精品解析：云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期末检测数学试卷

丽江市第一高级中学20242025学年高二下学期期末检测 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本题共计8题，共计40分) 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】，所以答案选择B 【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题. 3. 设复数满足,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以，选C. 4. 我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形的半径为3，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件确定几何体的结构特征，再由球和锥体体积公式求其体积. 【详解】扇形绕直线旋转一周，阴影部分的体积为：半个球减去一个圆锥. 球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为3. 所以. 故选：C. 5. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1， 设圆C的圆心为C（﹣1，h），则圆C的半径r=， ∵直线x+y﹣3=0与圆C相切， ∴圆心C到直线的距离d=r，即=， 解得h=0（舍）或h=﹣8． ∴r==14． 故选D 6. 如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 7. 函数(其中e为自然对数的底)的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性进行判断即可得到结论． 【详解】∵， ∴函数为偶函数 ，图象关于y轴对称， ∴选项B,D不正确． 又当时，函数单调递减， ∴函数在上为减函数， ∴选项A不正确． 故选C． 【点睛】函数图象的识别主要考查已知函数解析式，结合函数性质，识别函数图象，综合性较强，常以选择题的形式出现，难度中等偏下，常用特殊点法、排除法求解． 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数判断函数的单调性，结合函数的奇偶性，即可进行判断. 【详解】因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且，故是偶函数； 又当时，， 故在上恒成立， 故在上单调递增，结合函数是偶函数， 故在上单调递减. 又因为， 故可得， 则. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，函数奇偶性的判断，涉及利用函数性质比较大小，属综合中档题. 二、多选题(本题共计3题，共计18分) 9. 已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ） A. 相关变量，具有正相关关系 B. 去除异常数据后，新的平均数 C. 去除异常数据后的经验回归方程为 D. 去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据正相关的定义得到A正确；B选项，根据得到B错误；C选项，先求出，进而得到，结合新的经验回归直线的斜率得到新的经验回归方程；D选项，去除异常数据后，斜率由增大到3，故D错误. 【详解】A选项，因为回归方程的斜率为正，所以相关变量，具有正相关关系，所以A正确； B选项，因为，所以去除两个异常数据和后， 得到新的，所以B错误； C选项，由代入得， 故去除两个异常数据和后，， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3， 所以， 所以去除异常数据后的经验回归方程为，故C正确； D选项，因为经验回归直线的斜率为正数，所以变量，具有正相关关系， 且去除异常数据后，斜率由增大到3，故值增加的速度变大，D错误. 故选：AC． 10. 设是公比为的等比数列的前项和，且成等差数列，则下列说法正确的有（ ） A. B. 成等差数列 C. 成等比数列 D. 成等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的定义，结合等比数列通项求出公比的关系，再逐项判断作答. 【详解】依题意，，即有， 有，而数列是公比为的等比数列， 则，又， 所以，A错误； 由于，因此成等差数列，B正确； 显然，由，得， 由，得， 因此，不成等比数列，C错误； 由，得， 因此，成等差数列，D正确. 故选：BD 11. 已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（ ） A. B. 点是的图象的一个对称中心 C. 在上的值域为 D. 的图象在上有四条对称轴 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据题意，求得平移后的解析式，根据其为偶函数，可求得的表达式，根据的范围，即可求得的值，即可判断A的正误；根据的解析式，代入，即可判断B的正误；根据x的范围，即可求得的范围，结合正弦型函数的图象，即可判断C的正误；令，即可求得对称轴的表达式，对k赋值，即可求得的对称轴，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：将函数的图象向左平移个单位所得的解析式为：， 由题意得：其图象对应的函数为偶函数， 则，，解得， 因为，令，得，故A错误． 所以； 对于B：因为，所以， 所以点是的图象的一个对称中心，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以当时，即时，有最大值2， 当时，即时，有最小值，故C错误； 对于D：令，解得， 因为时，令，解得 令，解得， 令，解得， 令，解得， 所以的图象在上有四条对称轴，故D正确. 故选：BD 【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质，并灵活应用，在求解值域时，通过换元法令，将其转化为研究的性质，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题. 三、填空题(本题共计3题，共计15分) 12. 已知平面向量，，，则在方向上的射影为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方运算可构造方程求得，根据射影的公式可求得结果. 【详解】 解得： 在方向上的射影为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查在方向上的射影的求解问题，关键是能够通过模长的平方运算求得数量积的值. 13. 已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______ 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 解得 ． ∴等差数列 的前三项为-1，1，3． 则 3． 故答案为 ． 14. 已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与轴正半轴交于点，且线段交双曲线于点，，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】 设点在第一象限，求出、的坐标，利用求出点，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出关于的方程，进而可求得双曲线的离心率的值. 【详解】由题意知、， 以点为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为． 不妨设点在第一象限，联立，解得，即点， 设点，，， 可得，解得， 根据点在双曲线上，得，得，所以，． 因此，该双曲线的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率常见的方法： ①根据已知条件列方程组，解出、的值，直接利用离心率公式求解； ②根据已知条件得到一个关于、（或、）的二元齐次方程，然后转化为关于离心率的方程来求解． 四、解答题(本题共计5题，共计60分) 15. 在中，，是上一点，且. （1）若，求； （2）求. 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】 （1），在中，利用余弦定理即可求解. （2）方法一：设，在中，可得，在中，利用正弦定理可得，将角代入整理即可求解；方法二：由，利用三角形的面积公式并化简整理可得，代入角即可求解. 【详解】（1）， 在中，由余弦定理可知， ， 所以为等腰三角形，∴， ∴，∴，∴. （2）法一：设，在中，， 又，， 在中，由正弦定理知， 即，∴， . 