第二章 一元二次方程第5课　解一元二次方程(3)——公式法 课件 -2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第5课　解一元二次方程(3)——公式法 第二章　一元二次方程 　　将x2－4＝5x化为一元二次方程的一般形式为 ⁠ .其中a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. x2－5x－4＝ 0　 1　 －5　 －4　 用公式法解一元二次方程 (1)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它 的根是x＝ ，这个式子称为一元二次方程的求根公 式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. (2)b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式， 通常用希腊字母“Δ”来表示. 　 Δ＞0⇒x1≠x2 1母题演变 (教材P42)用公式法解方程： x2－6x－11＝0. 解：a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. Δ＝b2－4ac＝ ＝ ＞0. x＝ ＝ 　 　＝ 　3±2 　. x1＝ 　3＋2 　，x2＝ 　3－2 　. 1　 －6　 －11　 (－6)2－4×1×(－11)　 80　 　 3±2 　 3＋2 　 3－2 　 2变式训练 用公式法解方程： 3x2＝4x－1. 解：原方程可化为3x2－4x＋1＝0. ∵a＝3，b＝－4，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×1＝4＞0. 则x＝ ，即x1＝ ，x2＝1. Δ＝0⇒x1＝x2＝－ 3母题演变 (教材P42)用公式法解方程： 2x2＝2 x－1. 解：原方程可化为2x2－2 x＋1＝0. ∵a＝2，b＝－2 ，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×2×1＝0. ∴方程有两个相等的实数根. ∴x1＝x2＝－ ＝－ ＝ . 4变式训练 用公式法解方程： x2－4x＝2x－9. 解：原方程可化为x2－6x＋9＝0. ∵a＝1，b＝－6，c＝9， ∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0. ∴x＝ ＝3. ∴x1＝x2＝3. Δ＜0⇒方程无实根 5经典例题 用公式法解方程： 2x(x－1)＋1＝0. 解：原方程可化为2x2－2x＋1＝0. ∵a＝2，b＝－2，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝－4＜0. ∴方程无实数根. 6变式训练 用公式法解方程： x(x－3)＋5＝0. 解：原方程化为x2－3x＋5＝0. ∵a＝1，b＝－3，c＝5， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×5＝－11＜0. ∴方程无实数根. (1)公式法解一元二次方程的步骤：①化为一般式，确定a，b，c. ②计算Δ.③当Δ≥0时，代入求根公式求解；当Δ＜0时，方程无 实数根. (2)公式法也叫“万能法”，能解所有的一元二次方程. 　基础过关 1. 一元二次方程3x－1＋2x2＝0在用求根公式 x＝ 求解 时，a，b，c的值是(　D　) A. 3，－1，2 B. 2，－1，3 C. 2，3，1 D. 2，3，－1 D 2. 若关于x的一元二次方程的根为x＝ ，则这个方 程是(　C　) A. x2＋2x＋4＝0 B. x2－2x＋4＝0 C. x2＋2x－4＝0 D. x2－2x－4＝0 C 　能力过关 3. 解方程： 2x2－5x＋4＝0. 解：∵a＝2，b＝－5，c＝4， ∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×2×4＝－7＜0. ∴方程无实数根. 4. 解方程： x(x－3)＝2. 解：原方程可化为x2－3x－2＝0. ∵a＝1，b＝－3，c＝－2， ∴Δ＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0. ∴x＝ ＝ . ∴x1＝ ，x2＝ . 　思维过关 5. 【推理能力、创新意识】(新定义问题)如果一元二次方程的两根 相差1，那么该方程称为“差1方程”.例如x2＋x＝0是“差1方程”. (1)判断方程x2－ x＋1＝0是不是“差1方程”，并说明理由； 解：x2－ x＋1＝0是“差1方程”.理由如下： ∵a＝1，b＝－ ，c＝1，∴Δ＝(－ )2－4×1×1＝1＞0. ∴x＝ ＝ .∴x1＝ ，x2＝ . ∵ － ＝1，∴x2－ x＋1＝0是“差1方程”. (2)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a＞0)是“差1方 程”，设t＝b2－6a＋5，求t的最小值. 第(2)问中，可以先利用求根公式得出a，b之间的关系 式，代入t＝b2－6a＋5中消元，再用配方法求最值.配方法求最值问 题时，用拆或凑的方法，将其配成完全平方式，再根据平方的非负 性求最值. 解：由题意，得Δ＝b2－4a×1＝b2－4a＞0. 解方程ax2＋bx＋1＝0，得x＝ . ∵关于x的方程ax2＋bx＋1＝0是“差1方程”， ∴ － ＝1.∴b2＝a2＋4a. ∵t＝b2－6a＋5，∴t＝a2－2a＋5＝a2－2a＋1＋4＝(a－1)2＋4. ∵a＞0，(a－1)2≥0， ∴当(a－1)2＝0，即a＝1时，t取最小值，最小值为4. 拓展提问：在第(2)问中，设m＝10a－b2，则m的最大值为 ⁠. 9　 $$