专题35 直线、平面垂直的判定与性质（练习题） - 河北省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第35个专题平面垂直的判定与性质。本专题涵盖直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角、二面角等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题35 直线、平面垂直的判定与性质（练习题） 一、选择题 1．已知直线，是异面直线，直线，，直线，，则（    ） A． B． C．与相交 D．与异面 2．下列命题正确的是（   ） A．如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任何直线都与另一个平面垂直 B．如果两个平面与某一条直线垂直，那么两个平面垂直 C．如果一个平面含有另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直 D．如果两个平面互相垂直，过其中一个平面内的点做另一个平面的垂线，那么这条直线不一定在这个平面内 3．已知平面，和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 4．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成的角为45° D．异面直线与所成的角为 6．一个正四棱锥模型，已知其顶点在底面的射影是底面正方形的中心，若底面边长为 8，高为 3，则侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（   ）. A． B． C． D． 7．正三棱锥的所有侧面与底面所成的二面角都为，底面边长为 3，则该正三棱锥的高为（   ）. A． B． C． D． 二、填空题 1．若平面，直线，则m与位置关系为 ． 2．已知直线平面，直线平面，则平面与平面的位置关系是 . 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是 ．(填“垂直”“不垂直”其中的一个) 4．已知圆在平面内且半径为4，圆心为点在平面内的射影，到平面的距离为4．任取圆上一点，则与平面所成角的大小为 ． 5．如图，长方体中，，，则二面角的大小为 ． 6．在正方体中，二面角的平面角等于 ． 7．如图，三棱锥中，平面，，则二面角的大小等于 ． 8．在边长为4的正三角形中，于点，沿折成二面角后，若，则二面角的弧度数为 . 一、选择题 1．下列命题中正确的是（   ） A．平面和分别过两条互相垂直的直线，则 B．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则 C．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则 D．若平面内的两条直线垂直于平面内的无数条直线，则 2．设有直线m，n和平面，，则下列结论中正确的是（   ） ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．已知直线和平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图所示，在正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 5．搭建正四棱锥形状的广告牌支架，侧面与底面所成二面角为，底面边长为，则该正四棱锥的斜高为（   ）. A．m B．m C．m D．m 二、填空题 1．若是不重合的平面，a，b，c是互不相同的直线，则下列命题中为真命题的是 .（写出所有真命题的序号） ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，且，，则. 2．①，；②，；③，；④，．在上述命题中，真命题是 ． 3．已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题： ①若，，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，，则． 其中正确的命题是 （填上所有正确命题的序号）． 4．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 5．平面平面，直线，以下三个结论：①；②；③与相交.其中可能正确的序号为 . 6．正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，则侧棱与平面所成角的余弦值为 . 7．如图所示，将等腰沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是 ． 三、解答题 1．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上的一点，且，求二面角的大小. 2．如图，在四棱锥中，平面． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求四棱锥的体积． 3．如图所示，在边长为2的正方体中． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 4．如图，在棱长为2的正方体，中，E，F分别为，BD的中点. (1)求EF与BC所成角的正切值； (2)求点D到平面AEF的距离. 5．如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 6．如图所示，是边长为4的等边三角形，平面． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第35个专题平面垂直的判定与性质。