0，所以<，即>. [能力提升] 11．已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，下列不等式中表示糖水变甜的是(　　) A.＞　　　　 B.＜ C.＞ D.＜ 解析：D　[因为糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，－＝＞0，所以＜.] 12．对于实数a，b，c，有下列说法： ①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． 解析：①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确． ②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确． ③中，⇒a2>ab，⇒ab>b2， 所以a2>ab>b2，故③正确． 答案：②③ 13．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. 证明：∵＋－a－b＝(a－b)＝.∵(a－b)2≥0恒成立，且a>0， b>0，∴a＋b>0，ab>0. ∴≥0.∴＋≥a＋b. 14．已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求下列范围． (1)x＋y; (2)x－3y; (3). 解：(1)因为30＜x＜42,16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66. (2)因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6. (3)因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以－＜＜－，所以0＜＜－＜，所以＜－＜，故－＜＜－，得－7＜＜－. 学科网（北京）股份有限公司 $$2．1　不等式的基本性质 2．1.1　实数的大小 2．1.2　不等式的性质 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第2章 不等式 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第2章 不等式 ★[学习目标] 1．了解比较两个实数大小的方法； 2．理解不等式的基本性质； 3．了解不等式基本性质的应用； 4．培养学生的数学思维能力和计算技能． 如图，一个胖子和一个瘦子． [问题]　(1)胖子和瘦子一起喝完了500 mL水，天平会和原图一样纹丝不动吗？ 提示：重量增加相同，所以天平依然保持不变． (2)两个人又上了厕所都排尿200 mL再站上去会有区别吗？ 提示：重量减少相同，所以天平也依然保持不变． [知识点一]　实数的大小 1．概念：一般地，对于任意实数a、b，如果a－b为正数，即a－b>0，那么称a大于b(或b小于a)． 2．实数a、b的大小关系 文字语言 符号表示 如果a>b，那么a－b是正数，反之亦然 a>b⇔ a－b>0 如果a<b，那么a－b是负数，反之亦然 a<b⇔ a－b<0 如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然 a＝b⇔ a－b＝0 3.作差比较法 比较两个实数(或代数式)的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数或零．这种比较大小的方法称为作差比较法． 1.在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是． [知识点二]　不等式的性质 1．不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 加法法则 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 移项法则 a＋b>c⇔a>c－b 性质2 乘法法则 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 性质3 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质4 同向不等式的可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质5 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 2.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立． 3．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． 1．设M＝2a2－4a，N＝a2－2a－3，则有(　　) A．M＜N　　　　　 B．M≤N C．M＞N D．M≥N 解析：C　[M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N.] 2．如果a＞b，那么下列说法正确的是(　　) A．ac＞bc B．ac2＜bc2 C．ac＝bc D．b－a＜0 解析：D　[因为a＞b，不等式两边同时减去a得0＞b－a，D正确，若c＝0，则A、B错误，若c≠0，C错误．] 3．用符号“＞”或“＜”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． (1)设a＞b，a－3______b－3； (2)设a＞b,6a______6b； (3)设a＜b，－4a______－4b； (4)设a＜b,5－2a______5－2b. 解析：(1)a－3＞b－3，应用不等式性质1. (2)6a＞6b，应用不等式性质2. (3)－4a＞－4b，应用不等式性质2. (4)5－2a＞5－2b，应用不等式性质1与性质2. 答案：(1)＞　(2)＞　(3)＞　(4)＞ 4．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是___________． 