第九章统计辅导讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

必修2学习材料---统计 简单随机抽样 考点一:全面调查(普查)、抽样调查 ①全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查. 总体：调查对象的全体. 个体：组成总体的每一个调查对象. ②抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 样本：从总体中抽取的那部分个体. 样本量：样本中包含的个体数. 考点二:简单随机抽样 ①定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本.如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 考点三:抽签法、随机数法 ①抽签法：把总体中的N个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本. ②随机数法 1.用随机试验生成随机数 2.用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数. 考点四:分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样. 1.每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 2.如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为. 则＝＋.＝＋. 3.在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 考点五:获取数据的途径 获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、通过查询获得数据等. 题型一：简单随机抽样概念的理解 【例1】“知名雪糕放1小时不化”事件曝光后，某市市场监管局从所管辖十五中、十七中、常青一中三校周边超市在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查．在这个问题中，18是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【例2】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． ④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】（多选题）年月某市模考共有多名学生参加，教务处为了了解本校名考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，则以下说法中正确的是（    ） A．名考生是总体的一个样本 B．名考生的数学成绩是总体 C．样本容量是 D．多名考生的数学成绩是总体 【题型专练】 1．有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱抽3个，乙箱抽1个．下列说法不正确的是（    ） A．总体是36个篮球 B．样本是4个篮球 C．样本容量是4 D．每个篮球被抽到的可能性不同 2．下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动 B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验 C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本 D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查 3.（多选）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） A．要求被抽取样本的总体的个体数有限 B．从总体中逐个进行抽取 C．一种有放回抽样 D．一种等可能抽样 题型二：随机数表法 【例1】已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号正确的是（    ） A．1，2，…，106 B．0，1，2，…，105 C．00，01，…，105 D．000，001，…，105 【例2】从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，…，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为(注：表为随机数表的第行与第行)（    ）                               A． B． C． D． 【例3】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 3221183429    7864540732    5242064438    1223435677    3578905642 8442125331    3457860736    2530073286    2345788907    2368960804 3256780843    6789535577    3489948375    2253557832    4577892345 A．623 B．328 C．253 D．007 【例4】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（    ） 33 21 18 34 29   78 64 56 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77    35 78 90 56 42 84 42 12 53 31   34 57 86 07 32   25 30 07 32 85   23 45 78 89 07    23 68 96 08 04 32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32    45 77 89 23 45 A．623 B．368 C．253 D．072 【题型专练】 1．某工厂的质检人员对生产的100件产品采用随机数表法抽取10件进行检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1，2，3，…，100；②001，002，…，100；③00，01，02，…，99；④01，02，03，…，100．其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．③④ C．②③ D．①② 2．中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为________. 3．嫦娥九号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为_______________． 45   67   32   12   12   31   02   01   04   52   15   20   01   12   51   29 32   04   92   34   49   35   82   00   36   23   48   69   69   38   74   81 4．要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：________. 注：下面抽取了随机数表第1行至第5行. 03474373863696473661469863716233261680456011141095 97742467624281145720425332373227073607512451798973 16766227665650267107329079785313553858598897541410 12568599269696682731050372931557121014218826498176 55595635643854824622316243099006184432532383013030 题型三：简单随机抽样的概率 【例1】为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【例2】利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（    ） A． B． C． D． 【例3】管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【题型专练】 1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 2．为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级1004人中抽取50人参加测试．首先由简单随机抽样剔除4名学生，然后剩余的1000名学生再用系统抽样的方法抽取，则（    ） A．每个学生入选的概率均不相等 B．每个学生入选的概率可能为0 C．每个学生入选的概率都相等，且为 D．