专题04 函数（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 函数（原卷版） 考点1 平面直角坐标系 一、单选题 1．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．    ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 考点2 一次函数的图象 1．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 2．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 3．（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 ． 4．（2022·天津·中考真题）若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 （写出一个即可）． 5．（2021·天津·中考真题）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 考点3 一次函数的实际应用 一、解答题 1．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 2．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 1.6 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为___________； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________； ③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 3．（2021·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表 离开学校的时间/ 离学校的距离/ （Ⅱ）填空： ①书店到陈列馆的距离为________； ②李华在陈列馆参观学习的时间为_______h； ③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______； ④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为_______h． （Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 考点4 实际问题与二次函数 一、单选题 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、解答题 2．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 3．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 考点5 二次函数的综合 1．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 2．（2023·天津·中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 3．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 考点6 比较反比例函数或自变量的大小 1．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·天津·模拟预测）已知抛物线经过点．有以下结论： ①； ②该抛物线一定经过； ③点在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津滨海新·二模）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025·天津河西·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·天津南开·二模）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·天津红桥·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·天津西青·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·天津河北·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·天津河西·一模）我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为（   ） A．当动力臂为时，动力为 B．当动力臂为时，动力为 C．动力随着动力臂的加长而增大 D．动力和动力臂之间是反比例关系 15．（2025·天津滨海新·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·天津和平·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 18．（2025·天津南开·一模）若点都在反比例函数的图象上，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·天津河西·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·天津滨海新·一模）下面四个关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·天津滨海新·模拟预测）若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 23．（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ． 24．（2025·天津·模拟预测）将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 25．（2025·天津·模拟预测）一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为 ． 26．（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 27．（2025·天津河西·二模）写出一个过点的直线解析式 ． 28．（2025·天津和平·三模）把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为 ． 29．（2025·天津·二模）将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为 ． 30．（2025·天津河北·二模）已知直线向下平移个单位后经过点，则值为 ． 31．（2025·天津滨海新·二模）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 32．（2025·天津西青·二模）函数的图象向上平移3个单位后经过点，则a的值是 ． 33．（2025·天津河西·一模）将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式 ． 34．（2025·天津红桥·二模）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为 ． 35．（2025·天津西青·一模）函数（是常数）的图象不经过第二象限，则的值可以是 ．（写出一个即可） 36．（2025·天津·一模）若一次函数（是常数，）的图象经过第二、一、四象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 37．（2025·天津河东·一模）如果一次函数的图象一定经过第二、三象限，那么常数的值可以是 （写出一个即可）．     38．（2025·天津河北·一模）已知直线向上平移2个单位后经过点，则m值为 ． 39．（2025·天津南开·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为 ． 40．（2025·天津北辰·一模）若一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行，且过点，则一次函数的解析式为 ． 41．（2025·天津·模拟预测）若一次函数（是常数，）的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是 ． 42．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是 （写出一个即可）． 三、解答题 43．（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 44．（2025·天津·模拟预测）甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，甲车离开城的距离与甲车离开城的时间的对应关系如图所示． (1)填空： ①A，B两城相距___________； ②当甲车出发时，距离城___________； ③当时，甲车的速度为___________； ④当时，甲车的速度为___________； ⑤请直接写出关于的函数解析式； (2)若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，求两车相遇时，甲车离开城的时间（直接写出结果即可）． 45．（2025·天津河西·二模）已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．下图描述了这一过程中，小桐离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小桐离开家的时间/ 1 小桐离家的路程/ ②填空：小桐在博物馆停留的时间为 ； ③当时，请直接写出小桐离家的路程关于时间的函数解析式； (2)小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．如果两人途中相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）． 46．（2025·天津南开·二模）已知学生宿舍、文具店、图书馆依次在同一条直线上，文具店距离宿舍，图书馆距离宿舍．张强从宿舍出发，匀速骑行到图书馆，在图书馆中查阅资料停留了一段时间；接着他匀速骑行到达了文具店，在文具店停留了购买文具；最后，他又匀速骑行回到宿舍．下图中（单位：）．表示张强离开宿舍的时间，（单位：）表示张强离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与张强离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 1 0 (2)填空：①文具店到图书馆的距离为 ； ②张强在图书馆查阅资料停留的时间为 ； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． (3)当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍，那么，张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为 ． 47．（2025·天津河东·二模）已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家，书店离家．李华从家出发途中，匀速骑行后提速，继续匀速骑行到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行后到达公园；在公园停留后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离家的距离/km 1.2 ________ ________ 20 ________ (2)填空： ①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为________； ②李华在书店学习的时间为________h； ③书店到公园的距离为________ ； ④当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (3)当李华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了直接到达了公园，锻炼了后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 48．（2025·天津西青·二模）某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同）．现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往相距千米的地游览，其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地：乙旅游团则在甲旅游团出发小时后乘坐大巴车前往地，且比甲旅游团提前二十分钟到达地． 下面图中（单位：）表示旅游团乘车的时间，（单位：）表示旅游团离开地的距离，图象反映了这个过程中甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间之间的对应关系． (1)填表： 甲旅游团所用时间 甲旅游团离开地的距离 填空：图中的值为_______大巴车的速度为_______； (2)当时，请直接写出甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式； (3)甲旅游团出发几小时被乙旅游团追上？此时甲旅游团距地多少千米？（直接写出结果即可） 49．（2025·天津滨海新·一模）已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 86 (2)填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________； (3)当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式． 50．（2025·天津滨海新·一模）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，小张从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小张离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表: 小张离开宿舍的时间 1 10 20 60 小张离宿舍的距离 ②填空：小张从体育场到文具店的速度为　　　； ③当时，请直接写出小张离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小张离开体育场时，同宿舍的小李也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果小李的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到小张时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 51．（2025·天津红桥·一模）已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍，餐厅离宿舍，篮球场离宿舍．小明从教室出发，先匀速步行到达篮球场，在篮球场锻炼了，之后匀速步行到达餐厅，在餐厅停留后，匀速骑行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 20 75 小明离宿舍的距离 2 (2)填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为______； (3)当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (4)当小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 52．（2025·天津和平·一模）甲，乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达地．下面图中表示乙骑行时间，表示骑行的距离，图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前_____到达地，乙的骑行速度为_____，值为_____； (2)直接写出甲骑行过程中，关于的函数解析式； (3)乙到达地，此时甲离地的路程为_____； (4)在甲到达地前，当_____时，甲乙两人相距． (5)乙出发_____时二人相遇，此时距离A地_____． 53．（2025·天津河东·一模）某无人机表演公司进行无人机表演训练，甲无人机从地而起飞匀速上升，8秒时到达距离地面48米的高度，并停止上升开始第一次表演，完成表演规定动作后，按原速继续飞行上升、到达距离地面96米的高度，进行了时长为20秒的第二次表演，表演完成后立即匀速返回地面．如图，图中表示甲无人机飞行的时间，表示甲无人机所在的位置距离地面的高度．图象反映了这个过程中甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） ___ 48 ＿ __ ②填空：甲无人机返回地面的速度为_________米/秒； ③当时，请直接写出甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式； (2)当甲无人机从地面起飞时，乙无人机同时从距离地面27米高的楼顶起飞，与甲无人机同时匀速上升，并与甲无人机同时到达距离地面96米的高度进行联合表演，表演完成后甲乙两架无人机以相同的速度大小同时返回地面，那么两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出结果即可） 54．（2025·天津南开·一模）如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：km） 0 (2)填空： ①超市到公园的距离为_____km； ②李华在公园停留的时间为_____； ③李华从超市返回家的速度为_____； ④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 55．（2025·天津滨海新·三模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)①填表： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 100 ②______米/秒， ______秒； (2)当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 56．（2025·天津南开·二模）已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 57．（2025·天津河东·模拟预测）抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． (1)若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 58．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为______，点D的坐标为______； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，正方形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当正方形与重叠部分为五边形时，与相交于点F，与相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 59．（2025·天津河西·二模）在平面直角坐标系中，为原点，有一张直角三角形纸片和一张等边三角形纸片，其中，，，点在第二象限． (1)填空：如图①，的度数为 ，点的坐标为 ； (2)将等边三角形纸片沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为．设，等边三角形纸片与重叠部分的面积为． ①如图②，与边交于点，与边交于点，当等边三角形与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 60．（2025·天津河西·二模）知二次函数的顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，点为线段上一点，当时，求点的坐标； (3)若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 61．（2025·天津·模拟预测）已知二次函数． (1)直接写出对称轴和顶点坐标； (2)求出抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 62．（2025·天津河东·二模）已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D． (1)若顶点，求点与点的坐标； (2)当点的横坐标为时，若点为线段的中点，过点的直线与线段交于点，且满足，，求的值； (3)点的横坐标为，点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作，垂足为点，当的最大值为时，求的值． 63．（2025·天津河北·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． (1)若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； (2)若，且，求a的值． 64．（2025·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，过点P作轴，垂足为Q，连接，与相交于点D，设点P的横坐标为m，当点D是线段的一个三等分点时，求m的值； (3)点E在y轴负半轴上，且，点F是抛物线上一点，满足，点M，N分别为的边上的动点，总有，求的最小值． 65．（2025·天津滨海新·二模）已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 66．（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数（解析版） 考点1 平面直角坐标系 一、单选题 1．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解． 【详解】解：∵AB⊥x轴， ∴∠ACO=∠BCO=90°， ∵OA=OB，OC=OC， ∴△ACO≌△BCO(HL)， ∴AC=BC=AB=3， ∵OA=5， ∴OC=4， ∴点A的坐标是（4，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、解答题 2．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．    ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，． (2)①；② 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴； 连接，交于一点H，如图所示：    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为，； （2）解：①∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，得． 在中，由，得． ∴．同理，得． ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， ∴的取值范围是． ②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的， ∴当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    此时面积S最大，最大值为； 当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    由（1）可知B、D之间的水平距离为，则有点D到的距离为， 由①可知：， ∴矩形和菱形重叠部分为等边三角形， ∴该等边三角形的边长为， ∴此时面积S最小，最小值为； 综上所述：当时，则． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键． 考点2 一次函数的图象 1．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 2．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的图象，“对于正比例函数（是常数，），当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限”，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．根据正比例函数的图象经过第一、三象限可得，由此即可得． 【详解】解：正比例函数（是常数，）的图象经过第一、三象限， ， ∴的值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 3．（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4．（2022·天津·中考真题）若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴ 故答案为：1答案不唯一，满足即可） 【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 5．（2021·天津·中考真题）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】将直线y=-6x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y=-6x-2． 故答案为y=-6x-2． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移变换．掌握其规律 “左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 考点3 一次函数的实际应用 一、解答题 1．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 2．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 1.6 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为___________； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________； ③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)0.8，1.2，2 (2)①0.8；②0.25；③10或116 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整； （2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整； （3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式． 【详解】（1）由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min, 故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8； 在时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km 故当x=50时，距离不变，都是1.2km； 在时，离学生公寓的距离不变，都是2km， 所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km 故填表为： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 0.8 1.2 1.6 2 （2）①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为： 2÷（120-112）=0.25； ③分两种情形： 当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为： 1÷0.1=10； 当小琪返回与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为： 112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min； 故答案为：①0.8；②0.25；③10或116 （3）当时，设直线解析式为y=kx， 把（12，1.2）代入得，12k=1.2, 解得，k=0.1 ∴； 当时，； 当时，设直线解析式为， 把（82，1.2），（92，2）代入得， 解得， ∴， 由上可得，当时，y关于x的函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2021·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表 离开学校的时间/ 离学校的距离/ （Ⅱ）填空： ①书店到陈列馆的距离为________； ②李华在陈列馆参观学习的时间为_______h； ③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______； ④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为_______h． （Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④或；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，． 【分析】（Ⅰ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式，根据表格中x，代入相应的解析式，得到y； （Ⅱ）①根据图象进行分析即可； ②根据图象进行分析即可； ③根据时的函数解析式可求； ④分和两种情况讨论，将距离为4km代入相应的解析式求出时间x； （Ⅲ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式即可． 【详解】对函数图象进行分析： ①当时，函数关系式为，由图象可知，当x=0.6时，y=12， 则，解得 ∴当时，函数关系式为 ②由图象可知，当时， ③当时，函数关系式为，由图象可知，当x=1时，y=12；当x=1.5时，y=20， 则 ，解得 ∴当时，函数关系式为 ④由图象可知，当时， ⑤当时，函数关系式为，由图象可知，当x=4.5时，y=20；当x=5时，y=6， 则，解得 ∴当时，函数关系式为 ⑥当时，函数关系式为，由图象可知，当x=5时，y=6；当x=5.5时，y=0， 则，解得 ∴当时，函数关系式为 （Ⅰ）∵当时，函数关系式为 ∴当x=0.5时，．故第一空为10． 当时，．故第二空为12． 当时，．故第二空为20． （Ⅱ）①李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离； ②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学习的时间； ③当时，函数关系式为，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28； ④当李华离学校的距离为时，或 由上对图象的分析可知： 当时，函数关系式为 令，解得 当时，函数关系式为 令，解得 ∴当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为或． （Ⅲ）由上对图象的分析可知： 当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查函数的图象与实际问题．解题的关键在于读懂函数的图象，分段进行分析． 考点4 实际问题与二次函数 一、单选题 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、解答题 2．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为； (2)点和点； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ②当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． （2）由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 3．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 考点5 二次函数的综合 1．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为 (2)10 (3)1 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 2．（2023·天津·中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．      【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 考点6 比较反比例函数或自变量的大小 1．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 2．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 3．（2023·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 5．（2021·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案． 【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得： 、、． 则． 故选B． 【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键． 一、单选题 1．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 2．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用；求出当时的函数值即可判断①；求出函数值的最大值及此时的时间，可判断②与③，从而可确定答案． 【详解】解：当时，，故①正确； ， 当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确； 综上，三个全部正确； 故选：D． 3．（2025·天津·模拟预测）已知抛物线经过点．有以下结论： ①； ②该抛物线一定经过； ③点在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．根据题意首先确定该抛物线对称轴是，结合抛物线经过点，易得该函数图像的开口向下，即，可知，故①正确；点关于直线的对称点为， 即该抛物线一定经过，故②正确；分都在对称轴右侧和在对称轴两侧两种情况，易得③错误；首先判断抛物线与抛物线关于轴对称，即可确定，故④正确． 【详解】解：如图，该抛物线对称轴是，抛物线经过点， 开口向下，即， ，故①正确； ∵点关于直线的对称点为， 该抛物线一定经过，故②正确； 若都在对称轴右侧时， ， ， 若在对称轴两侧时， ， ， 综上，时，故③错误； 如图，设抛物线上任一点坐标为，把代入，则有， 点在抛物线上， 与关于轴对称， 抛物线经过点， 抛物线经过点， ， 是抛物线与直线交点的横坐标， ，④正确． 综上所述，结论①②④正确，合计3个． 故选：C． 4．（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 5．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 6．（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 7．（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 8．（2025·天津滨海新·二模）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质等知识，求出函数解析式是关键．求出函数解析式，延长交于点B，则轴于点E，作于点D，证明，则，得到，，求出，即可得到，即可判断①正确；由，，抛物线开口向下，即可判断②正确； 当时，，当时，，，即可判断③正确． 【详解】解：把代入得到， ， 解得，， ∴， 延长交于点B，则轴于点E，作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点和点的横坐标为， 当时，， ∴， ∴ 故①正确； ∵，，抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为， 即小球运动的最大高度为； 故②正确； 当时，， 当时，， ∵ ∴小球运动时的高度低于运动时的高度． 故③正确； 综上可知，正确结论为①②③， 故选：D 9．（2025·天津河西·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ∴在第三象限， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故选：A． 10．（2025·天津南开·二模）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，由可得出反比例函数的图像在第二，四象限，结合反比例函数图像即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图像在第二，四象限， ∵， ∴，， 则， 故选D 11．