解析：∵m－n＝(2a2＋2a＋1)－(a＋1)2＝a2≥0，∴m≥n. 答案：m≥n 　比较大小 　(1)比较eq \f(2,3)与eq \f(5,8)的大小； (2)当a＞b＞0时，比较a2b与ab2的大小； (3)比较x2与2x－2的大小． [解]　(1)作差eq \f(2,3)－eq \f(5,8)＝eq \f(16－15,24)＝eq \f(1,24)＞0，因此eq \f(2,3)＞eq \f(5,8). (2)作差a2b－ab2＝ab(a－b)， 因为a＞b＞0，所以ab＞0，a－b＞0，故a2b－ab2＝ab(a－b)＞0，因此a2b＞ab2. (3)作差x2－(2x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，又因为(x－1)2≥0， 则x2－(2x－2)＝(x－1)2＋1>0，所以x2＞2x－2. 用作差法比较大小的步骤 第一步：作差并变形，其目的是应容易判断差的符号． 变形有两种情形： ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． ②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论． [变式训练] 1．比较下列两组数的大小． (1)2x2＋x与x2－1； (2)2a2＋2b2与(a＋b)2. 解：(1)2x2＋x－(x2－1)＝x2＋x＋1，令f(x)＝x2＋x＋1，可知函数图像开口向上且Δ＝－3＜0， ∴f(x)＞0恒成立，即2x2＋x＞x2－1. (2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， ∴2a2＋2b2≥(a＋b)2，当a＝b时等号成立． 　不等式性质的应用 　下列结论正确的是(　　) A．若a＞b，则ac＞bc　 B．若a＞b，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b2 [解析]　C　[对于A，当a＞b时，若取c≤0，则有ac≤bc.故A不正确；对于B，当a＞b时，取a＝1， b＝－1时，有eq \f(1,a)＞eq \f(1,b).故B不正确；对于C，当ac2＞bc2，两边同乘以eq \f(1,c2)，则a＞b.故C正确；对于D， 当a＞b，取a＝1，b＝－1时，有a2＝b2.故D不正确．] 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [变式训练] 2．已知实数a，b，c满足c＜b＜a，ac＜0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A．ac(a－c)＞0　　 B．cb2＜ca2 C．ab＞ac D．c(b－a)＜0 解析：C　[因为实数a，b，c满足c＜b＜a，ac＜0，所以a＞0，c＜0，对于A，因为a＞c，所以a－c＞0，因为ac＜0，所以ac(a－c)＜0，所以A错误；对于B，若a＞b＞0，则a2＞b2，因为c＜0，所以ca2＜cb2，所以B错误；对于C，因为b＞c，a＞0，所以ab＞ac，所以C正确；对于D，因为b＜a，所以b－a＜0，因为c＜0，所以c(b－a)＞0，所以D错误．] 　 　利用不等式的性质证明简单的不等式 　证明不等式： (1)若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd； (2)若a＞b＞0，c＞d＞0，则a2c＞b2d. [证明]　(1)∵a<b<0，两边同乘以c＜0，则ac＞bc，又c＜d＜0，两边同乘以b＜0，则bc＞bd，即ac＞bd. (2)∵a＞b＞0，两边同乘以a＞0，得a2＞ab＞0； 两边同乘以b＞0，得ab＞b2＞0， 所以a2＞ab＞b2＞0， 又c＞0，则a2c＞b2c＞0，又c＞d＞0，则b2c＞b2d，即a2c＞b2d. 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． [变式训练] 3．利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若a＜b，c＜0，则(a－b)c＞0； (2)若a＜0，－1＜b＜0，则a＜ab2＜ab. 证明：(1)∵a＜b，∴a－b＜0， 又c＜0，∴(a－b)c＞0. (2)∵－1＜b＜0，∴0＜b2＜1，∴1＞b2＞0＞b＞－1， 又a＜0，∴a＜ab2＜ab. 　　用不等式性质求代数式的取值范围 　已知1<a<4,2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． [解]　∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a＋3b<32.∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2.故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． [变式训练] 4．已知2＜a＜4,3＜b＜5，那么M＝2a＋b的取值范围是________． 解析：由已知可得4＜2a＜8，又3＜b＜5，所以7＜2a＋b＜13. 因此，M＝2a＋b的取值范围是{M|7＜M＜13}． 答案：{M|7＜M＜13} 5．已知1＜a＜3，－2＜b＜6，则2a－3b的取值范围是________． 解析：因为1＜a＜3，－2＜b＜6，所以2＜2a＜6， －18＜－3b＜6，所以－16＜2a－3b＜12.即2a－3b的取值范围是－16＜2a－3b＜12. 答案：－16＜2a－3b＜12 1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　) A．a>b　　　　 B．a<b C．a≥b D．a≤b 解析：C　[因为a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b，当且仅当x＝1时，等号成立．] 2．已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋c 解析：D　[当a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1时，ad＜bc，A错误；当a＝2，b＝－1，c＝－1，d＝－2时，ac＜bd，B错误；当a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1时，a－c＜b－d，C错误；根据不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不发生改变，可得D正确．] 3．下列说法正确的是(　　) A．如果a＜0＜b，那么a＋b＜0 B．如果a＜0＜b，那么a2＜b2 C．如果a＞b，那么2a＋5＞2b＋3 D．如果a＞b，那么a＞0，b＞0 解析：C　[A选项中，取a＝－1，b＝2，则a＋b＝1＞0，A错误；B选项中，取a＝－2，b＝1，则a2＞b2，B错误；C选项中，若a＞b，则由性质2得2a＞2b，再由性质4得2a＋5＞2b＋3，C正确；D选项中，a＞b，不能说明它们各自都大于0，D错误．] 4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________________． 解析：∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6.即a－b的取值范围是{a－b|－1≤a－b≤6}． 答案：{a－b|－1≤a－b≤6} 5．已知x，y均为正数，设m＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)，n＝eq \f(4,x＋y)，比较m和n的大小． 解：∵m－n＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(4,x＋y)＝eq \f(x＋y,xy)－eq \f(4,x＋y)＝eq \f(x＋y2－4xy,xyx＋y)＝eq \f(x－y2,xyx＋y). 又x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立). $$ 2．1　不等式的基本性质 2．1.1　实数的大小 2．1.2　不等式的性质 ★[学习目标] 1．了解比较两个实数大小的方法； 2．理解不等式的基本性质； 3．了解不等式基本性质的应用； 4．培养学生的数学思维能力和计算技能． 如图，一个胖子和一个瘦子． [问题]　(1)胖子和瘦子一起喝完了500 mL水，天平会和原图一样纹丝不动吗？ 提示：重量增加相同，所以天平依然保持不变． (2)两个人又上了厕所都排尿200 mL再站上去会有区别吗？ 提示：重量减少相同，所以天平也依然保持不变． [知识点一]　实数的大小 1．概念：一般地，对于任意实数a、b，如果a－b为正数，即a－b>0，那么称a大于b(或b小于a)． 2．实数a、b的大小关系 文字语言 符号表示 如果a>b，那么a－b是正数，反之亦然 a>b⇔ a－b>0 如果a<b，那么a－b是负数，反之亦然 a<b⇔ a－b<0 如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然 a＝b⇔ a－b＝0 3.作差比较法 比较两个实数(或代数式)的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数或零．这种比较大小的方法称为作差比较法． 1.在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是． [知识点二]　不等式的性质 1．不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 加法法则 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 移项法则 a＋b>c⇔a>c－b 性质2 乘法法则 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 性质3 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质4 同向不等式的可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质5 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 2.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立． 3．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． 1．设M＝2a2－4a，N＝a2－2a－3，则有(　　) A．M＜N　　　　　 B．M≤N C．M＞N D．M≥N 解析：C　[M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N.] 2．如果a＞b，那么下列说法正确的是(　　) A．ac＞bc B．ac2＜bc2 C．ac＝bc D．b－a＜0 解析：D　[因为a＞b，不等式两边同时减去a得0＞b－a，D正确，若c＝0，则A、B错误，若c≠0，C错误．] 3．用符号“＞”或“＜”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． (1)设a＞b，a－3______b－3； (2)设a＞b,6a______6b； (3)设a＜b，－4a______－4b； (4)设a＜b,5－2a______5－2b. 解析：(1)a－3＞b－3，应用不等式性质1. (2)6a＞6b，应用不等式性质2. (3)－4a＞－4b，应用不等式性质2. (4)5－2a＞5－2b，应用不等式性质1与性质2. 答案：(1)＞　(2)＞　(3)＞　(4)＞ 4．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是___________． 解析：∵m－n＝(2a2＋2a＋1)－(a＋1)2＝a2≥0，∴m≥n. 