２.３.1 两条直线平行与垂直的判定（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.3　两条直线的位置关系 2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 基础过关练 题组一　两直线平行 1.已知直线l1:x+my+7=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则实数m=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.-3　　　　B.-1 C.-1或3　　　　D.1或-3 2.已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为(　　) A.-1　　　　B.0 C.1　　　　D.0或1 3.关于x,y的方程组没有实数解,则a=　　　　.  4.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为　　　　　　　.  题组二　两直线垂直 5.已知直线(a+2)x+y+8=0与直线(2a-1)x-(a+2)y-7=0垂直,则a=(　　) A.-3±　　　　B.0或-2 C.1或-2　　　　D.或-2 6.已知直线l1:y=-x-1,l2:y=k2x-2,则“k=2”是“l1⊥l2”的(　　) A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件 7.已知直线l经过点(2,-3),且与直线2x-y-5=0垂直,则直线l在y轴上的截距为(　　) A.-4　　B.-2　　C.2　　D.4 8.直线l1过点A(m,1)和点B(-1,m),直线l2过点C(m+n,n+1)和点D(n+1,n-m),则直线l1与l2的位置关系是　　　　.  题组三　两直线平行与垂直的应用 9.在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是(　　) A.(-3,1)　　　　B.(4,1) C.(-2,1)　　　　D.(2,-1) 10.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2),B(0,2-2),C(4,2),则△ABC是　　　　　　.(填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”)  11.已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标; (2)试判断平行四边形ABCD是不是菱形. 能力提升练 　　　　　　　　　　　　　　　 题组　两直线平行与垂直的应用 1.已知A(1,2),B(-1,0),C(2,-1),若存在一点D满足CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标为(　　) A.(-2,-3)　　　　B.(2,-3) C.(2,3)　　　　D.(-2,3) 2.(多选)若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面结论中正确的是(　　) A.AB∥CD　　　　B.AB⊥AD C.|AC|=|BD|　　　　D.AC∥BD 3.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0 C.直线l过定点(0,1) D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等 4.已知点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为(　　) A.1,3　　　　B.-,- C.-2,0　　　　D.,- 5.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.x-2y+3=0　　　　B.2x+y-3=0 C.x-2y-3=0　　　　D.2x-y-3=0 6.已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),则四边形MNPQ的形状为　　　　.  7.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=　　　　.  8.一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射后与y轴交于点H. (1)求反射光线QH所在直线的方程; (2)求点P关于直线QH的对称点P'的坐标. 9.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD为5 m,宽AB为3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问能否在BC上找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直? 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　由题意,直线l1:x+my+7=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,可得1×3-m(m-2)=0且2m2-7×3≠0,即m2-2m-3=0且m2≠,解得m=-1或m=3.故选C. 2.D　当直线AB与CD的斜率不存在,即m=0时,直线AB的方程为x=0,直线CD的方程为x=1,显然AB∥CD,满足题意; 当直线AB与CD的斜率存在,即m≠0时,直线AB的斜率k1==,直线CD的斜率k2===,因为直线AB与CD平行,所以k1=k2,即=,解得m=1或m=0(舍),当m=1时,直线AB的方程为y=2x+1,直线CD的方程为y=2x-2,显然AB∥CD,满足题意. 综上所述,m=0或m=1.故选D. 3.答案　-4 解析　依题意,得直线2x-ay+1=0与直线x+2y-1=0平行,且a≠0,所以=-,解得a=-4. 4.答案　2x+3y-1=0 解析　设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠5).令x=0,得y=-;令y=0,得x=-,∴-+=,∴c=-1,∴所求直线的方程为2x+3y-1=0. 5.C　由题意得(a+2)(2a-1)-(a+2)=0,整理得(a+2)(a-1)=0,解得a=-2或a=1.