1.2 集合之间的关系（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

1.2　集合之间的关系 ★[学习目标] 1．理解子集的概念及子集相关的一些结论； 2．理解真子集的概念，理解子集与真子集的区别与联系； 3．理解集合相等的定义，能运用相关知识解决集合相等简单问题； 4．能正确地运用符号表示集合与集合的关系． 草原上，蓝蓝的天上白云飘．白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B. [问题]　(1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 提示：(1)集合A中的元素都是集合B中的元素． (2)A是B的子集． [知识点一]　子集 1．子集定义：一般地，如果集合A的每一个 元素 都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作 A⊆B(或B⊇A) ，读作“A 包含于 B”(或“B 包含 A”)． 2．Venn图：在数学中，我们经常用平面内 封闭曲线 的内部表示集合，这种图称为Venn图．如图表示集合A与集合B之间的关系是A⊆B. 3．子集的性质：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；空集是任何集合的子集． 1.符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． [知识点二]　集合相等 一般地，如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B .也就是说，当集合A的每一个元素是集合B的元素，同时集合B的每一个元素也是集合A的元素，即A⊆B，且B⊆A，A＝B时．用Venn图表示如图. [知识点三]　真子集 1．定义：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且集合B中 至少 有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的 真子集 ，记作 AB或BA ，读作“A真包含于B”或”B真包含A”． 2．空集是 任何非空集合 的真子集． 2.任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系． 1．若集合A＝{－2,0,2}，B＝{0}，则(　　) A．A∈B　　　　　 B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 解析：D　[因集合B中只有一个元素0，并且0∈A，于是得集合B是集合A的子集，从而得B⊆A.] 2．集合{1,2}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：A　[集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．] 3．已知集合A＝{－1，m}，B＝{2，n}，且A＝B， 则m＝______，n＝______. 解析：因为A＝B，所以集合元素完全相同，所以m＝2，n＝－1. 答案：2　－1 4．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是________． 解析：∵{x|x2－1＝0}＝{－1,1}， ∴1∈{x|x2－1＝0}， 又∵－1∈{x|x2－1＝0}，且－1∉{1}， ∴{1}{x|x2－1＝0}． 答案：{1}{x|x2－1＝0} 　求集合的子集、真子集 　(1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． (2)写出集合{a，b，c}的所有子集？写出集合{a，b，c，d}的所有子集？ [解]　 (1)集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}． (2)集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 集合{a，b，c，d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}． 1．写出一个集合的所有子集的常用方法 (1)首先要注意两个特殊子集：∅和它自身； (2)其次要依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集、含有3个元素的子集……写出所有子集，在本例中，写出含有2个元素的子集时，首先从1起，1与每个元素搭配，然后不看1，再看2可与哪些元素搭配． 2．求一个集合子集个数的规律 含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． [变式训练] 1．已知集合M＝，则M的非空子集的个数是(　　) A．15　　　B．16　　　　C．7　　　　D．8 解析：C　[M＝{1,2,3}，所以M的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共7个．] 2．写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集． 解：由0个元素构成的子集：∅； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 由3个元素构成的子集：{1,2,3}． 由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集． 　集合间关系的判断 　(1)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．] (2)指出下列各对集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； ③A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ④M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1， n∈N＋}． [解]　 ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. ③等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ④两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． (3)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． [变式训练] 3．已知集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，则下列关系正确的是(　　) A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B∈A 解析：C　[因为集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，所以根据子集的定义可知B⊆A.] 4．