本专题涵盖直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角、二面角等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题35 直线、平面垂直的判定与性质（练习题） 一、选择题 1．已知直线，是异面直线，直线，，直线，，则（    ） A． B． C．与相交 D．与异面 【答案】B 【分析】在直线上任取一点，过作直线，直线和直线确定一个平面，可得，同理，然后由线面垂直的性质可得结论． 【详解】如图所示，在直线上任取一点，过作直线，则， 直线和直线确定一个平面． ，，． 又，，，， ，同理可证， ． 故选：B． 2．下列命题正确的是（   ） A．如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任何直线都与另一个平面垂直 B．如果两个平面与某一条直线垂直，那么两个平面垂直 C．如果一个平面含有另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直 D．如果两个平面互相垂直，过其中一个平面内的点做另一个平面的垂线，那么这条直线不一定在这个平面内 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质及判定定理逐项判断即可得解. 【详解】如果两个平面互相垂直，根据面面垂直的性质可知，只有一个平面内垂直于交线的直线才于另一个平面垂直，故错误； 如果两个平面与某一条直线垂直，则两个平面相互平行，故错误； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，即如果一个平面含有另一个平面的垂线，则两个平面垂直，故正确； 如果两个平面互相垂直，过其中一个平面内的点做另一个平面的垂线，根据面面垂直的性质可知，这条垂线一定在这个平面内，故错误， 故选：. 3．已知平面，和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【分析】根据面面垂直的性质逐项判断即可得解. 【详解】选项，若，，，且，则，故错误； 选项，若，，，且，则，故错误； 选项，若，，且，，则，故错误； 选项，若，，，，则，故正确. 故选：. 4．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出与平面所成的角即可得解. 【详解】因为平面， 则在平面内的射影为， 即为直线与平面所成的角． 在正方体中，， 故选：. 5．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成的角为45° D．异面直线与所成的角为 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质以及线面角、异面直线所成角的定义求解. 【详解】如图，连接，，因为，分别为，的中点， 所以，分别为，的中点，则. 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 因为平面，平面，所以. 又，所以，故B正确； 因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 而直线与平面所成的角为， 所以直线与平面所成的角为，故C正确； 因为，所以与所成的角即为与所成的角，为，故D错误. 故选：D. 6．一个正四棱锥模型，已知其顶点在底面的射影是底面正方形的中心，若底面边长为 8，高为 3，则侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取底面正方形中心，连接底边中点，根据正四棱锥性质可得到侧面与底面所成二面角的平面角，通过解三角形可算出其余弦值. 【详解】如图，正四棱锥，取底面正方形的中心，的中点，连接， 则底面,， 所以为侧面与底面所成二面角的平面角， 直角中，，则， 所以. 故选：D. 7．正三棱锥的所有侧面与底面所成的二面角都为，底面边长为 3，则该正三棱锥的高为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合线面角的定义即正三棱锥的性质即可得解. 【详解】正三棱锥的底面边长为，所以底面中心到边的距离， 侧面与底面所成二面角为，所以高为， 故选：. 二、填空题 1．若平面，直线，则m与位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据线面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面， 据此，平面，直线，则有， 故答案为： 2．已知直线平面，直线平面，则平面与平面的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】利用线面垂直的性质即可得解. 【详解】根据直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 因为直线平面，直线平面，满足该性质的条件， 所以平面与平面的位置关系是平行，即. 故答案为：平行. 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是 ．(填“垂直”“不垂直”其中的一个) 【答案】垂直 【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断. 【详解】如图所示：    在正方体中，CC1⊥平面ABCD， 所以CC1⊥BD． 又AC⊥BD，CC1∩AC=C， 所以BD⊥平面AA1C1C． 又BD⊂平面EBD， 所以平面EBD⊥平面AA1C1C． 故答案为：垂直 4．已知圆在平面内且半径为4，圆心为点在平面内的射影，到平面的距离为4．任取圆上一点，则与平面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的概念即可求解. 