专题3 空间中的垂直关系（练习题） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块7立体几何中的第3个专题空间中的垂直关系。本专题涵盖直线与平面垂直、线面角、二面角、平面与平面垂直等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3 空间中的垂直关系（练习题） 一、选择题 1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（       ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内 2．二面角的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．已知且，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 5．已知直线，与平面，，（互不相同），则能使的充分条件是（       ） A．， B．， C．， D．，， 6．在正方体中, 二面角的大小是（       ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是 .(填序号) 8．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件 _时，有.（只需填写一种正确条件即可） 9．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 10．在正方体中，二面角的大小为 . 三、解答题 11．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM. 12．如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点． 求证：(1)PE⊥平面ABCD； (2)平面PBE⊥平面ABCD. 一、选择题 1．已知直线平面，则直线平面是直线的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 3．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．已知两条不同的直线m､和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（       ） A．若m，⊥m，则⊥α B．若β，⊥，，则⊥m C．若m，⊥，则m⊥ D．若m，，则m 5．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（       ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 二、填空题 7．将正方形沿对角线折成直二面角后， . 8．如图，线段，在平面内，，，且，，.则，两点之间的距离为 . 9．如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有 . (写出全部正确命题的序号). ①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面. 10．已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 三、解答题 11．如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：VA⊥平面VBC. 12．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点． （1）证明：平面； （2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块7立体几何中的第3个专题空间中的垂直关系。本专题涵盖直线与平面垂直、线面角、二面角、平面与平面垂直等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3 空间中的垂直关系（练习题） 一、选择题 1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（       ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内 【答案】A 【解析】梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知线面关系为垂直， 故选：A. 2．二面角的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二面角的定义判定选项即可. 【解析】由二面角的定义可知，二面角的平面角范围是. 故选：D. 3．已知且，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：因为，，所以，所以充分性满足； 必要性：因为且，，，所以，所以必要性满足， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 4．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】平面，与平面所成的角为， 又，，可得，而平面平面， 与平面所成角的正弦值为， 故应选：B. 5．已知直线，与平面，，（互不相同），则能使的充分条件是（       ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由线面、面面位置关系即可逐一判断各个选项并求解. 【解析】对于A，若，，则平行或相交，故A错误； 对于B，若，则存在使得， 因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于C，若，则平行，故C错误； 对于D，若，，，则只能说明相交但不一定垂直，故D错误. 故选：B. 6．在正方体中, 二面角的大小是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从图中可知，， 则即为二面角， ∵，， 所以二面角的大小是：， 故选：C. 二、填空题 7．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是 .(填序号) 【答案】①③④ 【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的， 1， ③，④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直， 2， 而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件． 故答案为：①③④. 8．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件 _时，有.（只需填写一种正确条件即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】根据直四棱柱可得：∥，且， 所以四边形是矩形，所以∥， 同理可证：∥， 当时，可得：，且底面， 而底面，所以， 而，从而平面， 因为平面，所以， 所以当满足题意. 故答案为：. 9．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面角的定义直接求解. 【解析】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：    10．在正方体中，二面角的大小为 . 【答案】 【解析】 平面，平面， 又，平面， 即为二面角的平面角，  ，  二面角的大小为， 故答案为：. 三、解答题 11．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为AB为⊙O的直径，M为圆周上任意一点， 所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM. 又因为PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， 所以AN⊥平面PBM. 12．如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点． 求证：(1)PE⊥平面ABCD； (2)平面PBE⊥平面ABCD. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PE⊥平面ABCD. (2)由(1)知PE⊥平面ABCD， 又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD. 一、选择题 1．已知直线平面，则直线平面是直线的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：直线平面，垂直于平面内所有直线， 又直线平面，直线直线，充分性成立； 必要性：若且直线平面，根据线面垂直判定定理得直线平面不成立，必要性不成立， 故选：B. 2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 【答案】C 【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 对于,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则与平行或相交，故错误； 对于,若m∥α，m∥n，则n∥α 或，故错误； 对于,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确； 对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误， 故选：. 3．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解析】设正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，连接底面对角线AC(图略)，AC＝， 易知△PAC为等腰直角三角形. AC中点为O， 由正四棱锥知PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角为45°. 故选：B． 4．已知两条不同的直线m､和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（       ） A．若m，⊥m，则⊥α B．若β，⊥，，则⊥m C．若m，⊥，则m⊥ D．若m，，则m 【答案】B 【解析】若m，⊥m，则或l与α相交但不垂直，故A是假命题； 若β，⊥，则⊥β，又，∴l⊥m，故B是真命题； 若m，⊥，则m或m⊥或m与β相交但不垂直，或者m∥β，故C是假命题； 若m，，则m或m，故D是假命题， 故选：B. 5．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取的中点，连接， 三棱柱为直三棱柱，则平面， 又平面，所以， 又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点， 从而，而平面，平面，且， 所以平面， 则为与平面所成的角.在直角中， ， 故选：C. 6．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（       ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】如图所示，分别连接， 因为平面，可得 又因为，利用勾股定理，可得， 所以点一定是的外心， 故选：B． 二、填空题 7．将正方形沿对角线折成直二面角后， . 【答案】 【解析】设正方形对角线的焦点为O，边长为2， 根据直二面角的性质知，折起后DB=2，又因为DA=DB=2， 所以为等边三角形，， 故答案为：. 8．如图，线段，在平面内，，，且，，.则，两点之间的距离为 . 【答案】 【分析】由已知可得，根据可求． 【解析】，， ，，， ，， 故答案为：． 9．如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有 . (写出全部正确命题的序号). ①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面. 【答案】③ 【解析】因为，且是的中点，所以，同理有， 因为，平面，所以平面. 因为在平面内，所以平面平面， 又由于平面，所以平面平面， 故答案为：③． 10．已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 【答案】 【分析】设棱长均为2，取的中点，分析可知二面角的平面角为，结合余弦定理运算求解即可. 【解析】设正三棱锥的棱长均为2， 取的中点，连接， 则，且， 可知二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 则， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：. 三、解答题 11．如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：VA⊥平面VBC. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB， BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面VAB. 又VA⊂平面VAB，所以BC⊥VA. 又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA. 又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC. 12．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点． （1）证明：平面； （2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：如图，连结，设与的交点为O，连接． 因为四边形为矩形，所以点O为的中点． 又点E为的中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． （2）解：作于点H． ∵平面，平面，∴， 又∵为矩形，， ∴， 由，可得． 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，故平面， 即的长就是点A到平面的距离． 因为，所以， 因此为与平面所成角， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$