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：B　[解x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N⊆M，其对应的Venn图如选项B所示．] 　集合相等 　已知集合{1，a，b}与{a，a2，ab}相等，求实数a，b的值． [解]　 因为集合{1，a，b}与{a，a2，ab}相等，所以有两种情况：①，⇒a＝1或，当a＝1时，不符合集合元素的互异性，故舍去；当时，符合集合元素的互异性． ②，⇒，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以a＝－1，b＝0. (1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，若A＝B，则A⊆B，且B⊆A，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需要证A⊆B与B⊆A均成立即可． (2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关． (3)要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断． [变式训练] 5．若整数x、y能使{2x，x＋y}＝{7,4}成立，则xy＝______. 解析：∵{2x，x＋y}＝{7,4}，∴或，解得(舍去)或，∴xy＝10. 答案：10 6．已知集合A＝{1，－m}，B＝{1，m2}，且A＝B，则m的值为______． 解析：∵A＝{1，－m}，B＝{1，m2}，且A＝B，∴m2＝－m，解得m＝－1或者m＝0.m＝－1不满足集合中元素的互异性，舍去．∴m＝0符合题意． 答案：0 　由集合间的关系求参数问题 　(1)已知集合A＝{x|x＝x2}，B＝{1，m,2}，若A⊆B，则实数m的值为(　　) A．2 B．0 C．0或2 D．1 [解析]　B　[由题意，集合A＝{x|x＝x2}＝{0,1}，因为A⊆B，所以m＝0.] (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． [解]　 因为B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时，有 解得－1≤m<2，综上可知实数m的取值范围为m≥－1. 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解．此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 提醒：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论． [变式训练] 7．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，B⊆A，若B为空集，则方程ax＝1无解，解得a＝0； 若B不为空集，则a≠0；由ax＝1解得x＝，所以＝－1或＝2，解得a＝－1或a＝， 综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为.] 1．若集合M＝{x|x≤6}，a＝，则下面结论中正确的是(　　) A．{a}⊂M　　　　 B．a⊂M C．{a}∈M D．a∉M 解析：A　[因为集合M＝{x|x≤6}，a＝，所以{a}⊂M.] 2．集合M＝{x|－2＜x≤3且x∈N}的真子集个数为(　　) A．7　　B．8　　　C．15　　　D．16 解析：C　[∵M＝{0,1,2,3}，∴M的真子集个数为24－1＝15个．] 3．下列集合与集合A＝{1,3}相等的是(　　) A．(1,3) B．{(1,3)} C．{x|x2－4x＋3＝0} D．{(x，y)|x＝1，y＝3} 解析：C　[A项不是集合，B项与D项中的集合是由点坐标组成，C项：x2－4x＋3＝0，即(x－3)(x－1)＝0，解得x＝3或x＝1，集合{x|x2－4x＋3＝0}即集合{1,3}，因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，所以与集合A＝{1,3}相等的是集合{x|x2－4x＋3＝0}．] 4．设A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x－3＝0}，且B⊆A，则m＝________. 解析：因为B＝{3}⊆A，所以3∈A，即9－15＋m＝0， 所以m＝6. 答案：6 5．A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞a}． (1)若A⊆B，求a的取值范围； (2)若AB，求a的取值范围． 解：(1)如图，a≤3. (2)如图，a＜3. [基础过关] 1．下列结论正确的是(　　) A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C．{∅}＝∅ D．{0}＝∅ 解析：A　[A正确，B，C，D不正确．] 2．给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0∉N， ④∉N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z. 其中正确命题的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：A　[R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以∈R，∉Q,0∈N，＝2∈N，π∉Q，|－2|＝2∈Z，因此，①正确，②③④⑤⑥不正确．] 3．集合M＝{0,1,2}的子集为(　　) A．{0}，{1}，{2} B．{0}，{1}，{2}，{1,2} C．{0}，{1}，{2}，∅ D．{0}，{1}，{2}，{1,2}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}，∅ 解析：D　[集合M＝{0,1,2}的子集有∅，{0}，{1}，{2}，{1,2}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．] 4．集合A＝{1，a}，B＝{0，b}，若A＝B，则a＋b＝(　　) A．－1　　B．0　　　C．1　　　D．2 解析：C　[因为集合A＝{1，a}，B＝{0，b}，又A＝B，所以a＝0，b＝1，则a＋b＝1.] 5．已知集合M＝{x|x是平行四边形}，N＝{x|x是矩形}，P＝{x|x是正方形}，Q＝{x|x是菱形}，则(　　) A．M⊆N B．P⊆N C．Q⊆P D．Q⊆N 解析：B　[平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系如图所示，由图可知，ACD错误，B正确．] 6．已知集合A＝{2,3,6}，则集合A的真子集的个数是______． 解析：因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有23－1＝7个． 答案：7 7．已知集合M＝{3,2a}，N＝{a＋1,3}，若M⊆N，则a＝___________. 解析：∵M⊆N，∴2a＝a＋1，即a＝1. 答案：1 8．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__________________. 解析：由{2,9}＝{1－a,9}， 所以1－a＝2⇒a＝－1. 答案：－1 9．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________． 解析：因为∅{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，所以a≤. 答案：a≤ 10．已知集合P＝{0，x，y}，Q＝{2x,0，y2}，且P＝Q，求x，y的值． 解：依题意P＝Q，若，此时x＝0,2x＝0，不满足集合元素的互异性，不符合题意．若，解得x＝y＝0或x＝，y＝. 当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，不符合题意．当x＝，y＝时，P＝Q＝，符合题意．故x＝，y＝. [能力提升] 11．与集合A＝表示同一集合的是(　　) A．{x＝1，y＝0} B．{1,0} C．{(x，y)|1,0} D．{(1,0)} 解析：D　[由，解得，所以A＝＝{(1,0)}．] 12．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}． (1)若A＝B，y的值为________； (2)若A⊆C，a的取值范围为____________． 解析：(1)若a＝2，则A＝{1,2}，所以y＝1. 若a－1＝2，则a＝3，A＝{2,3}，所以y＝3， 综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2<x<5}， 所以所以3<a<5. 答案：(1)1或3　(2)(3,5) 13．已知A＝{a，b，c}，则求： (1)集合A的子集的个数，并判断∅与集合A的关系； (2)请写出集合A的所有非空真子集． 解：(1)A＝{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共8个，其中∅A. (2)集合A的所有非空真子集有{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． 14．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数． 解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．下列结论正确的是(　　) A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C．{∅}＝∅ D．{0}＝∅ 解析：A　[A正确，B，C，D不正确．] 2．给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0∉N， ④∉N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z. 其中正确命题的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：A　[R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以∈R，∉Q,0∈N，＝2∈N，π∉Q，|－2|＝2∈Z，因此，①正确，②③④⑤⑥不正确．] 3．集合M＝{0,1,2}的子集为(　　) A．{0}，{1}，{2} B．{0}，{1}，{2}，{1,2} C．{0}，{1}，{2}，∅ D．{0}，{1}，{2}，{1,2}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}，∅ 解析：D　[集合M＝{0,1,2}的子集有∅，{0}，{1}，{2}，{1,2}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．] 4．集合A＝{1，a}，B＝{0，b}，若A＝B，则a＋b＝(　　) A．－1　　B．0　　　C．1　　　D．2 解析：C　[因为集合A＝{1，a}，B＝{0，b}，又A＝B，所以a＝0，b＝1，则a＋b＝1.] 5．已知集合M＝{x|x是平行四边形}，N＝{x|x是矩形}，P＝{x|x是正方形}，Q＝{x|x是菱形}，则(　　) A．M⊆N B．P⊆N C．Q⊆P D．Q⊆N 解析：B　[平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系如图所示，由图可知，ACD错误，B正确．] 6．已知集合A＝{2,3,6}，则集合A的真子集的个数是______． 解析：因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有23－1＝7个． 答案：7 7．已知集合M＝{3,2a}，N＝{a＋1,3}，若M⊆N，则a＝___________. 解析：∵M⊆N，∴2a＝a＋1，即a＝1. 答案：1 8．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__________________. 解析：由{2,9}＝{1－a,9}， 所以1－a＝2⇒a＝－1. 答案：－1 9．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________． 解析：因为∅{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，所以a≤. 答案：a≤ 10．已知集合P＝{0，x，y}，Q＝{2x,0，y2}，且P＝Q，求x，y的值． 解：依题意P＝Q，若，此时x＝0,2x＝0，不满足集合元素的互异性，不符合题意．若，解得x＝y＝0或x＝，y＝. 当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，不符合题意．当x＝，y＝时，P＝Q＝，符合题意．故x＝，y＝. [能力提升] 11．与集合A＝表示同一集合的是(　　) A．{x＝1，y＝0} B．{1,0} C．{(x，y)|1,0} D．{(1,0)} 解析：D　[由，解得，所以A＝＝{(1,0)}．] 12．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}． (1)若A＝B，y的值为________； (2)若A⊆C，a的取值范围为____________． 解析：(1)若a＝2，则A＝{1,2}，所以y＝1. 若a－1＝2，则a＝3，A＝{2,3}，所以y＝3， 综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2<x<5}， 所以所以3<a<5. 答案：(1)1或3　(2)(3,5) 13．