（2025·天津红桥·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数性质可得反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：，， ∴反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大， ，， ，， ． 故选：A． 12．（2025·天津西青·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质， 根据中，双曲线位于第一，三象限，每一个象限内函数值y随着x的值的增大而减小，再比较可得答案． 【详解】解：∵中， ∴双曲线位于第一，三象限，每一个象限内函数值y随着x的值的增大而减小， 点在第一象限，点在第三象限， ∴． 故选：D． 13．（2025·天津河北·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，比较反比例函数的自变量；把点的纵坐标代入中，求得自变量的值，再比较即可． 【详解】解：由得：； 当时，； 当时，； 当时，； 则； 故选：C． 14．（2025·天津河西·一模）我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为（   ） A．当动力臂为时，动力为 B．当动力臂为时，动力为 C．动力随着动力臂的加长而增大 D．动力和动力臂之间是反比例关系 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出阻力F和阻力臂l之间的关系是解题关键． 直接利用：阻力阻力臂动力动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；根据所求的函数解析式即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：， 则F与l的函数表达式为：； A、当动力臂时，动力，正确，故A不符合题意； B、当动力臂时，动力，正确，故B不符合题意； C、动力随着动力臂的加长而减小，原说法错误，故C符合题意； D、动力和动力臂之间是反比例关系，正确，故D不符合题意； 故选：C． 15．（2025·天津滨海新·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象上分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 点在第四象限，， 点，在第二象限，且， ∴， ∴， 故选：A． 16．（2025·天津和平·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 把，，代入，求出的值，再比较大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ， ， ， 故选：D． 17．（2025·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，比较函数值的大小，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点，，代入，分别求出，即可比较大小． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将点，，代入，得， ∴， 故选：D． 18．（2025·天津南开·一模）若点都在反比例函数的图象上，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点，根据题意分别得到，即可求解和，即可比较大小． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 19．（2025·天津河西·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 20．（2025·天津滨海新·一模）下面四个关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、是正比例函数，故此选项不符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 21．（2025·天津滨海新·模拟预测）若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴； 故选C． 22．（2025·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、是一次函数，故A不不符合题意； B、是二次函数，故B不符合题意； C、不是反比例函数，故C不符合题意； D、是反比例函数，故D符合题意， 故选：D． 二、填空题 23．（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数解析式的建立，正确理解题意是解题的关键． 根据路程等于速度乘以时间即可建立函数解析式． 【详解】解：由题意得函数解析式为， 故答案为：． 24．（2025·天津·模拟预测）将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，根据一次函数图象平移的规律“上加下减”（对于，向上平移个单位时，解析式变为；向下平移个单位时，解析式变为），对直线进行平移． 【详解】解：直线向上平移个单位长度，根据“上加下减”原则，平移后直线的解析式为， 故答案为：． 25．（2025·天津·模拟预测）一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数经过的象限求参数的范围，解题关键根据题意列出不等式组． 先根据一次函数的图象与性质列出不等式组，再解这个不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴，解得：， 故答案为： ． 26．（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴正比例函数是， 由“上加下减”的原则可知，将正比例函数的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：， 故答案为：． 27．（2025·天津河西·二模）写出一个过点的直线解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，只需要写出一个自变量为3时，函数值为2的一次函数即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 28．（2025·天津和平·三模）把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据平移得，再把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点， ∴， ∴把代入， 得， 解得． 故答案为： 29．（2025·天津·二模）将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案． 【详解】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为， 再将点代入， 得， 解得， 故答案为：5． 30．（2025·天津河北·二模）已知直线向下平移个单位后经过点，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向下平移个单位后得到， 将点代入可得， 故答案为：． 31．（2025·天津滨海新·二模）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数图象的平移变换，解答本题的关键在于熟练掌握函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”，根据平移的法则即可得出平移后的函数表达式． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后直线的解析式为， 故答案为：． 32．（2025·天津西青·二模）函数的图象向上平移3个单位后经过点，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象平移，熟练掌握根据一次函数平移规律：左加右减，上加下减，确定出平移后一次函数解析式是解题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，再把点代入得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位后，得到， 把点代入， 得， 故答案为：． 33．（2025·天津河西·一模）将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，根据“左加右减”的法则解答即可． 【详解】解：将直线向右平移m个单位长度，平移后直线的解析式为，即， ∵平移后不过第三象限， ∴， 解得， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 34．（2025·天津红桥·二模）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数的平移和一次函数图象上点坐标特点，正确得出平移后的直线解析式是关键； 先根据一次函数的平移规律：上加下减得出平移后的直线解析式为，再把点代入求解即可． 【详解】解：∵直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴； 故答案为：5． 35．（2025·天津西青·一模）函数（是常数）的图象不经过第二象限，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（小于等于0的数均可） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此可得b的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵函数（是常数）的图象不经过第二象限， ∴， ∴符合题意的b的值可以为， 故答案为：（小于等于0的数均可）． 36．（2025·天津·一模）若一次函数（是常数，）的图象经过第二、一、四象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案为不唯一，只要满足即可） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，直接利用函数经过的象限进而得出即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、一、四象限， ∴， ∴可以取， ∴故答案为：（答案为不唯一，只要满足即可）． 37．（2025·天津河东·一模）如果一次函数的图象一定经过第二、三象限，那么常数的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据一次函数的图象与系数的关系可知，进一步给取值即可． 【详解】解：∵一次函数（为常数）的图象经过第二、三象限，且恒过点， ∴一次函数（为常数）的图象经过第一、二、三象限，     ，即， ∴的值可以为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 38．（2025·天津河北·一模）已知直线向上平移2个单位后经过点，则m值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查图形的平移变换和求函数解析式，根据“上加下减，”的原则求得平移后的直线解析式，然后把点代入即可求解．熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移2个单位后得到的直线为： 把代入，得到：， 解得． 故答案为：0． 39．（2025·天津南开·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，根据平移规则：上加下减，求出平移后的直线的解析式，令，求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：由题意，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 40．（2025·天津北辰·一模）若一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行，且过点，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求直线的解析式以及两条直线平行或相交的问题，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 根据平行得到不变，则解析式为，再代入即可求解． 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行， ∴解析式为， 代入得：， 解得：， ∴解析式为， 故答案为：． 41．（2025·天津·模拟预测）若一次函数（是常数，）的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象（已知函数经过的象限求参数范围），熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：对于一次函数（），当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行求解即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数（），当，时，函数图象经过第二、三、四象限， 在函数中，，要使图象经过第二、三、四象限，则， 即：的取值范围是， 故答案为：． 42．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握当，反比例函数图象经过第一、三象限，当，反比例函数图象经过第二、四象限是解题的关键；写出一个比例系数为正数的反比例函数即可． 【详解】解：一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 43．（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 【答案】(1)180，560； (2)①4；②70；③840；④1800； (3)当时，；当时，； (4)4，12 【分析】考查一次函数的应用及从函数图象获取信息；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点． （1）由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，可得前4天每天修筑（米），再求解并填表即可； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）当时及当时，分别用待定系数法求得函数解析式； （4）根据题意对临界点的值分别进行计算，再进行判断即可． 【详解】（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米， 前4天每天修筑（米）， 当时，， 由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米， 当时，， 填表如下： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560 故答案为：180，560； （2）解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天）， 故答案为：4； ②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天）， 故答案为：70； ③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 故答案为：840； ④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为， 甲工程队一共修筑道路的长度为， 该公路的总长度为， 故答案为：1800； （3）解：设当时，，将代入得，解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为， 设当时，，将，代入得 ， 解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为； （4）解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 的值为4或12． 44．（2025·天津·模拟预测）甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，甲车离开城的距离与甲车离开城的时间的对应关系如图所示． (1)填空： ①A，B两城相距___________； ②当甲车出发时，距离城___________； ③当时，甲车的速度为___________； ④当时，甲车的速度为___________； ⑤请直接写出关于的函数解析式； (2)若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，求两车相遇时，甲车离开城的时间（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①360；②120；③60；④80；⑤ (2)或 【分析】此题考查了一次函数的应用和从函数图象获取信息，数形结合是关键． （1）①根据函数图形信息，即可求出相应结果； ②判断，结合函数图形信息，即可求出相应结果； ③利用速度=路程÷时间求解即可； ④利用速度=路程÷时间求解即可； ⑤分，，三种情况讨论即可； （2）设乙车离开城的距离为，分两种情况求解即可． 【详解】（1）①根据图象可得A，B两城相距为360； ②当甲车出发时，距离城； ③当时，甲车的速度为：； ④当时，甲车的速度为：； ⑤当时，； 当时，； 当时，设关于的函数解析式为， 代入，得： 解得 所以． 故答案为：①360；②120；③60；④80； （2）设乙车离开城的距离为， 乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶， ． 把代入，可得． ． 当时，． 时，，即 解得． ∴两车相遇时，甲车离开城的时间或． 45．（2025·天津河西·二模）已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．下图描述了这一过程中，小桐离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小桐离开家的时间/ 1 小桐离家的路程/ ②填空：小桐在博物馆停留的时间为 ； ③当时，请直接写出小桐离家的路程关于时间的函数解析式； (2)小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．如果两人途中相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①，，；②；③当时，；当时，；当时， (2)米 【分析】（1）①分别求出“”、“”、“”的函数表达式，再根据自变量的值求出相应函数值即可； ②根据函数图象找出小桐在博物馆停留函数图象求解； ③分别求出“”、“”、“” 的函数表达式即可； （2）设小桐用了与小海在途中相遇，小桐行走的速度为，列出一元一次方程求解，再求出相遇时他们距离博物馆的路程． 【详解】（1）解：①当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 取，； 当时，， 所以当时，； 当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，， 故答案为：，，； ②填空：小桐在博物馆停留的时间为（）， 故答案为：； ③当时，由①可知函数表达式为； 当时，函数表达式为； 当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，小桐离家的路程关于时间的函数解析式为： ； （2）设小桐用了分钟与小海在途中相遇，小桐行走的速度为， 则， 解得：， 相遇时他们距离博物馆的路程是（） 答：相遇时他们距离博物馆的路程是． 【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，行程问题(一次函数的实际应用)，求一次函数解析式，一元一次方程的行程问题，解题关键是列出函数表示式． 46．（2025·天津南开·二模）已知学生宿舍、文具店、图书馆依次在同一条直线上，文具店距离宿舍，图书馆距离宿舍．张强从宿舍出发，匀速骑行到图书馆，在图书馆中查阅资料停留了一段时间；接着他匀速骑行到达了文具店，在文具店停留了购买文具；最后，他又匀速骑行回到宿舍．下图中（单位：）．表示张强离开宿舍的时间，（单位：）表示张强离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与张强离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 1 0 (2)填空：①文具店到图书馆的距离为 ； ②张强在图书馆查阅资料停留的时间为 ； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． (3)当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍，那么，张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为 ． 【答案】(1)见详解 (2)①3②③ (3)或或 【分析】本题考查了函数图象，求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，认真分析函数，即可填表； （2）①根据图书馆与宿舍的距离减去文具店与宿舍的距离得出文具店到图书馆的距离为； ②理解题意，得张强在图书馆查阅资料停留的时间为； ③结合函数图象，设时，关于的函数解析式为，代入数值得，当时，；设时，关于的函数解析式为，把分别代入，得，即可作答． （3）先求出李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为，再进行分类讨论，根据两人相距列出一元一次方程，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，结合图象， ∵ ∴此时张强在图书馆，距离宿舍的距离， ∵ ∴此时张强在文具店，距离宿舍的距离， 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 4 1 1 0 （2）解：依题意，① 即文具店到图书馆的距离为， 故答案为：； ②结合图象，得， ∴张强在图书馆查阅资料停留的时间为； ③依题意，设时，关于的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 当时，； 设时，关于的函数解析式为， 把分别代入， 得， 解得 ∴， 故． （3）解：由图象得张强离开宿舍再回到宿舍，一共花了， 设当设时，李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为， ∵当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍， ∴李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数图像经过点，， 代入解析式子得：， 解得：， 即李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为， ①当时，由（2）得：此时， 则， 解得：， ②当时， 由图可知：此， 则， 解得：（舍去）， ③当时， ∵当时，两人相距， ∴当时，两人相距小于， 综上：张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为或或． 故答案为：或或． 47．（2025·天津河东·二模）已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家，书店离家．李华从家出发途中，匀速骑行后提速，继续匀速骑行到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行后到达公园；在公园停留后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离家的距离/km 1.2 ________ ________ 20 ________ (2)填空： ①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为________； ②李华在书店学习的时间为________h； ③书店到公园的距离为________ ； ④当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (3)当李华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了直接到达了公园，锻炼了后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)6，14.4，20； (2)①28；②3；③8；④ (3) 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）直接根据函数图象即可得出答案； （2）①直接根据函数图象即可得出答案； ②根据速度、路程、时间的关系求解即可； ③直接根据函数图象即可得出答案； ④分；；三种情况讨论，利用待定系数法求解即可； （3）先求出爸爸的速度为，进而求出关系式，联立组成方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，， 李华从家到书店提速后的速度为， 当时，则； 当时，李华停留在书店，则； 故答案为：6，14.4，20； （2）解：①李华从家到书店提速后的速度为； 故答案为：28； ②李华在书店学习的时间为， 故答案为：3； ③书店到公园的距离为， 故答案为：8； ④当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 当时，； 当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 综上，； （3）解：当时爸爸到达公园， 当时爸爸离开公园返回， 当时爸爸返回家中， 则爸爸离家距离y与李华离开家的时间x之间的图象如下图所示： 当时，爸爸的速度为：， ， 途中两人相遇时，得 解得， ∴途中两人相遇时离家的距离是． 