第十章概率辅导讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

必修2学习材料---概率 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算 考点一：随机试验的概念 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 考点二：样本空间的概念 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 考点三：随机事件、必然事件与不可能事件 ①一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. ②Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. ③空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 考点四：事件之间的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 考点五：交事件与并事件的概念及辨析 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 考点六：互斥事件和对立事件的概念及辨析 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 题型一：随机事件的概念 【例1】以下事件是随机事件的是（    ） A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯 C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根 【例2】已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题： ①若任取，则是必然事件；②若任取，则是不可能事件； ③若任取，则是随机事件；④若任取，则是必然事件． 其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型专练】 1．若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（    ） A． B． C． D． 2．已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（    ） A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 题型二：互斥事件和对立事件的概念 【例1】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（    ） A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件 B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件 C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件 D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件 【例2】已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（    ） A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品 C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品 【例3】某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（    ） A．是对立事件 B．都是必然事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件 【题型专练】 1．从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至多有2个白球与恰有3个白球 B．至少有1个白球与都是红球 C．恰有1个红球与恰有3个白球 D．至多有1个红球与至多有1个白球 2．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．只有2次出现反面 B．至多2次出现正面 C．有2次或3次出现正面 D．有0次或1次出现正面 3．分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“两枚骰子的点数都是奇数”，事件B=“两枚骰子的点数都是偶数”，事件C=“两枚骰子点数之和为奇数”，则事件与事件C（    ） A．不互斥 B．互斥但不对立 C．互为对立 D．以上说法都不对 古典概型、概率的基本性质 考点一　随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 考点二　古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 考点三　古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 考点四　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 题型一：基本事件 【例1】为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择.现已知甲､乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【例2】从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生． (1)分别写出有放回、不放回选取的样本空间； (2)求有放回地选取一名男生和一名女生的概率． 【题型专练】 1．随机安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天一人值班，写出值班顺序的样本空间为______. 2．同时投掷两颗质地均匀且大小相同的骰子，用表示结果，其中表示第一颗骰子出现的点数，表示第二颗骰子出现的点数，记为“所得点数之和小于”，则事件包含的样本点个数是______． 题型二：古典概型 【例1】袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为_________ 【例2】孪生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数．那么在不超过12的素数中任意取出不同的两个，则能组成孪生素数的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3】一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为，，），2支为二等品（记为，），从中随机抽取2支进行检测. (1)写出这个试验的样本空间； (2)求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率. 【题型专练】 1．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量，，则事件““发生的概率为___________. 2．互素数是指两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数.若从小于6的自然数中随机抽取2个数，则被抽到的2个数是互素数的概率是___________. 3．从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）. (1)请写出该试验的样本空间; (2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率; (3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率. 题型三：互斥、对立事件与古典概型的性质及应用 【例1】某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（    ） A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98 【例2】已知，，如果，那么（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【例3】已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【例4】在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是0.25，在的概率是0.48，在的概率是0.11，在的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算： （1）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率； （2）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率. 【题型专练】 1．若，则互斥事件和B的关系是（    ） A． B．A，B是对立事件 C．A，B不是对立事件 D．A=B 2．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则______． 3．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 4．已知，，，则______． 5．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______． 