已知A＝{a，b，c}，则求： (1)集合A的子集的个数，并判断∅与集合A的关系； (2)请写出集合A的所有非空真子集． 解：(1)A＝{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共8个，其中∅A. (2)集合A的所有非空真子集有{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． 14．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数． 解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8. 学科网（北京）股份有限公司 $$1.2　集合之间的关系 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第1章 集合 数学基础模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第1章 集合 ★[学习目标] 1．理解子集的概念及子集相关的一些结论； 2．理解真子集的概念，理解子集与真子集的区别与联系； 3．理解集合相等的定义，能运用相关知识解决集合相等简单问题； 4．能正确地运用符号表示集合与集合的关系． 草原上，蓝蓝的天上白云飘．白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B. [问题]　(1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 提示：(1)集合A中的元素都是集合B中的元素． (2)A是B的子集． [知识点一]　子集 1．子集定义：一般地，如果集合A的每一个 元素 都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作 A⊆B(或B⊇A) ，读作“A 包含于 B”(或“B 包含 A”)． 2．Venn图：在数学中，我们经常用平面内 封闭曲线 的内部表示集合，这种图称为Venn图．如图表示集合A与集合B之间的关系是A⊆B. 3．子集的性质：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；空集是任何集合的子集． 1.符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． [知识点二]　集合相等 一般地，如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B .也就是说，当集合A的每一个元素是集合B的元素，同时集合B的每一个元素也是集合A的元素，即A⊆B，且B⊆A，A＝B时．用Venn图表示如图 [知识点三]　真子集 1．定义：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且集合B中 至少 有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的 真子集 ，记作 AB或BA ，读作“A真包含于B”或”B真包含A”． 2．空集是 任何非空集合 的真子集． 2.任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系． 1．若集合A＝{－2,0,2}，B＝{0}，则(　　) A．A∈B　　　　　 B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 解析：D　[因集合B中只有一个元素0，并且0∈A，于是得集合B是集合A的子集，从而得B⊆A.] 2．集合{1,2}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：A　[集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．] 3．已知集合A＝{－1，m}，B＝{2，n}，且A＝B， 则m＝______，n＝______. 解析：因为A＝B，所以集合元素完全相同，所以m＝2，n＝－1. 答案：2　－1 4．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是________． 解析：∵{x|x2－1＝0}＝{－1,1}， ∴1∈{x|x2－1＝0}， 又∵－1∈{x|x2－1＝0}，且－1∉{1}， ∴{1}{x|x2－1＝0}． 答案：{1}{x|x2－1＝0} 　求集合的子集、真子集 　(1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． (2)写出集合{a，b，c}的所有子集？写出集合{a，b，c，d}的所有子集？ [解]　 (1)集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}． (2)集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 集合{a，b，c，d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}． 1．写出一个集合的所有子集的常用方法 (1)首先要注意两个特殊子集：∅和它自身； (2)其次要依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集、含有3个元素的子集……写出所有子集，在本例中，写出含有2个元素的子集时，首先从1起，1与每个元素搭配，然后不看1，再看2可与哪些元素搭配． 2．求一个集合子集个数的规律 含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． [变式训练] 1．已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(4,x)＞1，x∈N))，则M的非空子集的个数是(　　) A．15　　　B．16　　　　C．7　　　　D．8 解析：C　[M＝{1,2,3}，所以M的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共7个．] 2．写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集． 解：由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集． 　集合间关系的判断 　(1)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．] (2)指出下列各对集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； ③A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ④M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1， n∈N＋}． [解]　 ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. ③等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ④两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． (3)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． [变式训练] 3．