法二：由， 得， 两边同时除以，得（张角定理）， 即，. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于中档题. 16. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先取的中点，连接，根据线面垂直的判定定理，证明侧面，进而可得出； (Ⅱ)根据（Ⅰ）的结果，得到且底面，以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系，设，表示出，再求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的大小为，求出，再求出平面的一个法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连接. 因为，所以. 由平面侧面，且平面侧面， 得平面. 又平面，所以， 因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以 又，从而侧面， 又侧面，故． (Ⅱ)由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，，，. 设平面的一个法向量，由，，得. 令，得，则. 设直线与平面所成的角为，则， 所以， 解得， 即. 又设平面的一个法向量为，同理可得. 设锐二面角的大小为，则， 由，得. ∴锐二面角的大小为. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直、以及已知线面角求其它量和求二面角的问题，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，灵活运用向量的方法求空间角即可，属于常考题型. 17. 函数. （Ⅰ）若时，求函数的单调区间； （Ⅱ）设，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）当时，，解不等式则单调区间可求；（Ⅱ）在上有两个零点，等价于在上有两解，分离参数，构造函数 ，求导求其最值即可求解 【详解】（Ⅰ）当时，的定义域为， 当，时，， 在和上单调递增. 当时，， 在上单调递减. 故 的单调增区间为 ，；单调减区间为 （Ⅱ）因为在上有两个零点， 等价于在上有两解， 令 则 令 则 在上单调递增，又 在上有，在有 时，，时， 在上单调递减，在上单调递增. ，， 由有两解及可知. 【点睛】本题考查函数的单调区间及函数最值，不等式恒成立，分离参数法，零点个数问题，准确计算是关键，是中档题 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆短轴端点，若为直角三角形且周长为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线,斜率的乘积为，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据的形状以及周长，计算出的值，从而椭圆的方程可求； （2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数关系找到，由此即可化简计算出的取值范围. 【详解】（1）因为为直角三角形，所以，， 又周长为，所以，故，，， 所以椭圆：. （2）设，，当直线斜率不存在时， ,，，所以， 又，解得，，. 当直线斜率存在时，设直线方程为， 由得， 得 即， ， 由得，即， 所以 所以. 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解. 19. 一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） （1）求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； （2）证明：为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率． 【答案】（1） （2） 由（1）知：，所以. 又因为， 所以（1，2，…，99）是首项为，公比为的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意及相互独立事件的概率公式可求解. （2）先由（1），构造出；再根据等比数列的定义即可证明. （3）玩该游戏获胜即为跳到第99站，先根据（2）中结论及等比数列的通项公式得出；再利用叠加法及等比数列的前项和公式可求解. 【小问1详解】 根据题意可知：每次骰子之间是相互独立的； 棋子开始在第0站是必然事件，所以. 棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为； ②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第n（）站，包括两种情形， ①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为； ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为. 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得：. 所以 ， 所以玩该游戏获胜的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市第一高级中学20242025学年高二下学期期末检测 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本题共计8题，共计40分) 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 2. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设复数满足,则 A. B. C. D. 4. 我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形的半径为3，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为 A. B. C. D. 6. 如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 函数(其中e为自然对数的底)的大致图象为 A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共计3题，共计18分) 9. 已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ） A. 相关变量，具有正相关关系 B. 去除异常数据后，新的平均数 C. 去除异常数据后的经验回归方程为 D. 去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小 10. 设是公比为的等比数列的前项和，且成等差数列，则下列说法正确的有（ ） A. B. 成等差数列 C. 成等比数列 D. 成等差数列 11. 已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（ ） A. B. 点是的图象的一个对称中心 C. 在上的值域为 D. 的图象在上有四条对称轴 三、填空题(本题共计3题，共计15分) 12. 已知平面向量，，，则在方向上的射影为_____． 13. 已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______ 14. 已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与轴正半轴交于点，且线段交双曲线于点，，则双曲线的离心率是______． 四、解答题(本题共计5题，共计60分) 15. 在中，，是上一点，且. （1）若，求； （2）求. 16. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小． 17. 函数. （Ⅰ）若时，求函数的单调区间； （Ⅱ）设，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆短轴端点，若为直角三角形且周长为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线,斜率的乘积为，求的取值范围. 19. 一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） （1）求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； （2）证明：为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $