1.3.3 补集（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

1.3.3　补集 ★[学习目标] 1．理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集； 2．能够解决交集、并集、补集的综合运算问题． 某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}． [问题]　没有获得金奖的学生有哪些？ 提示：没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}． [知识点一]　全集 1．概念：在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合称为全集．(在研究数集时，通常把实数集R作为全集．) 2．记法：通常记作U. 1.在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．所以全集不一定是实数集． [知识点二]　补集 1．补集的概念 文字语言 一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由全集U中不属于集合A的 所有元素 组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作 ∁UA 符号语言 ∁UA＝ {x|x∈U且x∉A} 图形 语言 2.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝ U . (2)A∩(∁UA)＝ ∅ . (3)∁UU＝ ∅ ，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝ A . 2.∁UA，A，U三者之间有什么关系？ 提示：A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,3,4,6,7}，则集合∁UA＝(　　) A．{2,5,8}　　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} 解析：A　[∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,4,6,7}，∴∁UA＝{2,5,8}．] 2．已知全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c}，则∁UM等于(　　) A．∅ B．{a，c} C．{b，d} D．{a，b，c，d} 解析：C　[∵U＝{a，b，c，d}，M＝{a，c}，∴∁UM＝{b，d}．] 3．设全集U＝{x|x＞－1}，M＝{x|x＞5}，则∁UM＝________. 解析：因为全集U＝{x|x＞－1}，M＝{x|x＞5}，则∁UM＝{x|－1＜x＜5}． 答案：{x|－1＜x＜5} 4．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b＝________. 解析：由题意a＝3，b＝4，则a＋b＝7. 答案：7 　补集的运算 　(1)设U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,3,4,5}，B＝{3,5,7,8}．求∁UA及∁UB. (2)若集合A＝{x|－1≤x＜1}，S＝R，求∁SA. [解]　(1)∵U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴∁UA＝{0,2,6,7,8,9}，∁UB＝{0,1,2,4,6,9}． (2)把集合S和A表示在数轴上如图所示： 由图知∁SA＝{x|x＜－1，或x≥1}． 求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． [变式训练] 1．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　) A．{4,8}　　　　　 B．{0,2,6} C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10} 解析：C　[依据补集的定义，从集合A＝{0,2,4,6,8,10}中去掉集合B＝{4,8}，剩下的四个元素为0,2,6,10，故∁AB＝{0,2,6,10}．] 2．若集合A＝{x|－1≤x＜1}，S＝{x|－4≤x≤1}，求∁SA. 解：把集合S和A表示在数轴上，如图所示： 由图知∁SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}． 　集合交、并、补的综合运算 　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　) A．{2,5}　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8) [解析]　A　[因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．] (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. [解]　把全集U和集合A，B在数轴上表示出来，如图， 由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． [变式训练] 3．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3} 解析：C　[由题图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以∁UB＝{0,1,2,4,7,8}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．] 4．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁RA＝(　　) A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6} C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6} 解析：B　[由补集定义并结合数轴易知∁RA＝{x|x<0或x>6}．] 　补集的综合应用 　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求实数a的取值范围． [解]　 ∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠∅，∵A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2. ②若A≠∅，则有或，∴a≤1. 综上所述，实数a的取值范围为a≤1，或a≥2. 解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． [变式训练] 5．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：由题知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，如图， 所以－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是m≥2. 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∁UA＝(　　) A．{1,2,3}　　　　 B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{4,5} 解析：C　[因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，所以∁UA＝{3,4,5}．] 2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于(　　) A．{2,3} B．{1,4,5} C．{4,5) D．{1,5} 解析：B　[∵A∩B＝{2,3}，∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}．] 