专题2 空间中的平行关系（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块7立体几何中的第2个专题空间中的平行关系。本专题涵盖直线与平面平行的定义、判定定理、性质定理，平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 空间中的平行关系（讲义） 知识点1 直线与平面平行 1. 直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. 2. 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 3. 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 知识点2 平面与平面平行 1. 平面与平面平行的定义 两个平面没有公共点 2. 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： 3. 平面与平面平行的性质定理 （1）性质定理1 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言： （2）性质2 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面 符号语言： 【考试题型1】证明线面平行 【例1】（2025年·河南对口升学高考）如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面. 【考试题型2】证明线面平行 【例2】（2023年·河南对口升学高考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【考试题型3】考查空间中的平行关系 【例3】（2018年·河南对口升学高考）下列命题中，错误的是（       ） A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 【考试题型4】证明线面平行 【例4】（2018年·河南对口升学高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱 形，，底面，，，分别是，的中点. （1）证明：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 【考试题型5】考察的平行的传递性 【例5】（2013年·河南对口升学高考）平行于同一条直线的两条直线一定（       ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．平行或异面 题型考点一 线面平行、面面平行的有关概念 1．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（       ） A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 2．下列条件中，能得出直线与平面平行的是（       ） A．直线与平面内的所有直线平行 B．直线与平面内的无数条直线平行 C．直线与平面没有公共点 D．直线与平面内的一条直线平行 3．若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是（       ） A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数个点都在平面外 C．直线上有无数个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 4．正方体的六个面中相互平行的平面有（       ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 5．已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（       ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 6．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（       ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 7．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是（       ） A．垂直 B．平行 C．l⊂β D．平行或l⊂β 8．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（       ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 9．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（       ） A．平行 B．相交 C．平行或直线在平面内 D．相切 10．如图，在正方体中，与截面的位置关系是 ，与平面的位置关系是 ． 题型考点二 直线与平面平行的判定和性质 1．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（       ） A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 2．在三棱锥中，点，分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（       ） A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定 3．如图，已知平面α平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为（       ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 4．已知直线，两个不重合的平面.若//，，则下列四个结论中正确的是（       ） ①与内的所有直线平行；                           ②与内的无数条直线平行； ③与内任何一条直线都不垂直；             ④与没有公共点. A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 5．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（       ） A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定 6．如图,在下列四个正方体中, 为正方体的两个顶点, 为所在棱的中点, 则在这四个正方体 中, 直线与平面不平行的是（       ） 7．已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F，G分别为PA，PD，CD的中点，则BC与平面EFG的位置关系为 ． 8．已知、、、四点不共面，且平面，，，，，，则四边形是 四边形． 9．已知正方体，求证：平面. 10．如图所示，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1. 题型考点三 平面与平面平行的判定与性质 1．设，为两个平面，则∥的充要条件是（       ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 2．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线 a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线 b，则 a，b 的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 3．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（       ） A．平面α内有一条直线与平面β平行 B．平面α内有两条直线与平面β平行 C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D．平面α与平面β不相交 4．平面与平面平行的充分条件是（       ） A．内有无穷多条直线都与平行 B．直线，直线，且 C．内的任何一条直线都与平行 D．直线，且直线不在内，也不在内 5．如图，在三棱柱中，点，分别为，上的动点，若平面平面，请问是否为定值.若为定值求出该值，若不是定值，说明理由. 6．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 7．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 8．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．已知，若平面平面，求的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块7立体几何中的第2个专题空间中的平行关系。本专题涵盖直线与平面平行的定义、判定定理、性质定理，平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 空间中的平行关系（讲义） 知识点1 直线与平面平行 1. 直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. 2. 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 3. 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 知识点2 平面与平面平行 1. 平面与平面平行的定义 两个平面没有公共点 2. 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： 3. 平面与平面平行的性质定理 （1）性质定理1 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言： （2）性质2 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面 符号语言： 【考试题型1】证明线面平行 【例1】（2025年·河南对口升学高考）如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用长方体的结构特征与平行四边形的判定与性质证得，再利用线面平行的判定定理即可得解. 【解析】证明：连接交于，连接，连接， 因为为长方体， 所以，，则四边形为平行四边形， 易知为中点，为中点， 所以，， 则四边形是平行四边形，则 又平面，平面， 所以平面. 【考试题型2】证明线面平行 【例2】（2023年·河南对口升学高考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 【考试题型3】考查空间中的平行关系 【例3】（2018年·河南对口升学高考）下列命题中，错误的是（       ） A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 【答案】C 【解析】若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线不一定互相平行，所以C选项错误， 故选：C. 【考试题型4】证明线面平行 【例4】（2018年·河南对口升学高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱 形，，底面，，，分别是，的中点. （1）证明：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴， ∵，，所以∥平面. （2）∵是的中点， ∴点P到底面ABCD的高是点E到底面ABCD的高的2倍， ，， 所以. 