每个学生入选的概率都相等，且为 3．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为_________． 题型四：用样本估计总体 【例1】为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为（    ） A．4000 B．3000 C．1500 D．750 【例2】我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为（    ）．（结果精确到整数） A．133石 B．169石 C．337石 D．1364石 【例3】中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（    ） A．23 B．92 C．128 D．180 【题型专练】 1.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．148石 B．149石 C．150石 D．151石 2．为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了320个学生，调查其是否阅读过四大名著《三国演义》《西游记/水浒传》及《红楼梦》经统计，其中阅读过《三国演义》或《西游记》的有220人，阅读过《三国演义》的有180人，同时阅读过《三国演义》和《西游记》两本书的有120人.用样本估计总体，则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 3．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（    ） A． B． C． D． 题型五：分层随机抽样 【例1】某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（    ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．其他抽样 【例2】“太空教师”的神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富出现在画面中，“天宫课堂”第一课在中国空间站正式开讲．此次太空授课通过为同学们呈现多种精彩的实验和现象，激发了同学们的好奇心，促使他们去观察这些现象，进而去思考、去探索，把科学思维的种子种进心里．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（    ） A．20人 B．30人 C．40人 D．50人 【例3】（多选）某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（    ） A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同 【题型专练】 1．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（    ）人．” A．200 B．100 C．120 D．140 2．某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名. 3．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为40的样本，应抽取不超过45岁的职工______人． 总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计 考点一：众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数. ②中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. ③平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么叫做这n个数的平均数. 考点二：总体集中趋势的估计 ①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. ②一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 考点三　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 ①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. ②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. ③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 考点四：方差、标准差 ①假设一组数据为，则这组数据的平均数， 方差为， 标准差 ②若假设一组数据为，它的平均数为，方差为， 则一组数据为，的平均数为，方差为。 ③标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 题型一：平均数、中位数、极差、众数的计算及应用 【例1】某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分．在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（    ） A．众数 B．标准差 C．平均数 D．中位数 【例2】某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【例3】某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： ,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（    ） A．84 B．86 C．89 D．98 【题型专练】 1.（多选题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（1，2，…，n），c为非零常数，则下列说法错误的是（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本众数不同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 2．设一组样本数据的平均数是3，则数据，，…，的平均数为__________. 题型二：方差、标准差的计算与应用 【例1】下列说法： ①在统计里，把所需考查对象的全体叫作总体； ②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据； ③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势； ④一组数据的方差越大， 说明这组数据的波动越大.其中正确的是（ ） A．② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【例2】已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3】某组样本数据的平方和，平均数，则该组数据的方差（    ） A．1 B． C．2 D． 【例4】（多选）已知一组不全相等的数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新数据，则（    ） A．这两组数据的平均数相同 B．这两组数据的中位数相同 C．这两组数据的极差相同 D．这两组数据的标准差相同 【题型专练】 1．已知样本的平均数是9，方差是2，则（    ） A．41 B．71 C．55 D．45 2．某工厂名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，则这组数据的方差为_____．（参考数据：这组数据的平方和为） 3．已知某区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为24，8，16人，在一次统一考试中，该区三所学校强基学生的平均分分别为118，120，114，方差分别为15，12，21，则该区所有数学强基学生成绩的平均数______，方差______. 题型三：各数据加减乘除对方差、平均数的影响 【例1】已知一组数据的平均数是4，方差是2，那么另一组数据，的平均数，方差分别是（    ） A．12，10 B．12，4 C．10，4 D．10，18 【例2】已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，，的标准差为（    ） A． B． C． D． 2．已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为______________． 频率分布直方图、总体取值规律、总体百分位数的估计 考点一：频率分布直方图 作频率分布直方图的步骤 ①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. ②决定组距与组数 将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来. ③将数据分组 ④列频率分布表 各小组的频率＝. ⑤画频率分布直方图 纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×＝频率. 