答案：m≥n 　比较大小 　(1)比较与的大小； (2)当a＞b＞0时，比较a2b与ab2的大小； (3)比较x2与2x－2的大小． [解]　(1)作差－＝＝＞0， 因此＞. (2)作差a2b－ab2＝ab(a－b)， 因为a＞b＞0，所以ab＞0，a－b＞0，故a2b－ab2＝ab(a－b)＞0，因此a2b＞ab2. (3)作差x2－(2x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 又因为(x－1)2≥0， 则x2－(2x－2)＝(x－1)2＋1>0， 所以x2＞2x－2. 用作差法比较大小的步骤 第一步：作差并变形，其目的是应容易判断差的符号． 变形有两种情形： ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． ②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论． [变式训练] 1．比较下列两组数的大小． (1)2x2＋x与x2－1； (2)2a2＋2b2与(a＋b)2. 解：(1)2x2＋x－(x2－1)＝x2＋x＋1，令f(x)＝x2＋x＋1，可知函数图像开口向上且Δ＝－3＜0， ∴f(x)＞0恒成立，即2x2＋x＞x2－1. (2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， ∴2a2＋2b2≥(a＋b)2，当a＝b时等号成立． 　不等式性质的应用 　下列结论正确的是(　　) A．若a＞b，则ac＞bc　 B．若a＞b，则＜ C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b2 [解析]　C　[对于A，当a＞b时，若取c≤0，则有ac≤bc.故A不正确；对于B，当a＞b时，取a＝1， b＝－1时，有＞.故B不正确；对于C，当ac2＞bc2，两边同乘以，则a＞b.故C正确；对于D， 当a＞b，取a＝1，b＝－1时，有a2＝b2.故D不正确．] 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [变式训练] 2．已知实数a，b，c满足c＜b＜a，ac＜0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A．ac(a－c)＞0　　 B．cb2＜ca2 C．ab＞ac D．c(b－a)＜0 解析：C　[因为实数a，b，c满足c＜b＜a，ac＜0，所以a＞0，c＜0，对于A，因为a＞c，所以a－c＞0，因为ac＜0，所以ac(a－c)＜0，所以A错误；对于B，若a＞b＞0，则a2＞b2，因为c＜0，所以ca2＜cb2，所以B错误；对于C，因为b＞c，a＞0，所以ab＞ac，所以C正确；对于D，因为b＜a，所以b－a＜0，因为c＜0，所以c(b－a)＞0，所以D错误．] 　 　利用不等式的性质证明简单的不等式 　证明不等式： (1)若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd； (2)若a＞b＞0，c＞d＞0，则a2c＞b2d. [证明]　(1)∵a<b<0，两边同乘以c＜0，则ac＞bc，又c＜d＜0，两边同乘以b＜0，则bc＞bd，即ac＞bd. (2)∵a＞b＞0，两边同乘以a＞0，得a2＞ab＞0； 两边同乘以b＞0，得ab＞b2＞0， 所以a2＞ab＞b2＞0， 又c＞0，则a2c＞b2c＞0，又c＞d＞0，则b2c＞b2d，即a2c＞b2d. 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． [变式训练] 3．利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若a＜b，c＜0，则(a－b)c＞0； (2)若a＜0，－1＜b＜0，则a＜ab2＜ab. 证明：(1)∵a＜b，∴a－b＜0， 又c＜0，∴(a－b)c＞0. (2)∵－1＜b＜0，∴0＜b2＜1，∴1＞b2＞0＞b＞－1， 又a＜0，∴a＜ab2＜ab. 　　用不等式性质求代数式的取值范围 　已知1<a<4,2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． [解]　∵1<a<4,2<b<8， ∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． [变式训练] 4．已知2＜a＜4,3＜b＜5，那么M＝2a＋b的取值范围是________． 解析：由已知可得4＜2a＜8，又3＜b＜5，所以7＜2a＋b＜13. 因此，M＝2a＋b的取值范围是{M|7＜M＜13}． 答案：{M|7＜M＜13} 5．已知1＜a＜3，－2＜b＜6，则2a－3b的取值范围是________． 解析：因为1＜a＜3，－2＜b＜6，所以2＜2a＜6， －18＜－3b＜6，所以－16＜2a－3b＜12.即2a－3b的取值范围是－16＜2a－3b＜12. 答案：－16＜2a－3b＜12 1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　) A．a>b　　　　 B．a<b C．a≥b D．a≤b 解析：C　[因为a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b，当且仅当x＝1时，等号成立．] 2．已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋c 解析：D　[当a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1时，ad＜bc，A错误；当a＝2，b＝－1，c＝－1，d＝－2时，ac＜bd，B错误；当a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1时，a－c＜b－d，C错误；根据不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不发生改变，可得D正确．] 3．下列说法正确的是(　　) A．如果a＜0＜b，那么a＋b＜0 B．如果a＜0＜b，那么a2＜b2 C．如果a＞b，那么2a＋5＞2b＋3 D．如果a＞b，那么a＞0，b＞0 解析：C　[A选项中，取a＝－1，b＝2，则a＋b＝1＞0，A错误；B选项中，取a＝－2，b＝1，则a2＞b2，B错误；C选项中，若a＞b，则由性质2得2a＞2b，再由性质4得2a＋5＞2b＋3，C正确；D选项中，a＞b，不能说明它们各自都大于0，D错误．] 4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________________． 解析：∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6.即a－b的取值范围是{a－b|－1≤a－b≤6}． 答案：{a－b|－1≤a－b≤6} 5．已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小． 解：∵m－n＝＋－＝－＝＝. 又x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立). [基础过关] 1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是(　　) A．A≤B　　　　　　　 B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 解析：B　[∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，∴A≥B.] 2．已知a＞b＞0，c＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac－bc＞0 B．3ac＞0 C．ac＜bc D.ac＞4ab 解析：C　[由a＞b＞0，c＜0，得ac＜bc，C正确，A错误，B错误，ab＞0，ac＜0，所以D错误．] 3．已知m＜n＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．mn＜0 B．m－n＜0 C．2m＞2n D．m2＜n2 解析：B　[因为m＜n＜0，所以mn＞0，A错误；在m＜n左右两边同时乘以2，不等号的方向不变，所以2m＜2n，C错误； 由m＜n＜0，得m2＞n2，D错误．] 4．若－1＜α＜β＜1，则α－β的范围为(　　) A．(－2,0) B．(－2，－1) C．(－1,0) D．(0,1) 解析：A　[因为α＜β，故α－β＜0，因为α＞－1，β＜1， 故－β＞－1，所以α－β＞－2即－2＜α－β＜0.] 5．已知2≤a≤7，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　) A．－1≤a－2b≤4 B．－2≤a－2b≤8 C．6≤a－2b≤9 D．－6≤a－2b≤9 解析：D　[由已知条件可得－8≤－2b≤2，故－6≤a－2b≤9.] 6．若a＞b，且＞，则ab____0.(填“＞”或“＜”) 解析：＞⇔－＜＞0，∵a＞b，∴b－a＜0，即ab＜0. 答案：＜ 7．一次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次知识竞赛中，小强被评为优秀(85分或85分以上)，小强至少答对________道题． 解析：设小强答对了x道题，则他答错或不答的共有(25－x)道题，由题意得4x－(25－x)×1≥85，解得x≥22，所以小强至少答对了22道题． 答案：22 8．若x∈R，则与的大小关系为________． 解析：∵－＝＝≤0，∴≤. 答案：≤ 9．已知实数b＞a＞0，m＜0，则mb______ma，______(用“>”“<”填空)． 解析：∵b＞a＞0，m＜0，∴b－a＞0， ∴mb－ma＝m(b－a)＜0，∴mb＜ma. －＝＝＜0， ∴＜. 答案：＜　＜ 10．如果a>b>0，c<d<0，f<0，证明：>. 证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0. 不等式的两边同乘， 得>>0， 又因为f<0，所以<，即>. [能力提升] 11．已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，下列不等式中表示糖水变甜的是(　　) A.＞　　　　 B.＜ C.＞ D.＜ 解析：D　[因为糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，－＝＞0，所以＜.] 12．对于实数a，b，c，有下列说法： ①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． 解析：①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确． ②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确． ③中，⇒a2>ab，⇒ab>b2， 所以a2>ab>b2，故③正确． 答案：②③ 13．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. 证明：∵＋－a－b＝(a－b)＝.∵(a－b)2≥0恒成立，且a>0， b>0，∴a＋b>0，ab>0. ∴≥0.∴＋≥a＋b. 14．已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求下列范围． (1)x＋y; (2)x－3y; (3). 解：(1)因为30＜x＜42,16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66. (2)因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6. (3)因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以－＜＜－，所以0＜＜－＜，所以＜－＜，故－＜＜－，得－7＜＜－. 学科网（北京）股份有限公司 $$