【考试题型5】考察的平行的传递性 【例5】（2013年·河南对口升学高考）平行于同一条直线的两条直线一定（       ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【答案】B 【解析】根据平行的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线一定平行， 故选：B. 题型考点一 线面平行、面面平行的有关概念 1．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（       ） A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 【答案】D 【解析】若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l∥a或l与a异面，故l与a没有公共点， 故选：D. 2．下列条件中，能得出直线与平面平行的是（       ） A．直线与平面内的所有直线平行 B．直线与平面内的无数条直线平行 C．直线与平面没有公共点 D．直线与平面内的一条直线平行 【答案】C 【解析】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误； 对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行，故B错误； 对C，能推出与平行； 对D，当直线在平面内时，与不平行. 故选：C. 3．若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是（       ） A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数个点都在平面外 C．直线上有无数个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 【答案】B 【解析】直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数个点都在平面外． 故选：B. 4．正方体的六个面中相互平行的平面有（       ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【解析】由正方体模型可知，六个面中共有3对相对的面互相平行． 故选：B. 5．已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（       ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【答案】D 【分析】根据空间中线面位置关系的基本事实直接判断选项即可. 【解析】依题意，直线必与平面内的某直线平行， 又，因此直线与平面的位置关系是平行或直线在平面内． 故选：D. 6．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（       ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【解析】因为α∥β，所以α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β， 所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面． 故选：D. 7．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是（       ） A．垂直 B．平行 C．l⊂β D．平行或l⊂β 【答案】D 【解析】如图:，l//β或l⊂β， 故选：D. 8．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（       ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示． 故选：C. 9．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（       ） A．平行 B．相交 C．平行或直线在平面内 D．相切 【答案】C 【解析】如图1所示，与平行，，而直线在平面内， 如图2所示，与平行，，而. 综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内， 故选：C. 10．如图，在正方体中，与截面的位置关系是 ，与平面的位置关系是 ． 【答案】相交     平行 【解析】与截面相交，由题意得， 而平面，平面， 所以平面， 故答案为：相交，平行. 题型考点二 直线与平面平行的判定和性质 1．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（       ） A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 【答案】B 【解析】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA， 故选：B. 2．在三棱锥中，点，分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（       ） A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定 【答案】A 【解析】因为，所以． 又平面平面，所以平面， 故选：A. 3．如图，已知平面α平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为（       ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【解析】由题意知：在同一平面内， 且面面，面面， ∵面α面β，∴， 故选：A. 4．已知直线，两个不重合的平面.若//，，则下列四个结论中正确的是（       ） ①与内的所有直线平行；                           ②与内的无数条直线平行； ③与内任何一条直线都不垂直；             ④与没有公共点. A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】由面面平行的性质知①错误； 由面面平行的性质知②正确； 与内的直线可能异面垂直，故③错； 由面面平行的定义知④正确， 故选：B. 5．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（       ） A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定 【答案】B 【解析】由长方体的性质各对面平行及面面平行的性质定理，易知HG∥EF，EH∥FG， 所以四边形EFGH为平行四边形． 故选：B. 6．如图,在下列四个正方体中, 为正方体的两个顶点, 为所在棱的中点, 则在这四个正方体 中, 直线与平面不平行的是（       ） 【答案】A 【解析】项作如图(1)所示的辅助线, 其中为的中点, 则.因为平面 , 所以与平面相交, 所以直线与平面 相交. 项, 作如图(2)所示的辅助线, 则, , 所以.又 平面平面, 所以 平面 . C 项, 作如图(3)所示的辅助线, 则 , , 所以 .又 平面 平面 , 所以 平面 . 项, 作如图 (4) 所示的辅助线, 则,, 所以 .又 平面 平面 , 所以 平面 . 故选：A. 7．已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F，G分别为PA，PD，CD的中点，则BC与平面EFG的位置关系为 ． 【答案】平行 【解析】因为E，F是PA，PD的中点，所以， 又因为ABCD为平行四边形，所以，因此， 又因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG， 故答案为：平行． 8．已知、、、四点不共面，且平面，，，，，，则四边形是 四边形． 【答案】平行 【解析】由题，平面平面， 因为平面，所以， 又平面平面，所以，则， 同理，所以四边形EFHG是平行四边形， 故答案为：平行. 9．已知正方体，求证：平面. 【答案】证明见详解 【解析】证明：在正方体中，易知， 因为平面，平面， 所以平面． 10．如图所示，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为BB1∥CC1，BB1⊄平面CDD1C1，CC1⊂平面CDD1C1， 所以BB1∥平面CDD1C1. 又BB1⊂平面BEE1B1， 且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1， 所以BB1∥EE1. 题型考点三 平面与平面平行的判定与性质 1．设，为两个平面，则∥的充要条件是（       ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】对于A，内有无数条直线与平行，或∥∥； 对于B，内有两条相交直线与平行，∥； 对于C，，平行于同一条直线，或∥； 对于D，，垂直于同一平面，或∥． 故选：B． 2．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线 a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线 b，则 a，b 的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【解析】两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线 a，b 平行， 故选 ：A． 3．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（       ） A．平面α内有一条直线与平面β平行 B．平面α内有两条直线与平面β平行 C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D．平面α与平面β不相交 【答案】D 【解析】A，C不正确，因为两个平面可能相交；B不正确， 因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；D正确， 因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种， 故选：D. 4．平面与平面平行的充分条件是（       ） A．内有无穷多条直线都与平行 B．直线，直线，且 C．内的任何一条直线都与平行 D．直线，且直线不在内，也不在内 【答案】C 【解析】C选项是面面平行的定义，A，B，D中，平面与平面相交时都有可能满足， 故选：C. 5．如图，在三棱柱中，点，分别为，上的动点，若平面平面，请问是否为定值.若为定值求出该值，若不是定值，说明理由. 【答案】是定值1，理由见解析. 【解析】解：如图，连接交于点，连接， 由棱柱的性质，可知四边形为平行四边形，所以为的中点， 因为平面∥平面，且平面平面，平面平面， 所以∥，所以为线段的中点，所以， 因为平面∥平面，平面平面，平面平面， 所以∥，因为∥，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以. 6．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG．∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴． ∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG． ∵，∴平面平面BCHG． 7．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. 8．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．已知，若平面平面，求的值； 【答案】． 【解析】解：若面面，面面，面面， 由面面平行的性质定理知：，于是， 由为的中点知：为的中点， 故， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$