考点二 ：频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. ③＝样本容量. ④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 考点三：常见统计图表的特点与区别 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. 考点四：百分位数 ①百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. ②常用的百分位数 1.四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. 2.其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数. ③计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 题型一：频率分布直方图 【例1】关山中学为了调查该校学生对于新冠肺炎疫情防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎疫情防控知识竞赛，并从该学校1200名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图，根据频率分布直方图推测，这1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（    ） A．8 B．28 C．96 D．336 【例2】特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策，通过公开招聘高校毕业生到中西部地区"两基"攻坚县、县以下农村学校任教，进而提高农村教师队伍的整体素质，促进城乡教育均衡发展.某市招聘特岗教师需要进行笔试和面试，一共有600名应聘者参加笔试考试，从中随机抽取了100名应聘者，记录他们的笔试分数，将数据分成7组：，，…，，得到如图所示频率分布直方图. (1)若该市计划168人进入面试，请估计参加面试的最低分数线； (2)已知样本中笔试分数低于40分的有5人，试估计总体中笔试分数在内的人数. 【题型专练】 1．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（    ） A．10 B．15 C．0.2 D．0.3 2．为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取名客户的评分，评分均在区间上，分组为、、、、、，其频率分布直方图如图所示.规定评分在分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为________. 3．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220) ，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如下： (1)求直方图中的值； (2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？ 题型二：总体百分数的估算 【例1】高二某班参加了“中国神舟十三号载人飞船航空知识答题”竞赛，10位评委的打分如下：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10，则（    ） A．该组数据第60百分位数为8 B．该组数据第60百分位数为8.5 C．该组数据中位数为7和8 D．该组数据中位数为8 【例2】一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为_____． 【题型专练】 1．已知某组数分别为，则这组数据的第40百分位数是______． 2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：） 56  56  57  58  59  59  61  63  64  65  66  68  69  70  73  74  83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______ 题型三：频率分布直方图平均数、中位数、众数的计算 【例1】在刚刚进行的全校体能测试中，锦一高三某班40名同学体能成绩恰在内，绘成如下频率分布直方图（满分100分），下列说法正确的是（    ） A．该班学生体能成绩的中位数是75分 B．该班占40%的同学体能成绩达到优秀（80分及以上为优秀） C．该班学生体能成绩的平均数是77分 D．该班学生体能成绩的众数是78分 【题型专练】 1．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在元之间． (1)求a的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数，中位数和平均数. 题型四：频率分布直方图中的方差、标准差 【例1】某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，，，，，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数；参考数据： 【例2】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量数据得到频率分布直方图如图所示． (1)补全频率分布直方图； (2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差； (3)当一件产品的质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率． 【题型专练】 1.某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计该组数据的平均数和标准差s（求标准差准确到0.01，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)成绩位于的有多少人？所占百分比是多少？ 2．某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表. (1)求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差； (2)该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案： 方案一：设，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：按每人个月薪水的3%收取. 用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用. 参考数据：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修2学习材料---统计 简单随机抽样 考点一:全面调查(普查)、抽样调查 ①全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查. 总体：调查对象的全体. 个体：组成总体的每一个调查对象. ②抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 样本：从总体中抽取的那部分个体. 样本量：样本中包含的个体数. 考点二:简单随机抽样 ①定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本.如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 考点三:抽签法、随机数法 ①抽签法：把总体中的N个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本. ②随机数法 1.用随机试验生成随机数 2.用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数. 考点四:分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样. 1.每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 2.如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为. 则＝＋.＝＋. 3.在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 考点五:获取数据的途径 获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、通过查询获得数据等. 题型一：简单随机抽样概念的理解 【例1】“知名雪糕放1小时不化”事件曝光后，某市市场监管局从所管辖十五中、十七中、常青一中三校周边超市在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查．在这个问题中，18是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】D 【分析】根据抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的概念，即可判断. 【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体； 个体：把组成总体的每个对象称为个体； 样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本； 样本量：样本中个体的个数叫样本容量，其不带单位； 在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查，在这个问题中，28种雪糕是总体，每一种雪糕是个体，18种雪糕是样本，18是样本量； 故选：D. 【例2】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． ④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】按照简单随机抽样的定义判断即可. 【详解】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个； ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取； ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取； ④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验， 在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不满足无放回抽取． 综上可得以上均不满足简单随机抽样的定义， 故选：A． 【例3】（多选题）年月某市模考共有多名学生参加，教务处为了了解本校名考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，则以下说法中正确的是（    ） A．名考生是总体的一个样本 B．名考生的数学成绩是总体 C．样本容量是 D．多名考生的数学成绩是总体 【答案】BC 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念，可以判断BC正确. 【详解】总体是名考生的数学成绩，样本是抽取的名考生的数学成绩．样本容量是． 故选：BC. 【题型专练】 1．有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱抽3个，乙箱抽1个．下列说法不正确的是（    ） A．总体是36个篮球 B．样本是4个篮球 C．样本容量是4 D．每个篮球被抽到的可能性不同 【答案】D 【分析】利用样本、样本容量、总体的意义，逐项分析判断作答. 【详解】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4，选项A，B，C都正确； 甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为，乙箱抽1个，每个球被抽到的概率为，则每个篮球被抽到的可能性相同，D不正确. 故选：D 2．下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动 B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验 C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本 D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的特点逐项判断可得答案. 【详解】对于A，某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动，每个人被抽到的机会不相等，故错误； 对于B，从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验，是简单随机抽样，故正确； 对于C，从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本，由于被抽取的样本的总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故错误； 对于D，饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，故错误. 故选：B. 3.关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） A．要求被抽取样本的总体的个体数有限 B．从总体中逐个进行抽取 C．一种有放回抽样 D．一种等可能抽样 【答案】ABD 【分析】由简单随机抽样的概念及特征判断. 【详解】解：由简单随机抽样的概念及特征可知ABD正确． 故选：ABD 题型二：随机数表法 【例1】已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号正确的是（    ） A．1，2，…，106 B．0，1，2，…，105 C．00，01，…，105 D．000，001，…，105 【答案】D 【分析】根据随机数表法的抽取原则判断即可. 【详解】由随机数表法抽取原则可知对总体的编号为000，001，…，105. 故选：D. 【例2】从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，…，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为(注：表为随机数表的第行与第行)（    ）                               A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从第一行第5列，两个两个数字取数，前面出现过的或者大于60的剔除，剩下的依次排列即得． 【详解】按题意，从第一行第5列，两个两个数字取数，抽样编号依次为43，36，47，46，24，第5个是24， 故选：A 【例3】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 3221183429    7864540732    5242064438    1223435677    3578905642 8442125331    3457860736    2530073286    2345788907    2368960804 3256780843    6789535577    3489948375    2253557832    4577892345 A．623 B．328 C．253 D．007 【答案】A 【分析】根据随机数表法依次读数即可. 【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据， 第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457， 下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个是623. 故选：A. 【例4】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（    ） 33 21 18 34 29   78 64 56 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77    35 78 90 56 42 84 42 12 53 31   34 57 86 07 32   25 30 07 32 85   23 45 78 89 07    23 68 96 08 04 32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32    45 77 89 23 45 A．623 B．368 C．253 D．072 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用随机数表法按要求每3个数为一个编号，不在编号范围内或重复的排除掉，读数即可. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的前8个编号分别是：253，313，457，860（舍），732（舍），253（舍）， 007，328，523，457（舍），889（舍），072，368，则得到的第8个样本编号是368． 故选:B． 【题型专练】 1．某工厂的质检人员对生产的100件产品采用随机数表法抽取10件进行检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1，2，3，…，100；②001，002，…，100；③00，01，02，…，99；④01，02，03，…，100．其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．③④ C．②③ D．①② 【答案】C 【分析】根据随机数表法的的定义和编号规则，即可求解. 【详解】根据随机数表法的步骤可知，①④编号位数不统一，②③的编号数字统一，所以②③正确. 故选：C. 2．中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为________. 【答案】16 【分析】利用随机数表法进行抽样，即可得到答案. 【详解】利用随机数表法进行简单随机抽样， 依次选出来的号码依次为21，32，09，16，第四个是16. 故答案为：16. 3．嫦娥九号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为_______________． 45   67   32   12   12   31   02   01   04   52   15   20   01   12   51   29 32   04   92   34   49   35   82   00   36   23   48   69   69   38   74   81 【答案】 【分析】根据随机数表法求得正确答案. 【详解】依题意可知，选出的个体编号为：等等， 所以选出来的第7个个体的编号为. 故答案为： 4．要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：________. 注：下面抽取了随机数表第1行至第5行. 03474373863696473661469863716233261680456011141095 97742467624281145720425332373227073607512451798973 16766227665650267107329079785313553858598897541410 12568599269696682731050372931557121014218826498176 55595635643854824622316243099006184432532383013030 【答案】227，665，650，267. 【分析】找到第3行第6列的数2，每3个数组成一个数字，如果数字在001至850之间（包含001和850），即符合要求，从而找到前4个符合要求的数字即可. 【详解】从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，均符合题意. 故答案为：227，665，650，267. 题型三：简单随机抽样的概率 【例1】为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个个体被抽到可能性都是相同的，即可计算得答案. 【详解】由题意可知为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况， 从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的， 故可能为， 故选：B. 【例2】利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等可能事件的概率计算求得，即可求解. 【详解】由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为， 故选：D. 【例3】管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【答案】C 【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解. 【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为， 由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条， 所有池塘中有标记的鱼的概率为：， 又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼， 所以，解得， 即估计该池塘内共有条鱼. 故选：C. 【题型专练】 1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算出总数n即可﹒ 【详解】根据题意，，解得n＝28． 故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为． 故选：C﹒ 2．为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级1004人中抽取50人参加测试．首先由简单随机抽样剔除4名学生，然后剩余的1000名学生再用系统抽样的方法抽取，则（    ） A．每个学生入选的概率均不相等 B．每个学生入选的概率可能为0 C．每个学生入选的概率都相等，且为 D．每个学生入选的概率都相等，且为 【答案】C 【分析】根据简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样以及概率公式计算可得结果. 【详解】因为简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样，所以每个学生入选的概率都相等，且入选的概率等于. 故选：C. 【点睛】本题考查了简单随机抽和系统抽样，考查了概率公式，属于基础题. 3．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为_________． 【答案】 【分析】由简单随机抽样的定义，每个个体被抽到的概率是一样的，结合容量，即可求得概率. 【详解】由题意得，每个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为. 故答案为： 题型四：用样本估计总体 【例1】为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为（    ） A．4000 B．3000 C．1500 D．750 【答案】C 【分析】根据简单随机抽样估计总体，列出方程即可得解. 【详解】设该自然保护区中天鹅的数量为m，则，解得． 故选：C 【例2】我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为（    ）．（结果精确到整数） A．133石 B．169石 C．337石 D．1364石 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用样本频率去估计总体即可计算作答. 【详解】依题意，抽取的样本中，谷的频率为，由此估计1534石米内有谷(石)， 所以这批米内夹谷约为169石. 故选：B 【例3】中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（    ） A．23 B．92 C．128 D．180 【答案】B 【分析】先计算100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数，根据抽样比例计算即可 【详解】由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为人 故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为人 故选：B 【题型专练】 1.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．148石 B．149石 C．150石 D．151石 【答案】A 【分析】抽样调查中简单随机抽样，对象被抽到的概率是相同的， 304粒夹谷30粒，1500石米夹谷的比例是相同的，计算即可. 【详解】由题意可知这批米内夹谷约为（石）． 故选：A. 2．为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了320个学生，调查其是否阅读过四大名著《三国演义》《西游记/水浒传》及《红楼梦》经统计，其中阅读过《三国演义》或《西游记》的有220人，阅读过《三国演义》的有180人，同时阅读过《三国演义》和《西游记》两本书的有120人.用样本估计总体，则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】求出阅读过《西游记》的人数为160人，即得解. 【详解】由题意知：该学校仅阅读过《三国演义》的有180-120=60人， 所以阅读过《西游记》的人数为220-60=160人， 则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该小区学生总人数之比的估计值为. 故选：A 4．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算选择物理的学生人数为，再计算比值得到答案. 【详解】选择物理的学生人数为， 即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为． 故选： 【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力. 题型五：分层随机抽样 【例1】某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（    ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．其他抽样 【答案】C 【分析】根据员工明显来自三个不同的部门可以选择适当的抽样方法． 【详解】由题意员工来自三个不同的部门，因此采取分层抽样方法较合适． 故选：C． 【例2】“太空教师”的神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富出现在画面中，“天宫课堂”第一课在中国空间站正式开讲．此次太空授课通过为同学们呈现多种精彩的实验和现象，激发了同学们的好奇心，促使他们去观察这些现象，进而去思考、去探索，把科学思维的种子种进心里．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（    ） A．20人 B．30人 C．40人 D．50人 【答案】D 【分析】根据题意求得抽样比，再结合高三年级的总人数，即可求得结果. 【详解】由题意可知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人， 则高二年级与高三年级的学生人数比为4：5， 根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高三年级有人． 故选：D． 【例3】某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（    ） A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同 【答案】ACD 【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层随机抽样，所以A正确； 个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有代表性，所以B错误; 因为，所以（辆），（辆），（辆），所以三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆，所以C正确； 分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故选项D正确． 故选：ACD． 【题型专练】 1．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（    ）人．” A．200 B．100 C．120 D．140 【答案】C 【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可 【详解】设北面共有人，则由题意可得 ，解得 所以北面共有120人， 故选：C 2．某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名. 【答案】98 【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解. 【详解】由已知得，男生与女生的比例为：，根据分层抽样的定义， 女生应该抽取的人数为：（人） 故答案为：98 3．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为40的样本，应抽取不超过45岁的职工______人． 【答案】24 【分析】求出两种年龄层次的人数比例，即可按比例求对应年龄层次的人数. 【详解】不超过45岁的人数与超过45岁的人数比列为，故抽取不超过45岁的职工人数为人. 故答案为：24 总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计 考点一：众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数. ②中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. ③平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么叫做这n个数的平均数. 考点二：总体集中趋势的估计 ①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. ②一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 考点三　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 ①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. ②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. ③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 考点四：方差、标准差 ①假设一组数据为，则这组数据的平均数， 方差为， 标准差 ②若假设一组数据为，它的平均数为，方差为， 则一组数据为，的平均数为，方差为。 ③标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 题型一：平均数、中位数、极差、众数的计算及应用 【例1】某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分．在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（    ） A．众数 B．标准差 C．平均数 D．中位数 【答案】D 【分析】根据评分的规则容易判断选项. 【详解】7个数去掉一个最高分，去掉一个最低分，显然中位数是不变的； 故选：D. 【例2】某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据统计图，以及平均数、众数、中位数的定义来计算m、n、的值即可比较大小，得出答案. 【详解】由统计图可知，测试成绩按从高到低的顺序排好后，中间的两个测试成绩为80分，90分， 故中位数（分）， 众数分， 平均数（分）， 则. 【例3】某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： ,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（    ） A．84 B．86 C．89 D．98 【答案】C 【分析】分别考虑，，时，计算平均数，排除不合题意情况，即可求得答案. 【详解】当时，，则不符合题意； 当时，，则不符合题意； 当时，，解得, 故选：C. 故选：D 【题型专练】 1.（多选题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（1，2，…，n），c为非零常数，则下列说法错误的是（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本众数不同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 【答案】AB 【分析】根据平均数和标准差的性质以及众数和极差的概念可得答案. 【详解】设样本数据，，，…，的样本平均数为，样本众数为，样本标准差为， 根据平均数和标准差的性质可知，样本数据，，，…，的样本平均数为，样本标准差为， 根据众数的概念可知，样本数据，，，…，的样本众数为， 根据极差的概念可知两组样本数据的样本极差相同. 所以两组样本数据的标准差和极差相同，平均数和众数不同. 故选：AB 2．设一组样本数据的平均数是3，则数据，，…，的平均数为__________. 【答案】7 【分析】根据平均数的性质求解即可 【详解】∵样本数据的平均数是3， ∴， ∴数据的平均数 故答案为：7 题型二：方差、标准差的计算与应用 【例1】下列说法： ①在统计里，把所需考查对象的全体叫作总体； ②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据； ③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势； ④一组数据的方差越大， 说明这组数据的波动越大.其中正确的是（ ） A．② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】直接根据总体，平均数，众数，中位数，方差的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据定义知①③④正确，平均数反应了这组数据的平均水平，它比一部分数大，比一部分数小，也有可能与某些值相等，故②错误． 故选：B. 【点睛】本题考查了统计中的基本概念，属于简单题. 【例2】已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平均数和方差公式即可求解. 【详解】根据题意知,重新求得样本的平均数为 设收集的98个准确数据为, 则 , , 故选:A. 