集合的概念及集合间的关系 - 知识点训练卷 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》第1卷（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及河北历年对口升学真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是河北省2026年职教高考《数学考纲百套卷》的第1卷，是知识点训练卷，主要考查集合的概念和集合的关系掌握情况。 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第1卷 集合的概念及集合间的关系 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1．下列各组对象能组成一个集合的是( ) ①某中学高一年级所有聪明的学生；②周长为10 cm的三角形；③所有不小于3的正整数；④的所有近似值． A．①②　　　　　　B．③④ C．②③ D．①③ 2．集合｛正方形｝，集合｛矩形｝，集合｛平行四边形｝，集合｛梯形｝，则下列包含关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3.如果，那么（    ） A． B． C． D． 4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( ) A．2 B．3 C．0或3 D．0或2或3 5.已知集合S中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6.集合,等于（    ） A． B． C． D． 7.下列表述错误的是（    ） A． B． C． D． 8.集合A = {x | x ∈ N且x < 0}是（ ） A. 空集 B.无限集 C.单元素集 D .以上都不是 9.下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 10．集合还可以表示为（    ） A． B． C． D． 11.下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 12.用列举法可将集合表示为（    ） A． B． C． D． 13．方程组的解集是（    ） A． B．{1} C． D． 14. 给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15.描述法表示偶数集合可以写为（ ） A. {x | x = 2k, k ∈ Z} B. {x | x = k², k ∈ N} C. {x | x = 2k + 1, k ∈ Z} D. {x | x ∈ R} 16.集合A的子集个数是2^4，则集合A的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 17.集合A = {1, 2, 3}，集合B是A的真子集，则集合B不可能是（ ） A. {1, 2} B. {1} C. 空集 D. {1, 2, 3, 4} 18.下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 19.集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 20.有下列四个命题：①；②③若，则；④集合有两个元素；⑤集合是有限集.；其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 21.若集合，，且，则 ． 22.已知集合，则实数m的值是 . 23.已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为 ． 24.集合用描述法可表示为 . 25.“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是 . 三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，27、28题12分，共40分） 26.设集合 A={a,b,c},试写出A的所有子集,并指出A的非空真子集. 27. 设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，求b-a的值. 28. 设A={x|-1 <x<3},B={x|x<a},若A⊆B,求实数a的取值范围. 29.已知集合A={x|2≤x≤5}，B={x|2a＜x＜a+3}. （1）若B为空集，求a的取值范围； （2）若B⫋A,求a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及河北历年对口升学真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是河北省2026年职教高考《数学考纲百套卷》的第1卷，是知识点训练卷，主要考查集合的概念和集合的关系掌握情况。 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第1卷 集合的概念及集合间的关系 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1．下列各组对象能组成一个集合的是( ) ①某中学高一年级所有聪明的学生；②周长为10 cm的三角形；③所有不小于3的正整数；④的所有近似值． A．①②　　　　　　　B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】①④不符合集合中元素的确定性． 故选C． 2．集合｛正方形｝，集合｛矩形｝，集合｛平行四边形｝，集合｛梯形｝，则下列包含关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的包含关系即可判断. 【详解】对A：正方形一定是矩形，A项正确. 对B：矩形一定是平行四边形，B项正确. 对C：梯形不是平行四边形，平行四边形也不是梯形，C项不正确. 对D：正方形一定是平行四边形，D项正确. 故选：C. 3.如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及集合与集合的关系判断即可． 【详解】对于A：是元素，所以故与集合的关系是，故A错误； 对于B：是集合，所以与集合的关系是，故B错误，D正确， 对于C：是集合，所以，故C错误， 4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( ) A．2 B．3 C．0或3 D．0或2或3 【答案】B 【分析】因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3. 故选B. 5.已知集合S中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形. 故选D. 6.集合,等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式即可求得集合中的元素． 【详解】由，可得，又， 所以集合,． 故选：C． 7.下列表述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与集合的关系确定正确答案. 【详解】A选项，空集是任何集合的子集，A选项正确； B选项，任何一个集合都是它本身的子集，B选项正确； C选项，是实数，，C选项正确； D选项，是一个只有一个元素的集合，不是空集，不正确. 故选：D 8.集合A = {x | x ∈ N且x < 0}是（ ） A. 空集 B.无限集 C.单元素集 D .以上都不是 【答案】A 【分析】根据N为自然数集可以确定正确答案. 【详解】自然数x < 0无解，所以A = ∅。 故选：A 9.下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】由解得或， 所以，C正确； 选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集， 故选：C 10．集合还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合中的元素的范围和所需满足的条件确定集合中的元素，再利用列举法表示该集合. 【详解】集合的元素为小于等于3的全部自然数， 故； 故选：A. 11.下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意. 故选：C. 12.用列举法可将集合表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举出集合中的元素，结合集合的列举法，即可求解. 【详解】. 集合表示为. 