1.3.1 交集&1.3.2 并集（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

1.3　集合的运算 1．3.1　交集 1．3.2　并集 ★[学习目标] 1．理解交集、并集的定义； 2．能正确地求出两个集合的交集、并集． 今年春季甲流横行，传染性强，若甲流患者甲去过的地方构成集合A＝{学校、餐厅、超市、体育馆}，甲流患者乙去过的地方构成集合B＝{电影院，超市，学校，广场}，则甲、乙最有可能被感染的地方构成集合C，高风险地区构成集合D. [问题]　集合C、D中有哪些元素？ 提示：C＝{学校，超市}，D＝{学校、餐厅、超市、体育馆、电影院、广场}． [知识点一]　交集的概念 1．交集的概念 ①自然语言：一般地，对于给定的集合A与集合B，由 既属于 集合A又 属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集． ②符号语言：集合A与集合B的交集记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B＝ {x|x∈A且x∈B}． ③图形语言：两个集合的交集可以用Venn图中的阴影部分表示，如图1,2,3. 　 　 　　　 图1　　　　　　图2 　 　　 　　　图3　　　　图4 当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空集，如图4. 2．交集运算的性质 对于任意两个集合A，B，都有： ①A∩B＝ B∩A ； ②A∩A＝ A ； ③A∩∅＝∅∩A＝ ∅ ； ④(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B； ⑤如果A⊆B，则A∩B＝ A . 1.当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ 提示：有，交集为空集． 2．若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)吗？反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)吗？ 提示：若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)成立； 反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)不一定成立． [知识点二]　并集 1．并集的概念 ①自然语言：一般地，对于给定的集合A与集合B，由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集． ②符号语言：集合A与集合B的并集记作A∪B(读作“A并B”)，则A∪B＝ {x|x∈A或x∈B}． ③图形语言：如图所示． 2．并集运算的性质 ①A∪B＝ B∪A ；②A∪A＝ A ； ③A∪∅＝∅∪A＝A ； ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ⑤如果A⊆B，则A∪B＝ B ，反之也成立． 3.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 1．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝(　　) A．∅　　　　　　　　 B．{2} C．{－2,2} D．{－2,1,2,3} 解析：B　[A∩B＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．] 2．设集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{1,3,5,7}，则集合A∪B＝(　　) A．{1,3} B．{1,2,3,4,5,7} C．{5,7} D．{2,4,5,7} 解析：B　[A∪B＝{1,2,3,4}∪{1,3,5,7}＝{1,2,3,4,5,7}．] 3．已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＞－1}，则A∩B＝________. 解析：因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＞－1}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜1}． 答案：{x|－1＜x＜1} 4．已知集合A＝{x|－1＜x≤4，x∈N}，B＝{－1,1,3,5}，则A∪B＝________. 解析：因为A＝{0,1,2,3,4}，B＝{－1,1,3,5}，所以A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}． 答案：{－1,0,1,2,3,4,5} 　交集的运算 　已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}、N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝(　　) A．{(3，－1)}　　　　　 B．{－1,3} C．{1,3} D．{－1，－3} [解析]　A　[因为M＝{(x，y)|x＋y＝2}、N＝{(x，y)|x－y＝4}，所以M∩N＝＝{(3，－1)}．] (1)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与集合B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． (2)求涉及不等式表示的集合的交集时，借助数轴求解可化抽象为直观． [变式训练] 1．已知集合M＝{0,1,2,3}，N＝{x|0<x<3}，则M∩N＝(　　) A．{0} B．{x|x<0} C．{x|0<x<3} D．{1,2} 解析：D　[因为M＝{0,1,2,3}，N＝{x|0<x<3)，所以M∩N＝{1,2}．] 　并集的运算 　已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|3<x<5} D．{x|x<－3，或x>5} [解析]　A　[在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．] (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍． [变式训练] 2．已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝(　　) A．{x|－1≤x<3} B．{x|—1≤x≤4} C．{x|x≤4) D．{x|x≥－1} 解析：C　[P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}， 如图，P∪Q＝{x|x≤4}．] 　