3．如图，阴影部分所表示的集合为(　　) A．(∁UB)∩A B．(∁UA)∩B C．∁U(B∩A) D．∁U(A∪B) 解析：B　[由已知中阴影部分在集合B中，而不在集合A中，故阴影部分所表示的元素属于B，不属于A(属于A∩B的补集)即(∁UA)∩B.] 4．已知U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，则∁UA＝__________. 解析：因为U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，所以∁UA＝{x|0＜x＜2或x≥6}． 答案：{x|0＜x＜2或x≥6} 5．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，(∁UA)∩B. 解：∵3x－7≥8－2x，即5x≥15，解得x≥3，∴B＝{x|x≥3}，∁UA＝{x|x＜2或x≥4}， ∴A∪B＝{x|x≥2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥4}. [基础过关] 1．已知全集U＝R，A＝{x|x＋1＞0}，则∁UA＝(　　) A．{x|x＜－1}　　　　 B．{x|x≤－1} C．{x|x＜1} D．{x|x≤1} 解析：B　[因为A＝{x|x＋1＞0}＝{x|x＞－1}，所以∁UA＝{x|x≤－1}．] 2．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} 解析：D　[∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}． ∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．] 3．设全集U＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{x|x≤1}，B＝{－2,0,2}，则∁U(A∩B)＝(　　) A．{－2,0} B．{－2,0,2} C．{－1,1,2} D．{－1,0,2} 解析：C　[由题知，A∩B＝{－2,0}，又U＝{－2，－1,0,1,2}，∴∁U(A∩B)＝{－1,1,2}．] 4．设集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤4}，则B∩(∁RA)＝(　　) A．[1,3) B．(－∞，4] C．[3,4] D．[1，＋∞) 解析：A　[由题知，∁RA＝{x|x＜3}，故B∩(∁RA)＝{x|1≤x＜3}．] 5．已知U＝{x|－3≤x＜3}，A＝{x|－2≤x＜3}，则图中阴影表示的集合是(　　) A．{x|－3≤x≤－2} B．{x|x＜－3或x≥3} C．{x|x≤0} D．{x|－3≤x＜－2} 解析：D　[由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的集合是∁UA，所以∁UA＝{x|－3≤x＜－2}．] 6．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|＞2}，则∁UA＝_________. 解析：由题意知，集合A＝{x||x－1|＞2}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，根据集合的补集的概念及运算，可得∁UA＝{x|－1≤x≤3}． 答案：{x|－1≤x≤3} 7．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁UA＝___________. 解析：因为全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，所以∁UA＝{x|x＝－3或x＞4}． 答案：{x|x＝－3或x＞4} 8．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________. 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3. 答案：－3 9．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,4}，B＝{1,4,5,6}． (1)求A∩B及A∪B； (2)求(∁UA)∩B. 解：(1)因为A＝{1,3,4}，B＝{1,4,5,6}，所以A∩B＝{1,3,4}∩{1,4,5,6}＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4}∪{1,4,5,6}＝{1,3,4,5,6}． (2)因为U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁UA＝{2,5,6}，所以(∁UA)∩B＝{2,5,6}∩{1,4,5,6}＝{5,6}． 10．设R为全集，A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，求a的取值范围． 解：因为B＝{x|1＜x＜2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，又A＝{x|x＜a}，A∪(∁RB)＝R，所以只需a≥2，即实数a的取值范围为a≥2. [能力提升] 11．图中阴影部分所对应的集合是(　　) A．(A∪B)∩(∁UB) B．∁U(A∩B) C．(∁U(A∩B))∩(A∪B) D．(∁U(A∩B))∪(A∪B) 解析：C　[图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即(A∩(∁UB))∪(B∩(∁UA))＝(∁U(A∩B))∩(A∪B)．] 12．设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，则实数m为________． 解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意(舍去)．综上，可知m＝3. 答案：3 13．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解：(1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x＜0，或x＞2}． ∵(∁RA)∪B＝R. ∴∴－1≤a≤0. (2)由(1)知当(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即不存在a使 (∁RA)∪B＝R，且A∩B＝∅. 14．已知集合A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＜－5或x＞1}，C＝{x|m－1≤x≤m＋1}． (1)求A∪B，A∩(∁RB)； (2)若B∩C＝∅，求实数m的取值范围． 解：(1)∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＜－5或x＞1}，∴A∪B＝{x|x＜－5或x＞－4}，又∁RB＝{x|－5≤x≤1}，∴A∩(∁RB)＝{x|－4＜x≤1}． (2)B∩C＝∅，且C≠∅，则需， 解得， 故实数m的取值范围为[－4,0]. 　集合的概念及其表示 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其它集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 　(1)集合A＝{x∈N＋|x－5＜0}中的元素个数是(　　) A．0　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 (2)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为________． [解析]　(1)A＝{x|∈N＋|x－5＜0}＝{1,2,3,4}，所以集合A中的元素个数有4个． (2)由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1. [答案]　(1)B　(2)－1或－2 [变式训练] 1．