已知集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，则下列关系正确的是(　　) A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B∈A 解析：C　[因为集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，所以根据子集的定义可知B⊆A.] 4．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：B　[解x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N⊆M，其对应的Venn图如选项B所示．] 　集合相等 　已知集合{1，a，b}与{a，a2，ab}相等，求实数a，b的值． [解]　 因为集合{1，a，b}与{a，a2，ab}相等，所以有两种情况：①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝1,ab＝b))，⇒a＝1或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))，当a＝1时，不符合集合元素的互异性，故舍去；当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))时，符合集合元素的互异性． ②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝b,ab＝1))，⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以a＝－1，b＝0. (1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，若A＝B，则A⊆B，且B⊆A，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需要证A⊆B与B⊆A均成立即可． (2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关． (3)要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断． [变式训练] 5．若整数x、y能使{2x，x＋y}＝{7,4}成立，则xy＝______. 解析：∵{2x，x＋y}＝{7,4}，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＝7,x＋y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＝4,x＋y＝7))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,2),y＝\f(1,2)))(舍去)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝5))，∴xy＝10. 答案：10 6．已知集合A＝{1，－m}，B＝{1，m2}，且A＝B，则m的值为______． 解析：∵A＝{1，－m}，B＝{1，m2}，且A＝B，∴m2＝－m，解得m＝－1或者m＝0.m＝－1不满足集合中元素的互异性，舍去．∴m＝0符合题意． 答案：0 　由集合间的关系求参数问题 　(1)已知集合A＝{x|x＝x2}，B＝{1，m,2}，若A⊆B，则实数m的值为(　　) A．2 B．0 C．0或2 D．1 [解析]　B　[由题意，集合A＝{x|x＝x2}＝{0,1}，因为A⊆B，所以m＝0.] (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． [解]　 因为B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，)) 解得－1≤m<2，综上可知实数m的取值范围为m≥－1. 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解．此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 提醒：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论． [变式训练] 7．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2))) 解析：D　[因为集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，B⊆A，若B为空集，则方程ax＝1无解，解得a＝0； 若B不为空集，则a≠0；由ax＝1解得x＝eq \f(1,a)，所以eq \f(1,a)＝－1或eq \f(1,a)＝2，解得a＝－1或a＝eq \f(1,2)， 综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2))).] 1．若集合M＝{x|x≤6}，a＝eq \r(5)，则下面结论中正确的是(　　) A．{a}⊂M　　　　 B．a⊂M C．{a}∈M D．a∉M 解析：A　[因为集合M＝{x|x≤6}，a＝eq \r(5)，所以{a}⊂M.] 2．集合M＝{x|－2＜x≤3且x∈N}的真子集个数为(　　) A．7　　B．8　　　C．15　　　D．16 解析：C　[∵M＝{0,1,2,3}，∴M的真子集个数为24－1＝15个．] 3．下列集合与集合A＝{1,3}相等的是(　　) A．(1,3) B．{(1,3)} C．{x|x2－4x＋3＝0} D．{(x，y)|x＝1，y＝3} 解析：C　[A项不是集合，B项与D项中的集合是由点坐标组成，C项：x2－4x＋3＝0，即(x－3)(x－1)＝0，解得x＝3或x＝1，集合{x|x2－4x＋3＝0}即集合{1,3}，因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，所以与集合A＝{1,3}相等的是集合{x|x2－4x＋3＝0}．] 4．设A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x－3＝0}，且B⊆A，则m＝________. 解析：因为B＝{3}⊆A，所以3∈A，即9－15＋m＝0， 所以m＝6. 答案：6 5．A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞a}． (1)若A⊆B，求a的取值范围； (2)若AB，求a的取值范围． 解：(1)如图，a≤3. (2)如图，a＜3. $$