集合并集、交集性质的应用 　(1)已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． [解析]　A∪B＝A，即B⊆A，所以m≥2. [答案]　m≥2 (2)已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1 ＝0}，若A∩B＝B，求实数m的取值范围． [解]　由x2＋x－6＝0，得A＝{－3,2}，∵A∩B＝B，∴B⊆A，且B中元素至多一个，∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅. ①当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝； ②当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－； ③当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0， ∴m＝或m＝－或m＝0. 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉． [变式训练] 3．设m为实数，A＝{1,2,3}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m的值是________． 解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A，且m≠1，又∵A＝{1,2,3}，B＝{1，m}，所以m＝2或m＝3. 答案：2或3 4．已知集合A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|2－k≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.若B＝∅，则2－k>2k－1，解得k<1； 若B≠∅，则解得1≤k≤. 综上所述，k≤. 1．设集合A＝{2}，B＝{－2,2}，则A∪B＝(　　) A．{－2}　　　　　 B．{2} C．{－2,2} D．∅ 解析：C　[因为集合A＝{2}，B＝{－2,2}， 所以A∪B＝{－2,2}．] 2．设集合A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x≥0}，则A∪B＝(　　) A．{x|0≤x＜1} B．{x|x≥0} C．{x|－3＜x＜1} D．{x|x＞－3} 解析：D　[A∪B＝{x|－3＜x＜1}∪{x|x≥0}＝{x|x＞－3}．] 3．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜1或x＞3}，则A∩B＝(　　) A．{x|－2＜x＜1} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 解析：A　[因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜1或x＞3}，所以A∩B＝{x|－2＜x＜1}．] 4．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝________. 解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}． 答案：{x|x≥－5} 5．已知集合A＝{x|－1≤x＜2}，集合B＝{x|a－1≤x＜2a}． (1)B⊆A，求实数a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 解：(1)因为B⊆A，所以当B＝∅时，a－1≥2a，解得a≤－1，此时满足题意；当B≠∅时，由题意得，解得0≤a≤1，所以实数a的取值范围为{a|0≤a≤1或a≤－1}． (2)因为A∩B＝∅，所以当B＝∅时满足题意，即a－1≥2a，解得a≤－1； 当B≠∅时，由题意得或，解得－1＜a≤－或a≥3，所以实数a的取值范围为. [基础过关] 1．设集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，则集合A∪B＝(　　) A．{1,3,1,2,4,5}　　 B．{1} C．{1,2,3,4,5} D．{2,3,4,5} 答案：C 2．已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x－2≥0}，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2,3} B．{1,2,3} C．{2,3} D．{3} 解析：C　[由题知A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{2,3}．] 3．已知集合A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 答案：B 4．设集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2＋x＝0}，则A∪B＝(　　) A．{0} B．{－1,0,0,2} C．{－1,0,2} D．{－1,2} 解析：C　[因为A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，B＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，所以A∪B＝{－1,0,2}．] 5．设集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B＝(　　) A．{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜2} C．{x|－2＜x＜2} D．{x|x＜1} 解析：B　[集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∪B＝{x|x＜2}．] 6．若集合A＝{x|2x＋1＞0}，B＝{x|－1＜x＜3}，则A∩B＝________. 解析：∵A＝，B＝{x|－1＜x＜3}， 画数轴如图： ∴A∩B＝. 答案： 7．若集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则集合P的子集个数为______． 解析：∵集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，∴P＝{1,3}，∴集合P的子集个数为22＝4. 答案：4 8．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝______，A∩B＝________. 