若集合A＝{x|kx2＋2x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则k的值为___________． 解析：当k＝0时，方程为2x＋1＝0，有且只有一解，符合题意； 当k≠0时，方程kx2＋2x＋1＝0有且仅有一个解等价于22－4k＝0，解得k＝1. 答案：0或1 2．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________． 解析：当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 答案：3或1 　集合之间的关系 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． 　(1)已知A＝{1,2,3}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则B的真子集个数为(　　) A．31　　B．32　　　C．63　　　D．64 (2)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________. (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________． [解析]　(1)由题意可知，当a＝b＝1时，集合B中元素最小为2，当a＝b＝3时，集合B中元素最大为6，又当a＝1，b＝2时，集合B中元素为3，当a＝1，b＝3时，集合B中元素为4，当a＝2，b＝3时，集合B中元素为5，所以集合B＝{2,3,4,5,6}，其子集个数为25＝32个，所以真子集31个． (2)由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍去)， 综上所述，x＝－2或x＝0. (3)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则解得2<m≤4. 综上，实数m的取值范围为(－∞，4]． [答案]　(1)A　(2)0或－2　(3)(－∞，4] [变式训练] 3．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A；当m≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2.] 　集合的运算 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． 　(1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} (3)设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤6或a≥4} C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4} [解析]　(1)由A∩B＝{1}，得1∈B， 所以m＝3，故B＝{1,3}． (2)A∩B＝{x|－2<x<－1}． (3)由|x－a|＜1⇔－1＜x－a＜1，解得a－1＜x＜a＋1，因为A∩B＝∅，所以a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥6}． [答案]　(1)C　(2)A　(3)C [变式训练] 4．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 解析：D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．] (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 解析：A　[由题意知∁UA＝{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}．] (3)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，则a的值为(　　) A．{1} B. C. D. 解析：D　[A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，当a＝0时，B＝∅，满足条件；当a≠0时，B≠∅，B＝，则＝1或＝2，则a＝1或a＝，故a的值为.] 学科网（北京）股份有限公司 $$1.3.3　补集 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 章末归纳提升 05 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 章末归纳提升 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 ★[学习目标] 1．理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集； 2．能够解决交集、并集、补集的综合运算问题． 某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}． [问题]　没有获得金奖的学生有哪些？ 提示：没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}． [知识点一]　全集 1．概念：在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合称为全集．(在研究数集时，通常把实数集R作为全集．) 2．记法：通常记作U. 1.在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．所以全集不一定是实数集． [知识点二]　补集 1．补集的概念 文字语言 一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由全集U中不属于集合A的 所有元素 组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作 ∁UA 符号语言 ∁UA＝ {x|x∈U且x∉A} 图形 语言 2.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝ U . (2)A∩(∁UA)＝ ∅ . (3)∁UU＝ ∅ ，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝ A . 2.∁UA，A，U三者之间有什么关系？ 提示：A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,3,4,6,7}，则集合∁UA＝(　　) A．{2,5,8}　　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} 解析：A　[∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,4,6,7}，∴∁UA＝{2,5,8}．] 2．已知全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c}，则∁UM等于(　　) A．∅ B．{a，c} C．{b，d} D．{a，b，c，d} 解析：C　[∵U＝{a，b，c，d}，M＝{a，c}，∴∁UM＝{b，d}．] 3．设全集U＝{x|x＞－1}，M＝{x|x＞5}，则∁UM＝________. 解析：因为全集U＝{x|x＞－1}，M＝{x|x＞5}，则∁UM＝{x|－1＜x＜5}． 答案：{x|－1＜x＜5} 4．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b＝________. 解析：由题意a＝3，b＝4，则a＋b＝7. 答案：7 　补集的运算 　(1)设U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,3,4,5}，B＝{3,5,7,8}．求∁UA及∁UB. (2)若集合A＝{x|－1≤x＜1}，S＝R，求∁SA. [解]　(1)∵U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴∁UA＝{0,2,6,7,8,9}，∁UB＝{0,1,2,4,6,9}． (2)把集合S和A表示在数轴上如图所示： 由图知∁SA＝{x|x＜－1，或x≥1}． 