【详解】由题意得，因为平面，又，所以， 则为与平面所成的角， 在直角三角形中，，所以， 即与平面所成角的大小为. 故答案为：. 5．如图，长方体中，，，则二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，找出二面角的平面角，由其正切值即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，． 由，得，且． 又，所以，则是二面角的平面角． 在中，，，则，所以． 故答案为：. 6．在正方体中，二面角的平面角等于 ． 【答案】 【分析】根据正方体中的位置关系，找出二面角的平面角即可求解. 【详解】根据正方体中的位置关系可知，，， 根据二面角的平面角定义可知，即为二面角的平面角． 又，且，所以． 故答案为：. 7．如图，三棱锥中，平面，，则二面角的大小等于 ． 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质找到二面角的平面角求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以，， 所以即二面角的平面角， 且，则二面角的大小等于. 故答案为：. 8．在边长为4的正三角形中，于点，沿折成二面角后，若，则二面角的弧度数为 . 【答案】/ 【分析】根据题意作出折后的图形，进而得到所求二面角的平面角，从而得解. 【详解】由题意可知，， 所以沿折成二面角后，，， 故即为二面角的平面角， 因为在边长为4的正中，， 所以为的中点，又，则， 所以是正三角形，则， 所以二面角的弧度数为. 故答案为：. 一、选择题 1．下列命题中正确的是（   ） A．平面和分别过两条互相垂直的直线，则 B．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则 C．若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则 D．若平面内的两条直线垂直于平面内的无数条直线，则 【答案】C 【分析】根据线面的判定定理即可得解. 【详解】当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和有可能平行，故A错； 若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直，所以，故 C正确， 平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线或垂直无数条平行直线，都不能得到该直线与平面垂直，即不能得到，B，D错， 故选：. 2．设有直线m，n和平面，，则下列结论中正确的是（   ） ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】①若，，或，又有，无论哪种情况都有，正确； ②当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直，错误； ③若，，，都有，正确. 故选：B. 3．已知直线和平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若， 则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若， 则与不一定垂直，故D错误. 故选：B. 4．如图所示，在正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二面角转为平面角，再构造三角形，解三角形即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，, 在正方体中，，， 所以都是等腰三角形， 即，，则二面角的平面角为， 因为平面，平面， 所以， 在中，, 令，则正方体面对角线为，即， 得到. 故选：C. 5．搭建正四棱锥形状的广告牌支架，侧面与底面所成二面角为，底面边长为，则该正四棱锥的斜高为（   ）. A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【分析】设正四棱锥的斜高为，根据正四棱锥侧面与底面所成二面角的性质可得，求解即可. 【详解】设正四棱锥的斜高为， ∵侧面与底面所成二面角为，底面边长为， ∴根据正四棱锥侧面与底面所成二面角的性质，得， 故选：B. 二、填空题 1．若是不重合的平面，a，b，c是互不相同的直线，则下列命题中为真命题的是 .（写出所有真命题的序号） ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，且，，则. 【答案】②③ 【分析】根据线面平行，垂直的判定和性质逐项判断即可. 【详解】①若，，则与可能平行，可能相交也可能异面，故①错误； ②若，，则，故②正确； ③若，，则，故③正确； ④若，，且，，与相交，则； 若与平行，则无法推出，故④错误. 故答案为：②③ 2．①，；②，；③，；④，．在上述命题中，真命题是 ． 【答案】①③ 【分析】根据空间中直线与平面、直线与直线的位置关系相关定理，逐一分析求解即可. 【详解】①中，若，则存在，使得， 又，，得到，故，正确， ②中，若，，则直线与直线可能相交，可能平行，可能异面，错误， ③中，若，，根据线面垂直的性质定理，，正确， ④中，若，，只能说明直线垂直于平面内的一条直线， 无法得出直线垂直于平面，错误， 故真命题有①③. 故答案为：①③. 3．已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题： ①若，，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，，则． 其中正确的命题是 （填上所有正确命题的序号）． 【答案】① 【分析】根据面面，线面，线线的位置关系即可得解. 