解析：借助数轴可知： A∪B＝R，A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}． 答案：R　{x|－1<x≤1或4≤x<5} 9．集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，则A∩B＝_______. 解析：在数轴上表示集合A，B，如图： 所以A∩B＝{x|2<x<3或4<x<5}． 答案：{x|2<x<3或4<x<5} 10．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝，求A∩B，A∪B. 解：∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝， 把集合A与B表示在数轴上，如图． ∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩＝； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪＝R. [能力提升] 11．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2} 解析：D　[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}， N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}．] 12．设A＝{1,9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的值为__________． 解析：因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以x2＝9或x2＝x，当x2＝9时，x＝±3符合题意，当x2＝x时，x＝0或x＝1，由元素互异性知x≠1，所以x＝0，综上所述：x的值为0或－3或3. 答案：0或－3或3 13．已知集合A＝{x|a－3≤x≤a＋1}，B＝{x|x＞5或x＜－2}． (1)当a＝2时，求A∪B； (2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 解：由已知集合B＝{x|x＞5或x＜－2}． (1)当a＝2时，集合A＝{x|－1≤x≤3}， 则A∪B＝{x|x＜－2或－1≤x≤3或x＞5}． (2)由A∩B＝A，则A⊆B，因为A≠∅，所以a－3＞5或a＋1＜－2，解得a＞8或a＜－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(8，＋∞)． 14．已知集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|m－1＜x＜m2}． (1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数； (2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|－2≤x≤4}，x∈Z，所以A＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A中共有7个元素，则A的非空真子集的个数为27－2＝126. (2)因为A∪B＝A，所以B⊆A，因为m2－m＋1＝2＋＞0，故B≠∅，则，解得－1≤m≤2，从而实数m的取值范围为 {m|－1≤m≤2}. 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分层训蝽 课后·素养提升 高数提能 [基础过关] 1.设集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},则集合AUB=() A.1,3,1,2.4,5} B.{1} C.1,23.4,5} D.{23,4,5} 答案：C 2.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={xr-2≥0}，则A∩B=() A.{0,1,23} B.1,23} C.23} D.3} 解析：C[由题知A={-1,0,1,2,3},B={22},所以AnB=2,3}.] 3.已知集合A={1,2,3.57,11},B={x3x<15},则A∩B中元素的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：B 4.设集合A={xx2-2r=0},B=x2十x=0},则AUB=() A.0} B.{-10.02} C.{-1.02} D.{-1,2} 解析：C[因为A={xx2-2x=0}={0,2},B={2+x=0}={-1.0},所以AUB {-1,0,2}.] 5.设集合A={xr<1},B=x-2<x<2},则AUB=() A.{-2<x<1} B.{xr<2} C.{x-2<x<2} D.{xr<1} 解析：B[集合A={<1},B={x一2<x<2},所以AUB={xk<2;.] 6.若集合A={x2x十1>0}，B=x-1<x<3},则A∩B= 解析：A=x>-M(12),B=x-1<x<3}, 画数轴如图： -2-110 ∴.A∩B=x-f12)<x<3) 答案：-f(12)<x<3) 7.若集合M={0,12,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则集合P的子集个数为 解析：集合M={0,1,23,4},N={13.5},P=MnN,.P=1,3},∴.集合P的子集 个数为22=4 答案：4 8.若集合A={知-15}，B={x≤1，或x≥4}，则AUB=,AnB= ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 解析：借助数轴可知： AUB=R,A∩B={-1x≤1或4≤x<5} 答案：R{x-1x≤1或4≤x5} 9.集合A={x2k2k+1,k∈Z},B={x1x<6},则AnB= 解析：在数轴上表示集合A,B,如图： 。 所以AnB={23或4x<5} 答案：{x2x3或4x<5} 10.已知集合A={-1<x≤3}，B=xx≤0，或x2f52),求A∩B,AUB 解：A={-1<x≤3}，B=xk≤0，或2\f52), 把集合A与B表示在数轴上，如图 A∩B={x-1<x≤3}nxk≤0，或Xelf52)=x-1<x≤0，或f52)X3): AUB={x-1<x≤3}Uxx≤0，或X2f52)=R [能力提升] 11.设集合M={xr2+2x=0,x∈R},N={xr2-2x=0,x∈R},则MUN=() A.{03 B.02} C.{-2.0} D.{-2,02} 解析：D[M=x2+2x=0,x∈R}=0,一2}， N={xr2-2x=0,x∈R}={0,25,故MUN={-2,0,2}.] 12.