【第十三章 三角形 01讲 三角形的概念】【两大知识点+三大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（人教版）

第十三章 三角形 01讲 三角形的概念 题型归纳 【题型1. 三角形的概念】………………………………………………………………… 2 【题型2. 三角形的个数问题】…………………………………………………………… 4 【题型3. 三角形的分类】………………………………………………………………… 5 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 6 知识清单 知识点1 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点2 三角形的分类 1.按角分类：三角形 2.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；（其中相等的边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角） ②三边都相等的三角形叫作等边三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如上图） 题型专练 题型1. 三角形的概念 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【变式4】（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 题型2. 三角形的个数问题 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，以为高的三角形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有 对． 【变式1】（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【变式3】（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么， ．    题型3. 三角形的分类 【例1】（2025·浙江杭州·一模）若是锐角三角形，且，则可能的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【变式1】（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023七年级下·全国·专题练习）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 3．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）一个三角形的三个内角中最小的一个是，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 6．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）在中，下列条件能说明是直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为在关于点B的二分割线．例如：如图（1）在中，，则直线是关于点B的二分割线．如图（2），已知，钝角同时满足两个条件①为最小的角，②存在关于点B的二分割线，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 12．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 13．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）已知在中： （1）若，则 ， ， ，此三角形为 三角形； （2）若大于，则此三角形为 三角形． 15．（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状 是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 16．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在中，若，则一定 是 三角形． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）中，如果是的两倍，且比大，那么是 三角形．（按角分类） 18．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．      19．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一个等腰三角形的顶角和底角之比为，这个三角形最大的角为 度，按角分是 三角形． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形 01讲 三角形的概念 题型归纳 【题型1. 三角形的概念】………………………………………………………………… 2 【题型2. 三角形的个数问题】…………………………………………………………… 5 【题型3. 三角形的分类】………………………………………………………………… 8 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 11 知识清单 知识点1 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点2 三角形的分类 1.按角分类：三角形 2.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；（其中相等的边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角） ②三边都相等的三角形叫作等边三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如上图） 题型专练 题型1. 三角形的概念 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A不符合题意； B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B不符合题意； C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C不符合题意； D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D符合题意．故选：D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【分析】该题主要考查了三角形的概念和三角形的角和边，解题的关键是掌握三角形中的相关定义． （1）根据三角形的定义解答即可； （2）根据三角形的顶点、边、角解答即可． 【详解】解：（1）根据图形可得，如图所示的图形中共有4个三角形，它们分别是； （2）根据图形可得，的三个顶点分别是B，G，E，三条边分别是，三个角分别是． 故答案为：4；；B，G，E；；． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 【变式2】．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式3】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 【变式4】（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【详解】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 题型2. 三角形的个数问题 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，以为高的三角形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．由于于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数． 【详解】解：∵于D， 而图中有一边在直线上，且以A为顶点的三角形有6个，分别为 ∴以为高的三角形有6个． 故选：C． 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题主要考查了三角形的个数问题，掌握不在同一直线上三点可以确定一个三角形成为解题的关键． 根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行解答即可． 【详解】解：根据图示知，图中的三角形有：，共有5个． 故选：C． 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有 对． 【分析】找到以为边的三角形，即可得解． 【详解】解：以为公共边的“共边三角形”有与、与、与共3对． 故答案为：3． 【变式1】（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可． 【详解】解：图中的三角形有：，共16个， 故选：D 【变式3】（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么， ．    【分析】本题主要考查了图形类规律题，根据题意得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：24 题型3. 三角形的分类 【例1】（2025·浙江杭州·一模）若是锐角三角形，且，则可能的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了锐角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵ 是锐角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键． 