【详解】已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面， 对于①，若，，，则，故①正确； 对于②，若，，，则与平行或相交，故②错误； 对于③，当时，也满足，，，故③错误； 对于④，若，，，则与平行，相交或异面，故④错误， 故答案为：①. 4．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据面面垂直判定定理即可求解. 【详解】若，与平面不一定垂直； 若，根据面面垂直的判定定理可得， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 5．平面平面，直线，以下三个结论：①；②；③与相交.其中可能正确的序号为 . 【答案】①②③ 【分析】根据线面平行、面面垂直的性质，逐一分析三个结论. 【详解】设平面为，平面为. 假设为，因为平面平面，平面，且平面，所以可能成立. 假设为，因为平面平面，平面，且平面，所以可能成立. 假设为，因为平面平面，平面，且平面，所以与相交可能成立. 故答案为：①②③.    6．正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，则侧棱与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据题意作出正四棱锥，找到侧棱与平面所成角，结合题意求出相关线段的长度，利用余弦函数的定义即可得解. 【详解】 如图所示，作出正四棱锥，连接，交于点，连接，则平面， 所以侧棱与平面所成角为， 因为底面边长为，所以， 则， 故答案为：. 7．如图所示，将等腰沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是 ． 【答案】 【分析】先根据题意可得二面角的平面角为，再根据等腰三角形，等边三角形，直线三角形的性质即可求解. 【详解】由题意得，因为是等腰直角的高， 所以， 则为平面与平面的平面角. 连接，因为是等腰三角形，所以， 又，所以是等边三角形. 设，则， 因为，所以. 即这个二面角大小是. 故答案为：. 三、解答题 1．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上的一点，且，求二面角的大小. 【答案】 【分析】根据线面垂直的判定定理得出平面，得出是二面角的平面角，求出的大小即可. 【详解】因为平面，平面， ，是的直径，且点在圆周上， ， 又，，平面，平面， 又平面，， 又是二面角的棱， 是二面角的平面角， 由知是等腰直角三角形，， 即二面角的大小是. 2．如图，在四棱锥中，平面． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由平面，可确定直线与平面所成的角，再由锐角三角函数的定义求值即可. （2）根据棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）连接，平面， 为直线与平面所成的角， 在四边形中，， ，且， ，， 则. （2）平面， 为四棱锥的高， 由（1）可知，，且， ，过点作的垂线，交延长线为， ，，， 为矩形，则， ，， ， 四棱锥的体积. 3．如图所示，在边长为2的正方体中． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等体积法求解即可； （2）根据二面角的解法求解即可； 【详解】（1）因为在正方体中，平面， ， 所以； （2）取的中点，连接， 由题，有，则， 由题，有，则， 则就是二面角的平面角， 在中，， 则． 4．如图，在棱长为2的正方体，中，E，F分别为，BD的中点. (1)求EF与BC所成角的正切值； (2)求点D到平面AEF的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过平行直线，先找出异面直线EF与BC所成角，再由线面垂直的性质，在直角三角形中求正切值即可； （2）通过等体积法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）连接， E、F分别为线段、BD的中点， ， ∴异面直线EF与BC所成的角为， 又平面平面， ， 正方体的棱长为2， ， ， ∴EF与BC所成角的正切值为； （2）在正方体中，E为线段的中点， 平面ADF，且， 点F是线段BD的中点， ， ∴三棱锥的体积， E，F分别为线段，BD的中点， ， 又， 在中满足，即为直角三角形， 则， 设点D到平面AEF的距离为d， 则，即，解得， ∴点D到平面AEF的距离为. 5．如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找出是异面直线与所成的角，结合正方体的结构特征，正三角形的性质即可求解. （2）先找出二面角的平面角，结合正方体的结构特征即可求解. 【详解】（1）在正方体中，连接， 因为，即四边形是平行四边形， 即，所以是异面直线与所成的角， 因为三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，平面，平面， 所以， 即是二面角的平面角， 由正方体的性质可知，即二面角的大小为. 6．如图所示，是边长为4的等边三角形，平面． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1). (2)． 【分析】（）根据线面垂直的性质及勾股定理，结合即可得解. （）根据题意找到二面角的平面角即可得解. 【详解】（1）设点到平面的距离为，取的中点，连接，如图所示， 则， 因为平面,平面，所以， 在中，， 在中，， 所以，所以， 在中，， 所以，， 因为，所以， 所以． （2）如图所示，连接， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 又是平面与平面的交线，且平面，平面， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$