48．（2025·天津西青·二模）某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同）．现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往相距千米的地游览，其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地：乙旅游团则在甲旅游团出发小时后乘坐大巴车前往地，且比甲旅游团提前二十分钟到达地． 下面图中（单位：）表示旅游团乘车的时间，（单位：）表示旅游团离开地的距离，图象反映了这个过程中甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间之间的对应关系． (1)填表： 甲旅游团所用时间 甲旅游团离开地的距离 填空：图中的值为_______大巴车的速度为_______； (2)当时，请直接写出甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式； (3)甲旅游团出发几小时被乙旅游团追上？此时甲旅游团距地多少千米？（直接写出结果即可） 【答案】(1)，；，； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解决本题的关键在于根据图象中的数据，利用数形结合的思想求出旅游团对台行驶的路程与时间之间的关系． 根据图象中甲旅游团出发的时间与行驶的路程之间的关系求出甲旅游团从出发到行驶的函数关系式，利用关系式求出甲旅游团离开地的距离为时，所用的时间为，甲旅游团出发离地的距离为； 由图象可知甲旅游团的速度为，，根据大巴车出发的时间和到达的速度可知大巴车总共行驶了，所以大巴车的速度为； 设甲旅游团出发后被追上，可列方程，解方程可以求出，根据此时甲旅游团行驶的时间求出甲旅游团距的距离． 【详解】（1）解：设甲旅游团从出发到行驶的函数关系式为， 当时，， ， 解得：， 甲旅游团从出发到行驶的函数关系式为， 当时， 可得：， 解得：， 由图象可知：甲旅游团出发时，离开地的距离为， 故答案为：，； 由图象可知：甲旅游团的速度是， ， 由图象可知甲旅游团从出发到到达目的地共用了， 分钟， 乙旅游团用的时间有， 大巴车的速度是， 故答案为：，； （2）解：由可知：当时，； 由图象可知：当时，； 设当时，图象的解析式为， 当时，，当时，， 可得：， 解得：， 解析式为：； 当时，甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式为； （3）解：设甲旅游团出发后被追上， 根据题意可得：， 解得：， 此时甲旅游团距地． 49．（2025·天津滨海新·一模）已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 86 (2)填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________； (3)当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式． 【答案】(1)100，86 (2)64，2 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，从图像中获得所需信息是解题关键． （1）先求出小张前的速度，然后求出小张时，离B地的距离，最后根据图像得出时，离B地的距离，即可获得答案； （2）根据图像求出A地到汽修厂的距离即可；根据图像求出小张从汽修厂出发到B地的速度即可； （3）根据函数图像，分两种情况：当时，当时，分别求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，小张前的速度为： ， 则时，小张离B地的距离为： ； 由图像可知，当小张离开A地时，距离B地， 填表如下： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 100 86 86 （2）解：根据图像得：A地到汽修厂的距离为； 小张从汽修厂出发到B地的速度为： ； （3）解：根据函数图象可知：当时，小张离B地的距离为， 因此当时，； 当时， 设小张离B地的距离关于时间的函数解析式为， 将点、代入， 可得， 解得， ∴此时． 综上所述，小张离B地的距离关于时间的函数解析式为： ； 50．（2025·天津滨海新·一模）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，小张从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小张离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表: 小张离开宿舍的时间 1 10 20 60 小张离宿舍的距离 ②填空：小张从体育场到文具店的速度为　　　； ③当时，请直接写出小张离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小张离开体育场时，同宿舍的小李也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果小李的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到小张时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 【答案】(1)①填表见解析；②；③ (2)他在回宿舍的途中遇到小张时离宿舍的距离是. 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）①先求解小张从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场的速度，再结合图象填表即可；②直接利用路程除以时间即可得到答案；③当时，y关于x的函数解析式为；当时，设y关于x的函数解析式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入，再进一步求解即可； （2）写出小李离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式并据此作出其图象，求出两图象交点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：①， ， 小张离开宿舍的时间为时，小张离宿舍的距离为； 由图象可知，小张离开宿舍的时间为时，小张离宿舍的距离为；小张离开宿舍的时间为时，小张离宿舍的距离为； 填表如下： 小张离开宿舍的时间 1 10 20 60 小张离宿舍的距离 ②小张从体育场到文具店的速度为； ③当时，y关于x的函数解析式为； 当时，设y关于x的函数解析式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ； 综上，当时，小张离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）解：小李离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为， 当时， 解得， 小李离宿舍的距离y关于时间x的函数图象如图所示： 当二人相遇时，得， 解得； 答：他在回宿舍的途中遇到小张时离宿舍的距离是. 51．（2025·天津红桥·一模）已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍，餐厅离宿舍，篮球场离宿舍．小明从教室出发，先匀速步行到达篮球场，在篮球场锻炼了，之后匀速步行到达餐厅，在餐厅停留后，匀速骑行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 20 75 小明离宿舍的距离 2 (2)填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为______； (3)当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (4)当小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)填表见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； （2）根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； （3）利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式； （4）根据题意，利用待定系数法求出小华和小明返回时离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可． 【详解】（1）解：①小明从教室到篮球场过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：， 由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：． 如图填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 20 75 小明离宿舍的距离 2 2 （2）小明从餐厅到宿舍的骑行速度为． 故答案为：； （3）当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（，，为常数，） 将代入，得， 解得， ∴， 当时，由图像可知，小明离宿舍的距离始终为．， ∴， 当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（、、b均为常数）， 将和代入，得， 解得， ∴ 综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：． （4）解：∵小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍， ∴小华从第时回宿舍， ∵小华比小明晚到达宿舍， ∴小华第时到达宿舍， 设小华离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为，（均为常数） 将和代入，得， 解得， ∴， 设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（均为常数） 将和代入，得， 解得， ∴， ∵小华杰在回宿舍前往自习室的途中遇到了小明， ∴， 解得， 此时离宿舍的距离为：． 52．（2025·天津和平·一模）甲，乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达地．下面图中表示乙骑行时间，表示骑行的距离，图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前_____到达地，乙的骑行速度为_____，值为_____； (2)直接写出甲骑行过程中，关于的函数解析式； (3)乙到达地，此时甲离地的路程为_____； (4)在甲到达地前，当_____时，甲乙两人相距． (5)乙出发_____时二人相遇，此时距离A地_____． 【答案】(1)0.4，15，1； (2)甲骑行过程中，关于的函数解析式为 (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5)；24 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象可以求出乙比甲提前到达地的时间；再求出乙的速度为15千米时，根据开始时，甲、乙两人骑行速度相同，可得； （2）根据函数图象，用待定系数法分段求出函数解析式即可； （3）在中，令得，即可知乙到达地后，甲离地4千米； （4）分甲、乙相遇前、后以及乙到达地后三种情况，根据甲乙两人相距列方程求值即可； （5）先求出乙骑行过程中，关于的函数解析式，再联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图象知，乙比甲提前到达， 乙的速度为（千米时）， 开始时，甲、乙两人骑行速度相同， ， 的值为1， 故答案为：0.4，15，1； （2）解：当时，由题意得：； 当时，设关于的函数解析式为， 把，代入得 ，解得， ， 综上所述，甲骑行过程中，关于的函数解析式为； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 在中，令得， （）， 乙到达地后，甲离地4． 