故选：D. 13．方程组的解集是（    ） A． B．{1} C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程组解集的表达形式排除ABD，再解出该方程组的解集，从而得解. 【详解】因为方程组的解集中元素应是有序数对形式，故排除选项A，B， 而D的集合表示方法有误，故排除选项D． 同时，由解得，故方程组的解集为，故C正确. 故选：C. 14. 给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论. 【详解】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确； 由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确； 由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确； 由于，则或，故④不正确； 综上，正确的说法有0个. 故选：A. 15.描述法表示偶数集合可以写为（ ） A. {x | x = 2k, k ∈ Z} B. {x | x = k², k ∈ N} C. {x | x = 2k + 1, k ∈ Z} D. {x | x ∈ R} 【答案】A 【分析】根据偶数的定义即可得出结论. 【详解】偶数可以表示为x = 2k，k ∈ Z。 故选：A 16.集合A的子集个数是2^4，则集合A的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】根据求子集个数的式子即可得出结论. 【详解】一个集合有n个元素，那么它的子集个数是2^n。所以，2^4 = 16个子集意味着集合A有4个元素。 故选：C 17.集合A = {1, 2, 3}，集合B是A的真子集，则集合B不可能是（ ） A. {1, 2} B. {1} C. 空集 D. {1, 2, 3, 4} 【答案】D 【分析】根据真子集、子集的定义即可得出结论. 【详解】：真子集是指包含原集合部分元素但不包含全部元素的子集。{1, 2, 3, 4}包含了集合A的所有元素，并且还多了一个元素，所以不是真子集。 故选:D 18.下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，， 所以不包含于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：A 19.集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】B 【分析】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有个元素的集合的真子集的个数是个． 【详解】，集合A含有4个元素，真子集的个数是， 故选：B． 20.有下列四个命题：①；②③若，则；④集合有两个元素；⑤集合是有限集.；其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出，得到④错误；求出，判断⑤正确. 【详解】①因为是任何集合的子集，所以，①正确； ②是的一个元素，故，②正确； ③若，满足，，故③错误； ④，集合有1个元素，故④错误； ⑤集合，故是有限集，⑤正确. 故选：C 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 21.若集合，，且，则 ． 【答案】0 【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为集合，所以解得或， 当时不满足集合元素互异性的要求舍去， 当时，， 故答案为：0 22.已知集合，则实数m的值是 . 【答案】 【分析】根据子集的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 23.已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据元素与集合间的关系即可求解. 【详解】因为2∈A，所以或，即或. 故答案为：或 24.集合用描述法可表示为 . 【答案】 【分析】根据集合中元素的公共特性可知是非零自然数开平方，则答案可求. 【详解】解：由题意得： 综上所述：集合用描述法可表示为 故答案为： 25.“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是 . 【答案】7 【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素. 【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7； 故答案为：7. 三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，27、28题12分，共40分） 26.设集合 A={a,b,c},试写出A的所有子集,并指出A的非空真子集. 【答案】A的所以子集为：{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}；A的非空真子集为：{{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}. 【解析】子集‌：对于集合A={a,b,c}，其子集包括空集以及由集合A中元素构成的所有可能组合。 空集：∅ 单元素子集：{a},{b},{c} 二元素子集：{a,b},{a,c},{b,c} 三元素子集（即全集）：{a,b,c} 因此，集合A的所有子集为：{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 真子集‌：真子集是集合A的子集，但不等于集合A本身。因此，真子集包括空集以及所有非全集的子集。 非空真子集‌：非空真子集是指既非空集也不等于全集的真子集。 对于集合A，其非空真子集为： 单元素子集：{a},{b},{c} 二元素子集：{a,b},{a,c},{b,c} 因此，集合A的非空真子集为：{{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}} 【分析】集合A的所有子集包含了从空集到全集的所有可能组合。非空真子集则是排除了空集和全集的所有真子集。 27.设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，求b-a的值. 【答案】2 【解析】理解集合中元素的互异性. 【分析】本题的关键在于理解集合的性质，并能够根据题意列出正确的方程. 【详解】①确定a和b的值: 因为集合中的元素两两互不相同，那么由1≠0，所以只能是a+b=0，得到a=-b；又因为a≠0，所以只能是a=，即a²=b. ②求解a和b： 由a=-b和a²=b，得到a²=-a，解的a=0或a=-1，因为a≠0，所以a=-1，那么b=-a=-（-1）=1. ③计算b-a的值： 所以b-a=1-（-1）=1+1=2. 28.设A={x|-1 <x<3},B={x|x<a},若A⊆B,求实数a的取值范围. 【答案】[3，+∞） 【解析】①理解集合包含关系： A⊆B意味着集合A中的所有元素都必须在集合B中. ②分析集合A和B: 集合A={x|-1 <x<3}，表示所有大于-1且小于3的实数；集合B={x|x<a}，表示所有小于a的实数. ③确定a的取值范围： 为了使A⊆B，需要确保集合A中的所有元素都小于a，因为集合A中的最大值接近3（但不包含3），所有a必须大于等于3，才能保证所有A中的元素都在B中，因此，a≥3，所有a的取值范围是[3，+∞）. 【分析】这道题的关键在于理解集合的包含关系，并将其转化成为不等式关系. 29.已知集合A={x|2≤x≤5}，B={x|2a＜x＜a+3}. （1）若B为空集，求a的取值范围； （2）若B⫋A,求a的取值范围. 【答案】（1）[3，+∞）；（2）[1，2]∪[3，+∞）. 【解析】本题主要考查集合的空集条件、真子集关系的应用，以及不等式组的求解能力. 关键点：空集条件2a≥a+3；真子集条件B的区间端点需满足2≤2a＜a+3≤5. 【分析】(1)当集合B为空集时，其左端点必须大于等于右端点，直接列不等式求解；(2)需分情况考虑，B为空集和同时满足B非空且B完全包含在A内，通过分析区间端点的位置关系，建立不等式组求解a的范围. 【详解】(1)若B为空集，则其左端点不小于右端点，即：2a≥a+3，解的a≥3； 若B⫋A，有以下两种情况：①B为空集，由（1）可得a≥3； ②B非空：2a＜a+3可得a＜3；且B完全在A内：左端点不小于A的左端点2a≥2即a≥1，右端点不大于A的右端点a+3≤5即a≤2.综合得：1≤a≤2. 综上所述若B⫋A，a的取值范围为[1，2]∪[3，+∞）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$