求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． [变式训练] 1．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　) A．{4,8}　　　　　 B．{0,2,6} C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10} 解析：C　[依据补集的定义，从集合A＝{0,2,4,6,8,10}中去掉集合B＝{4,8}，剩下的四个元素为0,2,6,10，故∁AB＝{0,2,6,10}．] 2．若集合A＝{x|－1≤x＜1}，S＝{x|－4≤x≤1}，求∁SA. 解：把集合S和A表示在数轴上，如图所示： 由图知∁SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}． 　集合交、并、补的综合运算 　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　) A．{2,5}　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8) [解析]　A　[因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．] (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. [解]　把全集U和集合A，B在数轴上表示出来，如图， 由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． [变式训练] 3．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3} 解析：C　[由题图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以∁UB＝{0,1,2,4,7,8}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．] 4．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁RA＝(　　) A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6} C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6} 解析：B　[由补集定义并结合数轴易知∁RA＝{x|x<0或x>6}．] 　补集的综合应用 　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求实数a的取值范围． [解]　 ∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠∅，∵A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2. ②若A≠∅，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－2<a,a≤1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－2<a,2a－2≥2))，∴a≤1. 综上所述，实数a的取值范围为a≤1，或a≥2. 解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． [变式训练] 5．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：由题知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，如图， 所以－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是m≥2. 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∁UA＝(　　) A．{1,2,3}　　　　 B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{4,5} 解析：C　[因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，所以∁UA＝{3,4,5}．] 2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于(　　) A．{2,3} B．{1,4,5} C．{4,5) D．{1,5} 解析：B　[∵A∩B＝{2,3}，∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}．] 3．如图，阴影部分所表示的集合为(　　) A．(∁UB)∩A B．(∁UA)∩B C．∁U(B∩A) D．∁U(A∪B) 解析：B　[由已知中阴影部分在集合B中，而不在集合A中，故阴影部分所表示的元素属于B，不属于A(属于A∩B的补集)即(∁UA)∩B.] 4．已知U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，则∁UA＝__________. 解析：因为U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，所以∁UA＝{x|0＜x＜2或x≥6}． 答案：{x|0＜x＜2或x≥6} 5．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，(∁UA)∩B. 解：∵3x－7≥8－2x，即5x≥15，解得x≥3，∴B＝{x|x≥3}，∁UA＝{x|x＜2或x≥4}， ∴A∪B＝{x|x≥2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥4}. 　集合的概念及其表示 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其它集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 　(1)集合A＝{x∈N＋|x－5＜0}中的元素个数是(　　) A．0　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 (2)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为________． [解析]　(1)A＝{x|∈N＋|x－5＜0}＝{1,2,3,4}，所以集合A中的元素个数有4个． (2)由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1. [答案]　(1)B　(2)－1或－2 [变式训练] 1．若集合A＝{x|kx2＋2x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则k的值为___________． 解析：当k＝0时，方程为2x＋1＝0，有且只有一解，符合题意； 当k≠0时，方程kx2＋2x＋1＝0有且仅有一个解等价于22－4k＝0，解得k＝1. 答案：0或1 2．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________． 解析：当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 答案：3或1 　集合之间的关系 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． 　(1)已知A＝{1,2,3}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则B的真子集个数为(　　) A．31　　B．32　　　C．63　　　D．