故选C. 6.A　当k=2时,直线l2:y=4x-2,因为×4=-1,所以l1⊥l2,充分性成立;当l1⊥l2时,因为直线l1的斜率存在,且不为0,所以×k2=-1,解得k=±2,必要性不成立,所以“k=2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A. 7.B　易知2x-y-5=0的斜率为2,故直线l的斜率为-,根据点斜式可得直线l的方程为y-(-3)=-(x-2),整理得y=-x-2,故直线l在y轴上的截距为-2,故选B. 8.答案　垂直 解析　①当m=1时,直线l1过点A(1,1)和点B(-1,1),直线l2过点C(1+n,n+1)和点D(n+1,n-1).此时直线l1的斜率k1=0,直线l2的斜率不存在,因此l1⊥l2; ②当m=-1时,直线l1过点A(-1,1)和点B(-1,-1),直线l2过点C(-1+n,n+1)和点D(n+1,n+1). 此时直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率k2=0,因此l1⊥l2; ③当m≠±1时,直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=.此时k1·k2=-1,∴l1⊥l2. 综上可知,直线l1与l2的位置关系是垂直. 9.A　由题意得,kOA=1,kAB=-,kOB=0. 设第四个顶点为C,当点C的坐标为(-3,1)时,kOC=-≠kAB,所以四边形OBAC不是平行四边形;当点C的坐标为(4,1)时,kAC=0=kOB,kBC=1=kOA,所以四边形OBCA是平行四边形,同理可验证点C的坐标为(-2,1)或(2,-1)时,满足题意.故选A. 10.答案　直角三角形 解析　因为AB边所在直线的斜率kAB==2,CB边所在直线的斜率kCB==,AC边所在直线的斜率kAC==-,所以kCB·kAC=-1,所以CB⊥AC,所以△ABC是直角三角形. 11.解析　(1)设D(a,b),∵四边形ABCD为平行四边形,∴kAB=kCD,kAD=kBC, ∴解得∴D(-1,6). (2)∵kAC==1,kBD==-1,∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD为菱形. 能力提升练 1.D　设D(x,y),由CD⊥AB,且CB∥AD,知kCD·kAB=-1,kCB=kAD, 则解得 所以D(-2,3).故选D. 2.ABC　kAB==-,kCD==-,且C不在直线AB上,∴AB∥CD,故A正确; 又∵kAD==,∴kAB·kAD=-1,∴AB⊥AD,故B正确; ∵=(16,4),=(-4,16), ∴|AC|=4,|BD|=4,∴|AC|=|BD|,故C正确; 又∵kAC==,kBD==-4,∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,故D错误.故选ABC. 3.AC　对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以A正确; 对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)·(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以B不正确; 对于C,当x=0时,y=1,所以直线过定点(0,1),所以C正确; 对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,在x轴、y轴上的截距分别是-1,1,所以D不正确.故选AC. 4.B　kAB==-2,若点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则直线AB与直线ax+y+b=0垂直,直线ax+y+b=0的斜率是-a,所以(-a)·(-2)=-1,解得a=-.线段AB的中点(1,2)在直线ax+y+b=0上,则a+2+b=0,解得b=-,故选B. 5.D　根据题意,得线段AB的中点为M(2,1),kAB=-,∴线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.∵|AC|=|BC|,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D. 6.答案　矩形 解析　∵kMN==-1,kPQ==-1,且P不在直线MN上,∴MN∥PQ. 又∵kMQ==1,kNP==1, 且N不在直线MQ上,∴MQ∥NP, ∴四边形MNPQ为平行四边形. 又∵kMN·kMQ=-1,∴MN⊥MQ, ∴平行四边形MNPQ为矩形. 7.答案　±1 解析　如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴、y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1). 由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于D点,且∠BCD+∠BAD=180°. ①由l1⊥l2知,1×3k+3×(-1)=0,解得k=1. ②由∠BCD+∠BAD=180°得,∠BAD=∠OCD. 设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD, ∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)⇒α1=270°-α2⇒tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)===⇒tan α1·tan α2=1,∴-×3k=1⇒k=-1. 综上所述,k的值为±1. 8.解析　(1)点P(6,4)关于x轴的对称点P0的坐标为(6,-4), 则反射光线所在的直线过点P0和Q, 所以==-1, 所以直线P0Q的方程为y=-(x-2). 所以反射光线QH所在直线的方程为y=-x+2. (2)设P'(m,n),根据P点和P'点关于直线QH对称,得直线PP'与直线QH的斜率之积为-1,且线段PP'的中点在直线QH上, 则解得 所以P点关于直线QH的对称点P'的坐标为(-2,-4). 9.解析　如图所示,以点B为坐标原点,BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 由|AD|=5 m,|AB|=3 m,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0)(x>0), 因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1, 即·=-1,解得x==3.2, 所以当|BM|=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM互相垂直. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$