设A=1,9,x},B=1,x2},且A∩B=B,则x的值为 解析：因为A∩B=B,所以BCA,所以x2=9或x2=x,当x2=9时，x=±3符合题意， 当x2=x时，x=0或x=1,由元素互异性知x≠1，所以x=0,综上所述：x的值为0或-3 或3 答案：0或-3或3 13.已知集合A={a-3≤x≤a+1},B={r>5或x<-2}. (1)当a=2时，求AUB: (②)若A∩B=A,求实数a的取值范围. 解：由己知集合B={r>5或x<一2}. (1)当a=2时，集合A={x-1≤x≤3}， 则AUB={x<-2或-1≤x≤3或x>5}. 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)由AnB=A,则ASB,因为A≠0，所以a-3>5或a+1<-2,解得a>8或a <一3，即实数a的取值范围为（一∞，一3）U(8,十∞). 14.已知集合A={-2≤x≤4}，B={m-1<x<m2}. (1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数： (2)若AUB=A,求实数m的取值范围。 解：(1)因为4={x一2≤≤4}，x∈Z,所以4={-2，一1,0,1,23,4}，A中共有7个元 素，则A的非空真子集的个数为27一2=126 (2)因为AUB=A,所以BsA,因为m2-m+1=aws4 alcol(m-f12)2+34>0,故B ≠⑦，则m2≤4m一12一2)，解得一1≤m≤2，从而实数m的取值范围为 {m一1≤m≤2} ·独家授权侵权必究·1.3　集合的运算 1．3.1　交集 1．3.2　并集 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第1章 集合 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 ★[学习目标] 1．理解交集、并集的定义； 2．能正确地求出两个集合的交集、并集． 今年春季甲流横行，传染性强，若甲流患者甲去过的地方构成集合A＝{学校、餐厅、超市、体育馆}，甲流患者乙去过的地方构成集合B＝{电影院，超市，学校，广场}，则甲、乙最有可能被感染的地方构成集合C，高风险地区构成集合D. [问题]　集合C、D中有哪些元素？ 提示：C＝{学校，超市}，D＝{学校、餐厅、超市、体育馆、电影院、广场}． [知识点一]　交集的概念 1．交集的概念 ①自然语言：一般地，对于给定的集合A与集合B，由 既属于 集合A又 属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集． ②符号语言：集合A与集合B的交集记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B＝ {x|x∈A且x∈B}． ③图形语言：两个集合的交集可以用Venn图中的阴影部分表示，如图1,2,3. INCLUDEPICTURE"S11+.TIF" 　 　 图1　　　　　　图2 　 　　 　　　图3　　　　图4 当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空集，如图4. 2．交集运算的性质 对于任意两个集合A，B，都有： ①A∩B＝ B∩A ； ②A∩A＝ A ； ③A∩∅＝∅∩A＝ ∅ ； ④(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B； ⑤如果A⊆B，则A∩B＝ A . 1.当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ 提示：有，交集为空集． 2．若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)吗？反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)吗？ 提示：若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)成立； 反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)不一定成立． [知识点二]　并集 1．并集的概念 ①自然语言：一般地，对于给定的集合A与集合B，由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集． ②符号语言：集合A与集合B的并集记作A∪B(读作“A并B”)，则A∪B＝ {x|x∈A或x∈B}． ③图形语言：如图所示． 2．并集运算的性质 ①A∪B＝ B∪A ；②A∪A＝ A ； ③A∪∅＝∅∪A＝A ； ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ⑤如果A⊆B，则A∪B＝ B ，反之也成立． 3.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 1．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝(　　) A．∅　　　　　　　　 B．{2} C．{－2,2} D．{－2,1,2,3} 解析：B　[A∩B＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．] 2．设集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{1,3,5,7}，则集合A∪B＝(　　) A．{1,3} B．{1,2,3,4,5,7} C．{5,7} D．{2,4,5,7} 解析：B　[A∪B＝{1,2,3,4}∪{1,3,5,7}＝{1,2,3,4,5,7}．] 3．已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＞－1}，则A∩B＝________. 解析：因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＞－1}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜1}． 答案：{x|－1＜x＜1} 4．已知集合A＝{x|－1＜x≤4，x∈N}，B＝{－1,1,3,5}，则A∪B＝________. 解析：因为A＝{0,1,2,3,4}，B＝{－1,1,3,5}，所以A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}． 答案：{－1,0,1,2,3,4,5} 　交集的运算 　已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}、N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝(　　) A．