相互独立事件及频率与概率 考点一　相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 考点二　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 考点三　频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率)会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率 考点四　随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 题型一：相互独立事件的判断 【例1】袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件 C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件 【例2】（多选题）甲､乙两各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（    ） A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件 B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件 C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙都没有投得6点”是对立事件 D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件 【题型专练】 1．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（    ） A． B．事件A与事件相互独立 C．与和为 D．事件A与事件B互斥 2．（多选题）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立 题型二：相互独立事件概率的计算 【例1】已知事件A与事件相互独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有现金支付、微信支付、支付宝支付、银联支付4种支付方式，其中用现金支付的概率为，支付宝支付的概率为，银联支付的概率为，则选择用微信支付的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3】甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________. 【例4】甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． (1)求第四盘棋甲赢的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率． 【题型专练】 1．（多选题）甲､乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则（    ） A．甲去考点做服务的概率为 B．甲去考点､乙不去考点做服务的概率为 C．甲､乙同去考点做服务的概率为 D．甲､乙不去同一考点做服务的概率为 2．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________. 3．为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为______ 4．从甲地到乙地要经过3个十字路口，各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． (1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 题型三：频率与概率的关系和区别 【例1】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0.5 D．0.5，0.48 【例2】下列说法正确的是（    ） A．任何事件的概率总是在(0，1)之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 【例3】（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17 C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次 【题型专练】 1．下列说法中正确的是（    ） A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 2．（多选题）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确 3．（多选题）下列说法中，正确的是（    ） A．对于事件A与事件B，如果，那么 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性 C．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 D．从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红球}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修2学习材料---概率 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算 考点一：随机试验的概念 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 考点二：样本空间的概念 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 考点三：随机事件、必然事件与不可能事件 ①一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. ②Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. ③空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 考点四：事件之间的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 考点五：交事件与并事件的概念及辨析 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 考点六：互斥事件和对立事件的概念及辨析 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 题型一：随机事件的概念 【例1】以下事件是随机事件的是（    ） A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯 C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根 【答案】B 【分析】根据随机事件的概念判断即可 【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意； B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意； C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意； D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意． 故选：B． 【例2】已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题： ①若任取，则是必然事件；②若任取，则是不可能事件； ③若任取，则是随机事件；④若任取，则是必然事件． 其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】、 由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图： 对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确； 对于②：任取，则是随机事件，故②不正确； 对于③：因为集合A是集合B的真子集， 集合B中存在元素不是集合A中的元素， 集合B中也存在集合A中的元素， 所以任取，则是随机事件，故③正确； 对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 任取，则是必然事件，故④正确； 所以①③④正确，正确的命题有3个． 故选：C． 【题型专练】 1．若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，故对错误选项使用特殊值法即可，对正确选项则需要证明. 【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，则 对于A，令，则，故选项A不是不可能事件，故A错误； 对于B，由于，故不存在实数x使得，即选项B是不可能事件，故B正确； 对于C，令，则，故选项C不是不可能事件，故C错误； 对于D，令，则，即，故选项D不是不可能事件，故D错误； 故选：B. 2．已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（    ） A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 【答案】C 【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可． 【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况. 故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确； 事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确； 事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误； 事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确． 