64 (2)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________. (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________． [解析]　(1)由题意可知，当a＝b＝1时，集合B中元素最小为2，当a＝b＝3时，集合B中元素最大为6，又当a＝1，b＝2时，集合B中元素为3，当a＝1，b＝3时，集合B中元素为4，当a＝2，b＝3时，集合B中元素为5，所以集合B＝{2,3,4,5,6}，其子集个数为25＝32个，所以真子集31个． (2)由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍去)， 综上所述，x＝－2或x＝0. (3)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4. 综上，实数m的取值范围为(－∞，4]． [答案]　(1)A　(2)0或－2　(3)(－∞，4] [变式训练] 3．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A；当m≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,m)))，因为B⊆A，所以eq \f(6,m)＝2或eq \f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2.] 　集合的运算 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． 　(1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} (3)设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤6或a≥4} C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4} [解析]　(1)由A∩B＝{1}，得1∈B， 所以m＝3，故B＝{1,3}． (2)A∩B＝{x|－2<x<－1}． (3)由|x－a|＜1⇔－1＜x－a＜1，解得a－1＜x＜a＋1，因为A∩B＝∅，所以a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥6}． [答案]　(1)C　(2)A　(3)C [变式训练] 4．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 解析：D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．] (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 解析：A　[由题意知∁UA＝{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}．] (3)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，则a的值为(　　) A．{1} B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))) $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分层调练 课后·素养提升 高数提能 [基础过关] 1.已知全集U=R,A={xr+1>0},则C4=( A.r<-1} B.{xk≤-1} C.xk<1) D.xr≤1} 解析：B[因为A={ac十1>0}={axr>一1}，所以C4=x一1}.] 2.已知集合A={-1≤x≤2}，B={r<1},则An(CRB)=() A.{a>1} B.xr≥1} C.{x1x≤2} D.1≤x≤2} 解析：D[,B=x<I},.CB={xr≥1}. A∩(CRB)=x1≤x≤2}.] 3.设全集U={-2,-1,0,1,2},A={≤1}，B={-2,0,2},则C(4nB)=() A.{-2.0} B.{-20,2} C.{-1,1,2} D.{-1,0,2} 解析：C[由题知，AnB={-2,0},又U={-2,-1,0,12,.C(4nB)={-1,1,2}.] 4.设集合A={xx≥3}，B={x1≤x≤4}，则B∩(CR4)=() A.[1,3) B.(-0,4] C.[3,4 D.[1,+o∞) 解析：A[由题知，C4=xt<3},故B∩(CR4)={x1sx<3}.] 5.已知U={-3≤x<3},A={x-2≤x<3},则图中阴影表示的集合是() A.{-3≤x≤-2} B.{xk<-3或x≥3} C.xh≤0} D.{-3≤x<-2} 解析：D[由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的 集合是C4,所以C4=一3s<一2}.] 6.已知全集U=R,集合A=-1>2,则C4= 解析：由题意知，集合A={xk一1>2}=(-∞，一1)U(3,+©)，根据集合的补集的 概念及运算，可得C4={一1≤x≤3} 答案：x-1≤x≤3} 7.已知全集U=xr≥-3}，集合A=x-3<x≤4}，则C4= 解析：因为全集U={xr≥一3}，集合A={x一3<x≤4}，所以C4={xx=一3或x >4} 答案：{xx=-3或x>4} ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.设全集U={0,1,23},集合A={xx2+x=0},若C4={1,2},则实数m= 解析：U=0,1,2,3},C4={1,2,4=0,3},故m=-3 答案：一3 9.设全集U={123.4,5.6},集合4={13,4}，B={1,4,5.6}. (I)求A∩B及AUB: (2)求(C4)∩B 解：(1)因为A={13,4},B=1,4,5,63,所以A∩B=1,3,4}∩1,4.5,6}={1,4}，AUB ={13.4}U{1.4.5,6}=1,34.5,6}. (2)因为U={1,23,4.5.6},所以C4={25,6},所以(C40∩B=2,5,6}∩{1,4,5,6}= {56}. 10.设R为全集，A=xk<a},B=xl<x<2},且AU(CRB)=R,求a的取值范围. 解：因为B={x1<x<2,所以CRB={xk≤1或x≥2}，又A={xr<a},AU(CRB) =R,所以只需a≥2，即实数a的取值范围为a≥2 [能力提升] 11.图中阴影部分所对应的集合是() A.(AUB)n(C oB) B.C AnB) C.(CuAnB)n(AUB) D.(C (AnB))U(AUB) 解析：C[图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即(4∩(CB)U(B门 (C 04))=(C d(AnB))n(4UB). 12.设全集U=3.6,m2-m-1},A={3-2ml,6},C4={5},则实数m为 解析：因为C4={5},所以5∈0但5eA,所以m2-m一1=5，解得m=3或m=一 2.当m=3时，3-2m=3≠5，此时U/=3,5.6},A=3,6},满足C4={5}:当m=一2时， 3-2m=7≠5，此时U={3,5,6},A={6,7},不符合题意（舍去）.综上，可知m=3 答案：3 13.已知集合A={x0≤x≤2}，B=a≤x≤a十3} (I)若(CR4)UB=R,求a的取值范围： (2)是否存在a使(CR4)UB=R且A∩B=O? 解：(1)4=x0≤x≤2}， 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 .CR4=xr<0,戎x>2}. .(C RA)UB=R .a0,a+322,).-1≤a≤0 4 B 2a+3 (2)由(I)知当(CR4)UB=R时， -1≤a≤0，而a+3∈[23]， ASB,这与A∩B=O矛盾.即不存在a使 (CR4)UB=R,且AnB=O 14.已知集合A={x-4<x<2},B=<-5或x>1},C=xm-1≤x≤m+1}. (I)求AUB,A∩(CRB): (②)若B∩C=O,求实数m的取值范围. 解：(1)A={-4<x<2},B={r<-5或x>1},4UB=xr<-5或x>-4}, 又CRB={-5≤x≤1}，An(CRB={x-4<x≤1}. (2)BnC=0,且C≠0，则需m-12-5m+1≤1)， 解得m2-4m≤0)， 故实数m的取值范围为[4.0] ·独家授权侵权必究·