【例3】某组样本数据的平方和，平均数，则该组数据的方差（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据方差的公式结合已知条件求解即可. 【详解】 ， 故选：D 【例4】已知一组不全相等的数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新数据，则（    ） A．这两组数据的平均数相同 B．这两组数据的中位数相同 C．这两组数据的极差相同 D．这两组数据的标准差相同 【答案】AC 【分析】根据平均数的计算即可判断A正确；举例数据判断B；根据极差的计算方法说明判断C; 根据标准差与方差的关系及方差的计算公式判断D. 【详解】对于A选项，，，， ，平均数不变，所以A选项正确； 对于B选项，取一组数据，中位数为7，平均数为， 加上一个，中位数为，所以B选项错误； 对于C选项，数据不全相等时，既不是最大值也不是最小值，极差不变，所以C选项正确； 对于D选项，原来数据的方差， 后来数据的方差，因为方差不相等，所以标准差也不相同，所以D选项错误. 故选：AC. 【题型专练】 1．已知样本的平均数是9，方差是2，则（    ） A．41 B．71 C．55 D．45 【答案】B 【分析】根据平均数与方差的定义，列出方程，求出与的值，即可得出的值. 【详解】的平均数是9， ， 即①； 又方差是2， ， 即②； 由①②联立， 解得：或； 故选：B. 2．某工厂名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，则这组数据的方差为_____．（参考数据：这组数据的平方和为） 【答案】 【分析】根据方差公式直接计算即可. 【详解】由已知得， ， 方差， 故答案为：. 3．已知某区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为24，8，16人，在一次统一考试中，该区三所学校强基学生的平均分分别为118，120，114，方差分别为15，12，21，则该区所有数学强基学生成绩的平均数______，方差______. 【答案】     117     21.5 【分析】根据总体均值与总体方差的计算公式求解即可. 【详解】解：甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为24，8，16人，则甲、乙、丙三所学科基地学校的人数占比分别为：，， 所以， 方差的公式为，所以 所以， ， 则. 故答案为：117；21.5. 题型三：各数据加减乘除对方差、平均数的影响 【例1】已知一组数据的平均数是4，方差是2，那么另一组数据，的平均数，方差分别是（    ） A．12，10 B．12，4 C．10，4 D．10，18 【答案】D 【分析】根据平均数和方差公式结合题意求解即可. 【详解】因为一组数据的平均数是4，方差是2， 所以， ， 所以数据，的平均数为 ， 方差为 ， 故选：D 【例2】已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可. 【详解】解：由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差分别. 故选：D 【题型专练】 1．数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，，的标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】解：因为数据，，，，的方差， 则数据，，，，的方差为，则标准差为； 故选：A 2．已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为______________． 【答案】1 【分析】根据，的平均数和方差均为4，得到，，从而求出的平均数和方差. 【详解】由题意得：， 解得：，， 且， 解得：， 故的平均数为， 故方差为. 故答案为：1 频率分布直方图、总体取值规律、总体百分位数的估计 考点一：频率分布直方图 作频率分布直方图的步骤 ①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. ②决定组距与组数 将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来. ③将数据分组 ④列频率分布表 各小组的频率＝. ⑤画频率分布直方图 纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×＝频率. 考点二 ：频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. ③＝样本容量. ④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 考点三：常见统计图表的特点与区别 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. 考点四：百分位数 ①百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. ②常用的百分位数 1.四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. 2.其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数. ③计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 题型一：频率分布表 题型一：频率分布直方图 【例1】关山中学为了调查该校学生对于新冠肺炎疫情防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎疫情防控知识竞赛，并从该学校1200名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图，根据频率分布直方图推测，这1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（    ） A．8 B．28 C．96 D．336 【答案】C 【分析】从频率分布直方图可求出优秀的学生所占比例，从而求出1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数. 【详解】从频率分布直方图可求出优秀的学生所占比例为， 故这1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约有， 故选：C 【例2】特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策，通过公开招聘高校毕业生到中西部地区"两基"攻坚县、县以下农村学校任教，进而提高农村教师队伍的整体素质，促进城乡教育均衡发展.某市招聘特岗教师需要进行笔试和面试，一共有600名应聘者参加笔试考试，从中随机抽取了100名应聘者，记录他们的笔试分数，将数据分成7组：，，…，，得到如图所示频率分布直方图. (1)若该市计划168人进入面试，请估计参加面试的最低分数线； (2)已知样本中笔试分数低于40分的有5人，试估计总体中笔试分数在内的人数. 【答案】(1)78 (2)30 【分析】（1）根据题意求得进入面试的频率，再判断最低分数线所在分数区间，结合频率的计算公式得到方程，解之即可； （2）由频率分布直方图求得不低于50分的频率，由题意求得分数低于40分的频率，从而求得笔试分数在内的频率，再由频数等于总数乘以频率即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，得进入面试的频率， 由频率分布直方图可知，笔试分数位于、的频率分别为0.4、0.2， 所以设参加面试的最低分数线， 得，解得， 故参加面试的最低分数线约为78. （2）样本中笔试分数不低于50分的频率为：， 样本中笔试分数低于40分的频率为：， 所以样本中笔试分数在内频率为：， 故总体中笔试分数在内的人数约为（人） 【题型专练】 1．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（    ） A．10 B．15 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【分析】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数，进而即得. 【详解】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数为， 所以课外阅读时间在内的学生的频率为. 故选：C. 2．为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取名客户的评分，评分均在区间上，分组为、、、、、，其频率分布直方图如图所示.规定评分在分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为________. 【答案】 【分析】由频率分布直方图数据求解， 【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间上的频率为：， ∴评分在区间上的客户有（人），即对该公司的服务质量不满意的客户有人. 