{(3，－1)}　　　　　 B．{－1,3} C．{1,3} D．{－1，－3} [解析]　A　[因为M＝{(x，y)|x＋y＝2}、N＝{(x，y)|x－y＝4}，所以M∩N＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝4))))))＝{(3，－1)}．] (1)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与集合B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． (2)求涉及不等式表示的集合的交集时，借助数轴求解可化抽象为直观． [变式训练] 1．已知集合M＝{0,1,2,3}，N＝{x|0<x<3}，则M∩N＝(　　) A．{0} B．{x|x<0} C．{x|0<x<3} D．{1,2} 解析：D　[因为M＝{0,1,2,3}，N＝{x|0<x<3)，所以M∩N＝{1,2}．] 　并集的运算 　已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|3<x<5} D．{x|x<－3，或x>5} [解析]　A　[在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．] (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍． [变式训练] 2．已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝(　　) A．{x|－1≤x<3} B．{x|—1≤x≤4} C．{x|x≤4) D．{x|x≥－1} 解析：C　[P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}， 如图，P∪Q＝{x|x≤4}．] [答案]　m≥2 　集合并集、交集性质的应用 　(1)已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． [解析]　A∪B＝A，即B⊆A，所以m≥2. (2)已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1 ＝0}，若A∩B＝B，求实数m的取值范围． [解]　由x2＋x－6＝0，得A＝{－3,2}，∵A∩B＝B，∴B⊆A，且B中元素至多一个，∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅. ①当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝eq \f(1,3)； ②当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－eq \f(1,2)； ③当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0， ∴m＝eq \f(1,3)或m＝－eq \f(1,2)或m＝0. 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉． [变式训练] 3．设m为实数，A＝{1,2,3}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m的值是________． 解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A，且m≠1，又∵A＝{1,2,3}，B＝{1，m}，所以m＝2或m＝3. 答案：2或3 4．已知集合A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|2－k≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.若B＝∅，则2－k>2k－1，解得k<1； 若B≠∅，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－k≤2k－1，,2－k>－3，,2k－1≤4，))解得1≤k≤eq \f(5,2). 综上所述，k≤eq \f(5,2). 1．设集合A＝{2}，B＝{－2,2}，则A∪B＝(　　) A．{－2}　　　　　 B．{2} C．{－2,2} D．∅ 解析：C　[因为集合A＝{2}，B＝{－2,2}， 所以A∪B＝{－2,2}．] 2．设集合A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x≥0}，则A∪B＝(　　) A．{x|0≤x＜1} B．{x|x≥0} C．{x|－3＜x＜1} D．{x|x＞－3} 解析：D　[A∪B＝{x|－3＜x＜1}∪{x|x≥0}＝{x|x＞－3}．] 3．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜1或x＞3}，则A∩B＝(　　) A．{x|－2＜x＜1} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 解析：A　[因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜1或x＞3}，所以A∩B＝{x|－2＜x＜1}．] 4．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝________. 解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}． 答案：{x|x≥－5} 5．已知集合A＝{x|－1≤x＜2}，集合B＝{x|a－1≤x＜2a}． (1)B⊆A，求实数a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 解：(1)因为B⊆A，所以当B＝∅时，a－1≥2a，解得a≤－1，此时满足题意；当B≠∅时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1≥－1,2a≤2,a－1＜2a))，解得0≤a≤1，所以实数a的取值范围为{a|0≤a≤1或a≤－1}． (2)因为A∩B＝∅，所以当B＝∅时满足题意，即a－1≥2a，解得a≤－1；当B≠∅时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a≤－1,a－1＜2a))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1≥2,a－1＜2a))，解得－1＜a≤－eq \f(1,2)或a≥3，所以实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≤－\f(1,2)或a≥3)). $$