故选：C 题型二：互斥事件和对立事件的概念 【例1】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（    ） A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件 B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件 C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件 D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，结合题意逐项检验即可求解. 【详解】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误； “至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误； “恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误； “至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确. 故选：D. 【例2】已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（    ） A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品 C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品 【答案】D 【分析】对每个选项中事件的关系分析，选出正确选项. 【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件； 对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件； 对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件； 对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件. 故选：D. 【例3】某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（    ） A．是对立事件 B．都是必然事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件 【答案】C 【分析】根据两个事件的关系可得正确的选项. 【详解】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均为随机事件，故B错误. 事件“至多有1名男生”有两种情况：2名学生都是女生或2名学生一男一女. “至多有1名女生” 有一种情况： 2名学生一男一女. 故两个事件不是对立事件、互斥事件，故AD错误，C正确， 故选：C. 【题型专练】 1．从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至多有2个白球与恰有3个白球 B．至少有1个白球与都是红球 C．恰有1个红球与恰有3个白球 D．至多有1个红球与至多有1个白球 【答案】D 【分析】根据给定条件，分析各个选项中的两个事件包含的基本事件，再结合对立事件、互斥事件的定义判断作答. 【详解】从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球的基本事件有：4个红球，1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1个红球， 对于A，至多有2个白球的事件有：2个白球2个红球，1个白球3个红球，4个红球， 恰有3个白球的事件是3个白球1红球的事件，显然两个事件互斥且对立，A不是； 对于B，至少有1个白球的事件有：1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1红球， 都是红球的事件是4个红球，显然两个事件互斥且对立，B不是； 对于C，恰有1个红球的事件是3个白球1红球的事件，因此恰有1个红球与恰有3个白球为同一事件，C不是； 对于D，至多有1个红球的事件是1个红球3个白球的事件，至多有1个白球的事件有：1个白球3个红球，4个红球， 显然这两个事件不能同时发生，可以同时不发生，即至多有1个红球与至多有1个白球是互斥而不对立的事件，D是. 故选：D 2．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．只有2次出现反面 B．至多2次出现正面 C．有2次或3次出现正面 D．有0次或1次出现正面 【答案】D 【分析】根据连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，即可知其对立事件至多出现一次正面，可得答案. 【详解】连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面， 对立事件为有0次或1次出现正面， 故选:D. 3．分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“两枚骰子的点数都是奇数”，事件B=“两枚骰子的点数都是偶数”，事件C=“两枚骰子点数之和为奇数”，则事件与事件C（    ） A．不互斥 B．互斥但不对立 C．互为对立 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】由事件互斥与事件对立的定义即可判断 【详解】投掷两枚质地均匀的骰子共有三种结果，一奇一偶，两奇，两偶，所以和事件A∪B与事件C互为对立 故选：C 古典概型、概率的基本性质 考点一　随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 考点二　古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 考点三　古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 考点四　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 题型一：基本事件 【例1】为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择.现已知甲､乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用列举法即可得解. 【详解】不妨记“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”分别为， 则这两位同学的报名方案有，共9种. 故选：C. 【例2】从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生． (1)分别写出有放回、不放回选取的样本空间； (2)求有放回地选取一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据题意，列举所有的可能即可； （2）根据（1）中所求，结合古典概型的概率计算公式即可求得结果. (1) 有放回选取的样本空间： , ． 不放回选取的样本空间： (2) 根据（1）中所求，有放回选取的可能性有16种， 其中满足要求的可能性有如下8种： 又有放回的抽取的每种情况都是等概率的， 故根据古典概率的概率计算公式可得，满足题意的概率为. 【题型专练】 1．随机安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天一人值班，写出值班顺序的样本空间为______. 【答案】﹛（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）﹜ 【分析】利用列举法可直接写出样本空间. 【详解】解：随机安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天一人值班,则样本空间为 故答案为：﹛（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）﹜ 2．同时投掷两颗质地均匀且大小相同的骰子，用表示结果，其中表示第一颗骰子出现的点数，表示第二颗骰子出现的点数，记为“所得点数之和小于”，则事件包含的样本点个数是______． 【答案】6 【分析】一一列举即可 【详解】事件“所得点数之和小于”所包含的样本点为：，，，，， 故答案为： 题型二：古典概型 【例1】袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为_________ 【答案】## 【分析】利用古典概型概率的求法求解即可. 【详解】因为一共有10个球，所以从中任取一球的基本事件有10个， 又因为有6个白球，所以取到白球的基本事件有6个， 所以取到白球的概率为. 故答案为： 【例2】孪生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数．那么在不超过12的素数中任意取出不同的两个，则能组成孪生素数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出不超过12的素数，结合孪生素数的定义列出组成孪生素数对的个数，进而利用古典概型的概率公式求解. 【详解】不超过12的素数有：2,3,5,7,11共5个， 任意取出不同的两个素数有：共10对， 又素数对为孪生素数，所以不超过12的素数组成的孪生素数有：共2对， 所以能够组成孪生素数的概率为. 故选：B 【例3】一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为，，），2支为二等品（记为，），从中随机抽取2支进行检测. (1)写出这个试验的样本空间； (2)求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率. 【答案】(1)，，，，，，，，，. (2) 【分析】（1）直接写出样本空间即可； （2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率. 【详解】（1）试验的样本空间为：，，，，，，，，，. （2）抽取的2支圆珠笔都是一等品有，，3种情况，故概率. 【题型专练】 1．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量，，则事件““发生的概率为___________. 【答案】 【分析】由题意，利用列举法，结合垂直向量的坐标表示，再根据古典概型的概率公式，可得答案. 