故答案为：15 3．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220) ，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如下： (1)求直方图中的值； (2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？ 【答案】(1) (2)5 户 【分析】（1）根据小矩形的面积和为1求解即可； （2）根据分层抽样的方法求解即可. 【详解】（1）解：由直方图的性质可得： ，解方程可得： 所以， （2）解：由直方图可得： 月平均用电量为[220，240)的用户有   户， 月平均用电量为[240，260)的用户有 户， 月平均用电量为[260，280)的用户有 户， 月平均用电量为[280，300]的用户有 户， 抽取比例为 ， 所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取 户． 题型二：总体百分数的估算 【例1】高二某班参加了“中国神舟十三号载人飞船航空知识答题”竞赛，10位评委的打分如下：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10，则（    ） A．该组数据第60百分位数为8 B．该组数据第60百分位数为8.5 C．该组数据中位数为7和8 D．该组数据中位数为8 【答案】B 【分析】根据百分位数和中位数的定义求解即可. 【详解】解：这组数据从小到大排为：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10 则，第60百分位数为，故A不符合，B符合； 中位数为：，故C，D均不符合. 故选：B. 【例2】一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为_____． 【答案】14.5 【分析】根据百分位数的计算方法求解即可. 【详解】∵75%×20＝15，∴第75百分位数为第从小到大第15，16位数的平均数，即. 故答案为：14.5 【题型专练】 1．已知某组数分别为，则这组数据的第40百分位数是______． 【答案】## 【分析】将数据从小到大排列，计算10×40%＝4，这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，由此计算可得选项． 【详解】因为从小到大排列为，共10个数据，10×40%＝4， 所以这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数， 即， 故答案为：． 2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：） 56  56  57  58  59  59  61  63  64  65  66  68  69  70  73  74  83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______ 【答案】 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】， 数据从小到大第个数是， 所以第75百分位数为 故答案为： 题型三：频率分布直方图平均数、中位数、众数的计算 【例1】在刚刚进行的全校体能测试中，锦一高三某班40名同学体能成绩恰在内，绘成如下频率分布直方图（满分100分），下列说法正确的是（    ） A．该班学生体能成绩的中位数是75分 B．该班占40%的同学体能成绩达到优秀（80分及以上为优秀） C．该班学生体能成绩的平均数是77分 D．该班学生体能成绩的众数是78分 【答案】C 【分析】根据公式，根据频率分布直方图，分别计算中位数，平均数，众数等. 【详解】A.设中位数为，则， 解得：，故A错误； B.成绩在80分以上的频率为，所以应该是35%的同学体能成绩优秀，故B错误； C.平均分为，故C正确； D.众数应该是77.5，故D错误. 故选：C 【题型专练】 3．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在元之间． (1)求a的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数，中位数和平均数. 【答案】(1)； (2)众数：1750和2250；中位数：1900；平均数：1950． 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可得值； （2）由各组数据的频率和中点值估计众数，中位数和平均数． 【详解】（1）由频率分布直方图， ； （2）由于区间和的频率相等且最高，因此众数是1750和2250； 前3个区间的频率和为，前2个区间的频率和为， 所以中位数在区间上，设中位数为，则，解得； 平均值为． 题型四：频率分布直方图中的方差、标准差 【例1】某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，，，，，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数；参考数据： 【答案】(1)， (2)，进入 【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出的值，再根据平均数的定义可求出； （2）利用方差公式求出方差，然后计算出，再判断即可. 【详解】（1）． . 该次校内考试测试分数的平均数的估计值为： 分. （2） ． ， ． 得分为52分的同学的成绩没有进入到，内， 得分为94分的同学的成绩进入到了，内． 【例2】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量数据得到频率分布直方图如图所示． (1)补全频率分布直方图； (2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差； (3)当一件产品的质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率． 【答案】(1)作图见解析 (2)， (3)0.95 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出对应的频率，即可补全频率分布直方图； （2）根据平均数、方差公式计算可得； （3）根据频率分布直方图求出产品的质量指标值位于的频率，即可得解. （1） 解：由频率分布直方图得对应的频率为， 由此补全频率分布直方图如图： （2） 解：由频率分布直方图可得平均数 ， 方差． （3） 解：质量指标值位于的频率为 ． 故样本中的产品为合格品的频率为． 【题型专练】 1.某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计该组数据的平均数和标准差s（求标准差准确到0.01，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)成绩位于的有多少人？所占百分比是多少？ 【答案】(1)74.2，12.62 (2)成绩位于的有48人，所占百分比为96% 【分析】（1）利用区间中点值为代表计算出平均数，进而计算出方差，标准差； （2）计算出，，先得出成绩位于［48.96，99.44]外的人数，从而计算出成绩位于的人数和所占百分比. （1） ． ． ∴． （2） 由（1）得s≈12.62． ∴，． 结合题图，得成绩位于［48.96，99.44]外的只有2人．即成绩位于的有48人，所占百分比为96%． 2．某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表. (1)求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差； (2)该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案： 方案一：设，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：按每人个月薪水的3%收取. 用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用. 参考数据：. 【答案】(1)平均数2；方差 (2)方案一 【分析】（1）以每组的中点值代表该组的数据求解平均数，再根据公式计算方差即可； （2）根据题意分别计算两种方案的费用，再判断即可. （1） 样本平均数（万元）， 样本方差（万元2）. （2） 方案一：（万元），. 月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（万元）； 月薪落在区间Ω内收取费用约为（万元）； 月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（万元）. 因此这50人共收取费用约为（万元）. 方案二：这50人共收取费用约为（万元）. 故方案一能收到更多的费用. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$