故答案为：4； （4）解：乙的速度为， 乙骑行过程中，关于的函数解析式为， ①甲、乙两人相遇前后相距， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距， 则． 综上所述，当或或时，甲乙两人相距． 故答案为：1.2或2或2.6； （5）解：由（4）乙骑行过程中，关于的函数解析式为， 联立方程组得：，解得：， 乙出发时二人相遇，此时距离A地． 故答案为：；24． 53．（2025·天津河东·一模）某无人机表演公司进行无人机表演训练，甲无人机从地而起飞匀速上升，8秒时到达距离地面48米的高度，并停止上升开始第一次表演，完成表演规定动作后，按原速继续飞行上升、到达距离地面96米的高度，进行了时长为20秒的第二次表演，表演完成后立即匀速返回地面．如图，图中表示甲无人机飞行的时间，表示甲无人机所在的位置距离地面的高度．图象反映了这个过程中甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） ___ 48 ＿ __ ②填空：甲无人机返回地面的速度为_________米/秒； ③当时，请直接写出甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式； (2)当甲无人机从地面起飞时，乙无人机同时从距离地面27米高的楼顶起飞，与甲无人机同时匀速上升，并与甲无人机同时到达距离地面96米的高度进行联合表演，表演完成后甲乙两架无人机以相同的速度大小同时返回地面，那么两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①6，48，96；②6；③ (2)5秒或11秒或19秒 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）无人机上升的速度为（米/秒），再结函数图象分析即可； （2）根据函数图象可得当时分成三部分，根据无人机上升的速度为（米/秒）求解析式即可； （3）先求出乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为，再根据两架无人机距离地面的高度差为12米，列方程求解． 【详解】（1）解：①无人机上升的速度为（米/秒）， 根据图象可得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： 无人机飞行的时间（单位：秒） 1 8 13 30 无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米） 6 48 48 96 ②甲无人机返回地面的速度为 ③当时，， 当时，， 当时，； ∴当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度关于甲无人机飞行时间的函数解析式为； （2）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为； 由题意可得，过和两点， ∴，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度关于乙无人机飞行时间的函数解析式为； ∵两架无人机距离地面的高度差为12米， 当时，，，解得（舍去）或； 当时，，，解得（舍去）或； 当时，，，解得（舍去）或； ∴两架无人机距离地面的高度差为12米，两架无人机表演训练到5秒或11秒或19秒． 54．（2025·天津南开·一模）如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：km） 0 (2)填空： ①超市到公园的距离为_____km； ②李华在公园停留的时间为_____； ③李华从超市返回家的速度为_____； ④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)见解析 (2)①；②12；③； (3)两人相遇时离家的距离或． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）结合函数图象即可得出结果； （2）①根据图象作答即可； ②根据图象作答即可； ③根据图象作答即可； ④分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可； （2）李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式，然后分两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵公园距离李华家，匀速步行了到公园， ∴离开家时，离家的距离为：， 由函数图象得：离开家时，离家的距离为， 填表如下： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：） 0 （2）解：①根据图象得：超市到公园的距离为：， 故答案为： ②根据图象得：， 故答案为：12． ③根据图象得：， 故答案为：； ④当时，李华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：． （3）解：设李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式为， 则，解得：， ∴ 当李华从公园到超市的途中相遇时， ， 解得：， ∴； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 当李华从超市返回的途中相遇时， ， 解得：， ∴； 综上可得：两人相遇时离家的距离或． 55．（2025·天津滨海新·三模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)①填表： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 100 ②______米/秒， ______秒； (2)当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)①填表见解析②4，15； (2) (3)6秒或秒 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）①求出气球乙的速度，结合图象，填表即可；②根据图象计算即可求解； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解． 【详解】（1）解：①由图象可知气球乙的速度为：（米/秒）， ∴当时，（米）； 结合函数图象填表如下： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100 ②由题意得气球甲的速度为（米/秒）， （秒． 故答案为：4，15； （2）解：当时，由（1）可知，气球乙的速度为米/秒， ∴； 由图象知，， 气球乙的速度为（米秒）， ∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒）， ∵（秒）， ∴， ∴当时，； 当时，设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； 综上：； （3）解：如图所示： 由题意，， 设直线所在直线的解析式为， ∴，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入，得 ，解得， 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）； 当时，由题意得， 解得（舍去）或， 当时，由题意得， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米． 56．（2025·天津南开·二模）已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）结合点在抛物线上，且，得，再根据抛物线的顶点为，把把代入，得，然后得点的坐标为，结合轴对称的性质得，即可作答． （2）因为点在抛物线上，故，与（1）同理得，点的坐标为，点；根据得，即，化简计算，得，故，，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）与（2）同理得，点的坐标为，，，结合抛物线上点的横坐标，得，因为，故，化简得，再表示，然后得的表达式，代入进行计算得，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点为，且抛物线的对称轴为直线， ∴把代入， 得， 即； ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∵， ∴， ∵，，为坐标原点，， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 即， ∴， 则． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∴， ∵抛物线上点的横坐标，且抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即， ∵，， ∴， ， ， 连接， ∵， ∴在中，， 即， 整理得， 则， ∴， ∴， 整理得， 解得． ∵， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数的图象性质，平行的性质，勾股定理，轴对称．性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 57．（2025·天津河东·模拟预测）抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． (1)若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①， ② (2) 【分析】（1）①利用已知点坐标带入抛物线方程求参数，再通过顶点公式直接计算顶点坐标． ②通过设定点坐标，结合几何图形条件（平行、垂直、角度），绘出相关图像，然后建立方程，利用坐标关系求解． （2）通过几何图形分析确定一次函数关系式，通过图像将三角形面积表示为变量的函数，利用二次函数的性质解决最值问题． 【详解】（1）①解：将带入中，得到， 将点带入解析式，得到方程，解得， 所以抛物线解析式为， 根据公式求得二次函数顶点坐标． ②根据题意画出图像： 由图可知：轴，轴， ， ， ， ， 点为第二象限的抛物线上一点， 设坐标为， 令，解得， 设所在直线的函数表达式为 将，带入表达式得 ，解得 所在直线的函数表达式为 设 解得：， （2） 已知经过点，代入得： 设，即的另一个解为 则 即 该二次函数的对称轴为 顶点的坐标为 则直线的斜率为 又 直线的函数表达式为 因此垂直于的直线斜率为1， 设， 直线的函数表达式为 联立，解得 这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点： 最大面积为： 当时： 解得： 当时，的最大值位置为 【点睛】本题综合考察了二次函数的图像和性质，用图像明确几何图形中的角度与坐标的关系，通过二次函数模型解决三角形面积最值问题． 58．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为______，点D的坐标为______； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，正方形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当正方形与重叠部分为五边形时，与相交于点F，与相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①② 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，熟练数形结合，列出二次函数是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质，即可解答； （2）①当时，正方形与重叠部分为五边形，利用面积的加减即可解答； ②分类讨论，即重叠部分为三角形，五边形时，求得重叠部分的面积的最大值和最小值，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 顶点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 正方形的顶点， ， ， 故答案为：；； （2）解：如图②，当时，正方形与重叠部分为五边形， 此时， ， 为等腰直角三角形， ， 则， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； ②当时，如图，，此时当时，取最小值为，当时，取最大值为，则； 当时，，当时，取最大值为，则； 当时，如图，，当时，取最大值为2，当时，取最小值为，此时； 综上，S的取值范围为． 59．（2025·天津河西·二模）在平面直角坐标系中，为原点，有一张直角三角形纸片和一张等边三角形纸片，其中，，，点在第二象限． (1)填空：如图①，的度数为 ，点的坐标为 ； (2)将等边三角形纸片沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为．