根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形解答即可． 【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形； 按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）． 【变式1】（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有、、、、，一共5个， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为180度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为， ∴这个三角形最大的内角度数为， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据已知条件和三角形内角和定理求出这个三角形三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查三角形的基本性质，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键；因此此题可根据三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，说法正确； ②三角形按边分类可分等腰三角形和不等边三角形，原说法错误； ③三角形的两边之差小于第三边，原说法错误； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，说法正确； 故选：B． 2．（2023七年级下·全国·专题练习）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形． 如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形． 如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形． 因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 3．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）一个三角形的三个内角中最小的一个是，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的分类，根据三角形内角和推理最大角的度数范围是解题的关键． 根据最小角为，设的最大角为，最小角为，结合三角形的内角和可推得最大角为锐角． 【详解】不妨设中的最小角，最大角为，则 即：三角形最大角为锐角． 故三角形一定为锐角三角形． 故选：B． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【分析】根据三角形内角和定理求得、、的度数，由此可以推知是直角三角形．本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于是解答本题的关键． 【详解】解：∵在中，，， 则，， 解得， ∴是直角三角形． ∵， ∴是等腰直角三角形． 故选：A． 5．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键. 根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可. 【详解】解：等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，故选项D符合题意. 故选：D． 6．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 7．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 8．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）在中，下列条件能说明是直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形按角分类，解题的关键是求出三角形中最大内角的度数． 利用三角形内角和定理，结合已知条件求出三角形的最大内角，即可判断． 【详解】解：A、∵，， ∴， 是锐角三角形，故此选项不符合题意． B、∵，， ∴， 是等边三角形，故此选项不符合题意． C、，， ， 是直角三角形，故此选项符合题意． D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 是钝解三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查了三角形内角和定理；根据三角形内角和为，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】①， ， ， 是直角三角形，故①正确； ②， ， ， 不是直角三角形，故②不正确； ③：：：：， 最大角；故③正确； ④， ， ，故④正确； ⑤＝＝， ， ，故⑤正确； 综上所述，是直角三角形的是①③④⑤共个． 故选：C． 10．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为在关于点B的二分割线．例如：如图（1）在中，，则直线是关于点B的二分割线．如图（2），已知，钝角同时满足两个条件①为最小的角，②存在关于点B的二分割线，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了新定义，直角三角形，等腰三角形的定义，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键．根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】如图所示：作于点D， ∵， ∴， ∴为等腰三角形，为直角三角形， ∴为在关于点B的二分割线． ∵， ∴． 故选C． 二、填空题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 12．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：图中有共10个三角形， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）已知在中： （1）若，则 ， ， ，此三角形为 三角形； （2）若大于，则此三角形为 三角形． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形形状的判断，一元一次方程的应用，（1）设，，，根据三角形内角和求出x，即可得出结果；（2）根据题意可判断出即可做出判断． 【详解】解：（1）， 设，，， ， 解得：， ，，， 为直角三角形； 故答案为：，，，直角； （2）当时，可得， 为钝角三角形， 故答案为：钝角． 15．（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状 是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，然后根据三角形的分类求解即可． 【详解】解：∵的三个内角的比为， ∴中最大角为， ∴的形状是直角三角形， 故答案为：直角． 16．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在中，若，则一定 是 三角形． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和定理和已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴一定是直角三角形， 故答案为：直角． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）中，如果是的两倍，且比大，那么是 三角形．（按角分类） 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设，得到，，根据三角形内角和定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别． 【详解】 解：设， ∵是的两倍， ∴， ∵比大， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 18．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．      【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A组成角，即以 为顶点的角有10个；以 为顶点的角即组成对应的三角形． 【详解】解：根据题意得，线段有共10条线段； 以 为顶点的角 三角形有 上述线段都与点A组成交，即以 为顶点的角有10个； 以 为顶点的角即组成对应的三角形． 故答案为：10，10，10． 19．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一个等腰三角形的顶角和底角之比为，这个三角形最大的角为 度，按角分是 三角形． 【分析】本题考查了三角形的内角和为，等腰三角形的性质，三角形的分类，根据三角形的内角和为，再根据等腰三角形的顶角与底角的度数比是列式计算即可． 【详解】解：一个等腰三角形的顶角和底角之比为， 该三角形的三个内角度数之比为， 又三角形的内角和是， 这个三角形最大的角为，按角分是直角三角形， 故答案为：90，直角． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$