【详解】由题意，的坐标可能是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况， 若，则，即，符合这一条件的有，，共种， 故事件““发生的概率. 故答案为：. 2．互素数是指两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数.若从小于6的自然数中随机抽取2个数，则被抽到的2个数是互素数的概率是___________. 【答案】## 【分析】根据题意，利用列举法，结合古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】由题意知， 小于6的自然是有0,1,2,3,4,5， 抽到的任意两个数的结果为： (0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、 (1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、 (2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共15种， 其中两个数互素数的结果有： (1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共9种， 所以两个数互素数的概率为. 故答案为：. 3．从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）. (1)请写出该试验的样本空间; (2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率; (3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据题意把所有的可能结果列出即可; (2) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可; (3) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可. 【详解】（1）解:由题知,样本空间为; （2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个, 故; （3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个, 故. 题型三：互斥、对立事件与古典概型的性质及应用 【例1】某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（    ） A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98 【答案】B 【分析】根据互斥事件概率公式即得. 【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与是对立事件， 所以． 故选：B. 【例2】已知，，如果，那么（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】由可知，，互斥，由概率的加法公式即可得出结果. 【详解】∵， ∴，互斥， ∴. 故选：A. 【例3】已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】由对立事件概率关系得到发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A + B). 【详解】因为，事件与对立，所以，又，与互斥， 所以. 故选：C. 【例4】在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是0.25，在的概率是0.48，在的概率是0.11，在的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算： （1）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率； （2）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题意，运用互斥事件的概率加法公式计算，即可求解. （2）方法一：根据互斥事件概率加法公式可计算；方法二：根据对立事件的概率公式，计算可求解. 【详解】（1）分别记小江的成绩在90分以上，在，，为事件，，，，这四个事件彼此互斥. 小江的成绩在80分及以上的概率. （2）方法一：小江考试及格（成绩不低于60分）的概率 . 方法二：小江考试不及格（成绩在60分以下）的概率是0.07，根据对立事件的概率公式，得小江考试及格（成绩不低于60分）的概率是. 【点睛】本题考查（1）互斥事件的概率加法公式；（2）对立事件的概率公式，考查计算能力，属于基础题. 【题型专练】 1．若，则互斥事件和B的关系是（    ） A． B．A，B是对立事件 C．A，B不是对立事件 D．A=B 【答案】B 【分析】根据概率性质，，即可判断与的关系. 【详解】由题意，事件与是互斥事件，则， 则，是对立事件. 故选：B 2．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则______． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式求得，，及事件同时发生的概率，利用概率的加法公式即可求解. 【详解】由古典概型得：，，， 于是得． 故答案为：. 3．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 【答案】0.9## 【分析】利用概率加法公式直接求解. 【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3， ∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：. 故答案为：0.9. 4．已知，，，则______． 【答案】0.2 【分析】利用概率公式代入即可求得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：0.2. 5．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______． 【答案】 【分析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，根据为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案. 【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件， 又， 所以. 故答案为：. 相互独立事件及频率与概率 考点一　相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 考点二　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 考点三　频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率)会逐渐稳定于事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率 考点四　随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 题型一：相互独立事件的判断 【例1】袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件 C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错； 不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确； 事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错； 事件与事件为对立事件，故D错. 故选：B. 【例2】（多选题）甲､乙两各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（    ） A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件 B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件 C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙都没有投得6点”是对立事件 D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件 【答案】AB 【分析】根据互斥事件，相互独立事件以及对立事件的定义即可根据选项逐一判断. 【详解】在A中，甲､乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得4点”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件； 在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事件； 在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙都没有投得6点”不可能同时发生，二者是互斥事件，“甲､乙都投得6点”的对立事件为“至少有一个人没有投得6点”，故“甲､乙都没有投得6点”不是“甲､乙都投得6点”的对立事件； 在D中，设“至少有1人投得6点”为事件A，则事件A包括只有甲一人投得6点，或者只有乙一个人投得6点，以及甲乙两人都投得6点，而“甲投得6点且乙没投得6点”为事件，则，故A、B不独立， 故选：AB 【题型专练】 1．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（    ） A． B．事件A与事件相互独立 C．与和为 D．事件A与事件B互斥 【答案】D 【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项. 【详解】， 在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确 ，故A正确 ，故C正确 事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误. 