设，等边三角形纸片与重叠部分的面积为． ①如图②，与边交于点，与边交于点，当等边三角形与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①，的取值范围是；② 【分析】本题考查二次函数与图形运动的实际应用，解直角三角形，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据点的坐标求出的长，利用三角函数求出的度数，过点作，根据等边三角形的性质，求出点坐标即可； （2）①当点与点重合开始，到与点重合时，等边三角形与重叠部分为四边形，利用分割法表示出重叠部分的面积即可； ②分别求出，，，时，的范围即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵直角三角形纸片， ∴， ∴， 过点作轴， ∵等边三角形纸片， ∴，， ∴， ∴； （2）①∵等边三角形纸片，平移， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∴， 由题意可知：当点与点重合开始（不包括点），到与点重合时，等边三角形与重叠部分为四边形， ∴； 综上：，的取值范围是； ②当时，如图， 同①可知：为直角三角形，， ∴， ∵， ∴，即：； 当时，如图，由①知： ， 那么其对称轴为，开口向下， ∴当时，有最小值，； 当时，有最大值，， ∴； 当时，如图： 同①可知：，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴ ， 那么其对称轴为，开口向下， ∴当时，最大为， 当时，最小为：， ∴； 当时，如图： ， ∴， ∴ ， 那么其开口向上，对称轴为， ∴当时，有最大值，此时， 当时，有最小值，此时， ∴； 综上：． 60．（2025·天津河西·二模）知二次函数的顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，点为线段上一点，当时，求点的坐标； (3)若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 【答案】(1)顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)顶点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与圆综合. （1）先求出，，对称轴为，求出抛物线的解析式，即可求出顶点的坐标； （2）得到点的坐标为，的解析式为，可得，得到点的坐标为，根据勾股定理得到，即可求出点的坐标； （3）设点，则点，求出中点的坐标为，连接，利用垂径定理证明，可得点在以为直径的圆上，求出该圆的圆心的坐标为，根据勾股定理得到，连接交于点，可得的最小值，即的最小值，即，求出，设抛物线解析式为，求出，即可得到顶点的坐标. 【详解】（1），， ． 该抛物线的对称轴为． ， 该抛物线的解析式为， 顶点的坐标为． （2），，且抛物线与轴的负半轴交于点，故． 点的坐标为，得的解析式为． ∴点关于对称轴的对称点． 点在上，且点的横坐标为， 点的坐标为． ，解得，． ，舍去． 点的坐标为． （3）， 该抛物线的对称轴为． ， 设点，则点， 点、关于对称轴对称， 中点的坐标为． 连接， 是弦的中点，于． 点在以为直径的圆上，则该圆的圆心的坐标为， ，且半径， 连接交于点，即可得的最小值． ． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为，将点代入， 得，． ． 顶点的坐标为． 61．（2025·天津·模拟预测）已知二次函数． (1)直接写出对称轴和顶点坐标； (2)求出抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)直线，顶点坐标为： (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、与x轴交点及函数值范围，解题关键是运用二次函数的性质，结合方程求解与分析函数在区间内的最值． （1）根据二次函数对称轴公式和顶点纵坐标公式，将，，代入计算，得出对称轴和顶点坐标． （2）令，得到一元二次方程，化简后因式分解求解，得到方程的根，即抛物线与轴交点的横坐标，从而确定交点坐标． （3）先由二次函数的值判断开口方向，结合对称轴确定最小值；再计算区间端点和（不在区间内）的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：在二次函数中，，，， 将，代入对称轴公式，得 ， 将，，代入得 ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：令，则 ， 或， 解得， ， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． （3）解：由（1）知二次函数的对称轴为，，抛物线开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值， 分别计算区间端点和处的函数值： 当时，， 当时，， ∵不在这个区间内， ∴当时，的取值范围为． 62．（2025·天津河东·二模）已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D． (1)若顶点，求点与点的坐标； (2)当点的横坐标为时，若点为线段的中点，过点的直线与线段交于点，且满足，，求的值； (3)点的横坐标为，点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作，垂足为点，当的最大值为时，求的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)， 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点坐标公式列出关于、的方程组，求解得到抛物线解析式．再令，通过解一元二次方程求出与轴交点、的坐标． （2）先根据点横坐标和抛物线与轴交点的坐标，结合抛物线对称轴公式得到点坐标，进而求出中点的坐标．由直线解析式和平行关系得到直线解析式，求出点坐标．利用得到与面积相等，根据面积公式列出关于的方程求解． （3）根据点横坐标得到抛物线解析式和对称轴，由得出．作辅助线轴，用含和点横坐标的式子表示出和，进而得到关于的表达式，根据二次函数性质，由最大值列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵顶点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为，令， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵抛物线 ∴点的坐标为， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点的坐标为， 由直线的解析式为，可得直线的解析式为， 进而得点的坐标为， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵点的横坐标为， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴对称轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 过点作轴交直线于点，设点的坐标为， 则点的坐标为， 则，， ， ∴当时，由的最大值为，解得，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括顶点坐标公式、对称轴公式，以及二次函数与一元二次方程的关系（求与轴交点）．还涉及到一次函数解析式的求解（根据平行关系等）、三角形面积公式的应用，以及利用二次函数性质求最值．解题的关键在于熟练运用这些公式和性质，通过建立方程求解未知参数的值；在几何问题中，要善于利用图形的性质（如等腰直角三角形的角度关系）进行线段和面积的转化与计算． 63．（2025·天津河北·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． (1)若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； (2)若，且，求a的值． 【答案】(1)①该抛物线顶点D的坐标为；②； (2)． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点的坐标；②求出点坐标，根据，得到，解直角三角形，求出的值，进而得到点的坐标即可； （2）根据，得到抛物线的解析式为，分别求出的坐标，同法（1）②求出的坐标，过D点向x轴引垂线，垂足记为点H，解直角三角形，求出，进行求解即可． 【详解】（1）解：①抛物线经过点， ，即， ∵抛物线过点，且， 得解得， ∴， ， 该抛物线顶点D的坐标为； ②把代入抛物线，解得，即， ∵， ∴， ∵点M在y轴负半轴上，． ∴在中，， ∵在中，， ∴ ∴， ∴； （2）由，得：，代入，得：， ∴， ， ． 由点M在y轴负半轴上，． 在中，， 在中，， ∴， ∵抛物线与y轴负半轴相交于点C， ，即， ∴， 过D点向x轴引垂线，垂足记为点H， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即． 64．（2025·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，过点P作轴，垂足为Q，连接，与相交于点D，设点P的横坐标为m，当点D是线段的一个三等分点时，求m的值； (3)点E在y轴负半轴上，且，点F是抛物线上一点，满足，点M，N分别为的边上的动点，总有，求的最小值． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，全等三角形的判定和性质，最短路径，正确作出图形，作出辅助线是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）画出图形，求得直线的解析式，表示出，分类讨论列方程，即可解答； （3）画出图形，过点E作，并截取，点H在第四象限，连接NH，证明，则可得当点F，N，H共线时，的值最小，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：把点，点坐标代入， 可得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ， 设直线的解析式为， 把，点分别代入， 得， 解得； ∴直线的解析式为． 设点，则点． 则． 当时，有， 解得（此时点P与点B重合，不满足点P在第一象限）． 当时，即，有， 解得（此时点P与点B重合，不满足点P在第一象限）． ∴当点D是线段的一个三等分点时，m的值为2或； （3）解：如图，过点E作，并截取，点H在第四象限，连接NH，则， 由，有， ． ， ， ， ∴，即当点F，N，H共线时，的值最小， 如图，连接FH， ， ， 设点，过点F作轴，垂足为G，则， ， ， ，即． 解得（不合题意，舍去）， ， ∴． 在中，． 在中，． 即的最小值是． 65．（2025·天津滨海新·二模）已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【答案】(1)①， ② (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①利用点的坐标确定抛物线解析式，即可求解； ②将的长度转化为点到直线的距离，通过求二次函数的最大值确定的值； （2）通过几何变换将折线最短路径问题转化为直线距离，结合勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 解得：， 将代入抛物线方程：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 顶点横坐标为，此时， ∴， 当时，， 解得：或， ∴， ∴，； ②如图： 过点作直线，由题意知，当直线与抛物线相切时，的值最大， 设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线：， ∴可设直线的解析式为：， 联立，整理得， ∴， 解得：， 代入方程得， 解得：， ∴的横坐标为， 即； （2）如图： 由题意知，抛物线解析式为：， ∵， ∴有，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴，，，， 过点作，且， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 当时， 解得：或， ∵， ∴． 66．（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)；第二、四象限 (2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）解：当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$