故选：D. 2．（多选题）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立 【答案】ABD 【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误. 【详解】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况， ，，A正确，B正确； 事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误； 事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确. 故选：ABD. 题型二：相互独立事件概率的计算 【例1】已知事件A与事件相互独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意两个相互独立事件的和事件的概率应该为两事件概率之和减去这两事件同时发生的概率，可得答案. 【详解】由题意事件A与事件相互独立， , 故选：B． 【例2】某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有现金支付、微信支付、支付宝支付、银联支付4种支付方式，其中用现金支付的概率为，支付宝支付的概率为，银联支付的概率为，则选择用微信支付的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用概率和为1计算即可. 【详解】选择用微信支付的概率. 故选：D 【例3】甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________. 【答案】 【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可. 【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为， 乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为， 所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为. 故答案为：. 【例4】甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． (1)求第四盘棋甲赢的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答. （2）甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是甲在第三盘赢、第四盘赢、第五盘赢的互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答. 【详解】（1）记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和， ，，则， 所以第四盘棋甲赢的概率是. （2）记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和， 甲只在第三盘赢的事件为、只在第四盘赢的事件为、只在第五盘赢的事件为， 则，，， 则有， 所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为. 【题型专练】 1．（多选题）甲､乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则（    ） A．甲去考点做服务的概率为 B．甲去考点､乙不去考点做服务的概率为 C．甲､乙同去考点做服务的概率为 D．甲､乙不去同一考点做服务的概率为 【答案】ABD 【分析】由概率的性质对选项逐一判断， 【详解】对于A，甲去考点做服务的概率为，故A正确， 对于B，甲去考点､乙不去考点做服务的概率为，故B正确， 对于C，甲､乙同去考点做服务的概率为，故C错误， 对于D，乙去考点做服务的概率为， 甲､乙不去同一考点做服务的概率为， 故选：ABD 2．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________. 【答案】 【分析】根据题意求得其对立事件，然后根据其与对立事件之和为，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 又因为为相互独立事件， 所以 所以中至少有一件发生的概率为 故答案为: 3．为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为______ 【答案】0.58####58% 【分析】分两人都回答正确，甲回答正确，乙回答错误，以及甲回答错误，乙回答正确三种情况讨论即可. 【详解】由题意,设“甲答题正确”为事件,“乙答题正确”为事件, 则, 设“至少有一人正确”为事件， ， 故答案为：. 4．从甲地到乙地要经过3个十字路口，各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． (1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出三个十字路口不遇到红灯的概率在相乘即可得到答案. （2）利用独立事件计算公式即可得到答案. 【详解】（1）已知各路口遇到红灯的概率分别为，则不遇到红灯的概率分别为，则一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率为. （2）一辆车从甲地到乙地遇到一个红灯的概率为 设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 题型三：频率与概率的关系和区别 【例1】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0.5 D．0.5，0.48 【答案】C 【分析】由频率和概率的定义即可得 【详解】由频率的定义，正面朝上的频率； 正面朝上的概率是抛硬币试验的固有属性，为0.5，与试验次数无关. 故选：C 【例2】下列说法正确的是（    ） A．任何事件的概率总是在(0，1)之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 【答案】C 【分析】对于A，举例判断，对于B，由频率的性质判断，对于CD，根据频率与概率的关系判断. 【详解】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故A错； 频率是由试验的次数决定的，故B错； 概率是频率的稳定值，故C正确，D错． 故选：C． 【例3】（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17 C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次 【答案】BD 【分析】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C. 【详解】由题意知朝上的点数是2的频率为，概率为，故A错误； 当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B正确； 抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误； 每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷6000次朝上的点数为2的次数大约为．（理论和实际会有一定的出入）故D正确. 故选：BD 【题型专练】 1．下列说法中正确的是（    ） A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 【答案】A 【分析】根据频率和概率的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，根据频率的稳定性可知A选项正确. B选项，频率与实验次数有关，B选项错误. C选项，随机事件发生的频率不是这个随机事件发生的概率，C选项错误. D选项，概率不是随机的，是确定的，D选项错误. 故选：A 2．（多选题）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确 【答案】ABCD 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【详解】A：次品率描述出现次品的概率，即可能情况不是必然发生，错误； B，C：概率是多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，错误； D：10000次的界定没有科学依据，“一定很准确”的表达错误，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D错误. 故选：ABCD 3．（多选题）下列说法中，正确的是（    ） A．对于事件A与事件B，如果，那么 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性 C．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 D．从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红球}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立 【答案】BCD 【分析】A由事件包含关系可得；B、C根据随机事件概率跟试验所得的频率关系判断正误；D列举出所有基本事件，结合对立、互斥事件的定义判断. 【详解】A：若，则，错误； 对于有限n次随机试验，事件A发生的频率是随机的，而随试验次数n趋向无穷大，随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，B、C正确； D：基本事件有{取出的两个球均为红球}、{取出的两个球颜色不同}、{取出的两个球均为白球}，故事件A、B不对立，但互斥，正确. 故选：BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 $$