1.3.1-1.3.2 等比数列与指数函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数, 那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等比数列的公比. 2.等比数列中的每一项都不为0,因此公比q≠0. 3.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之 比都是同一个常数,那么此数列不是等比数列. 1.3.1　等比数列及其通项公式 1.3 等比数列 1.3.2　等比数列与指数函数 1 | 等比数列的概念 第1章　数列 1.等比数列的通项公式an=a1qn-1涉及四个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个量,就 能求出第四个量. 2.等比数列{an}的通项公式an=a1 (q≠0)可以推广为an=amqn-m(q≠0),即已知等比 数列的任意两项,都可以求出数列的任何一项. 2 | 等比数列的通项公式 第1章　数列 1.“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,当a,b同号时,a,b的等比中 项有两个,且它们互为相反数. 2.在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项 与后一项的等比中项. 3 | 等比中项 第1章　数列 1.在等比数列{an}中,若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则akal=aman.特别地,若m+n=2r(m,n,r ∈N+),则aman= . 2.若数列{an}是公比为q(q>0)且各项均为正数的等比数列,则数列{logban}(b>0且b ≠1)是公差为logbq的等差数列;若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{ }(b> 0且b≠1)是公比为bd的等比数列. 3.在公比为q(q≠-1)的等比数列{an}中,依次取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或  )的等比数列. 4.若{an}是公比为q的等比数列,则数列{λan}(λ≠0)是公比为q的等比数列,数列  是公比为 的等比数列,数列{ }是公比为q2的等比数列,数列{|an|}是公比为 |q|的等比数列. 4 | 等比数列的性质 第1章　数列 5.若数列{an}是公比为q的等比数列,则在数列{an}中,每隔k(k∈N+)项取出一项,按 原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1. 6.在等比数列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列,则am,an,ap成等比数列. 7.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则数列{anbn}与 也都 是等比数列,公比分别为pq和 . 第1章　数列 1.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)= ·qx(x∈R)当x=n时 的函数值,即an=f(n). (2)任意指数型函数f(x)=kax(k,a是常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka, f(2)=ka2,……, f(n)=kan,……构成等比数列{kan},其首项为ka,公比为a. 2.等比数列的单调性 5 | 等比数列与指数函数 a1的正负 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q=1 q>1 0<q<1 q=1 q>1 {an}的单调性 单调递减 不具有单调性 单调递增 单调递增 不具有单调性 单调递减 第1章　数列 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于一个常数,这个数列是 等比数列吗? 不一定.当这个常数为同一个常数时才是等比数列. 2.存在既是等差数列,又是等比数列的数列吗? 存在.当数列为非零常数列时,它既是等差数列又是等比数列,常数列0,0,0,…是等 差数列,不是等比数列. 3.2和8的等比中项是4吗? 不是.应该是±4,可以说4是2和8的等比中项. 4.若等比数列{an}的首项为正,则该数列的所有奇数项都是正数吗? 是.设等比数列{an}的公比为q,则其奇数项为a2n-1=a1q2(n-1)=a1(q2)n-1(n∈N+),因此当a1> 0时,a2n-1>0.等比数列{an}的所有奇数项、偶数项的符号分别相同. 知识辨析 第1章　数列 1.定义法:若数列{an}满足 =q(q为常数且不为零)或 =q(n≥2,q为常数且不为 零),则数列{an}是等比数列. 2.等比中项法:对于数列{an},若 =anan+2且an≠0,则数列{an}是等比数列. 3.通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=cqn(c≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. 　　其中,定义法和等比中项法可作为证明一个数列是等比数列的依据. 1 等比数列的判定(证明) 第1章　数列  典例　已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4. (1)求a1的值; (2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列. 解析    (1)因为Sn=2an+n-4, 所以当n=1时,a1=S1=2a1+1-4, 解得a1=3. (2)证明:因为Sn=2an+n-4, 所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-5, 所以Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)(n≥2),即an=2an-1-1(n≥2), 所以an-1=2(an-1-1)(n≥2), 又bn=an-1,所以bn=2bn-1(n≥2), 易知b1=a1-1=2≠0, 所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列. 第1章　数列 1.在解决等比数列问题的过程中常需要设未知量,为了尽量减少未知量的个数,常 采用对称设法: 　　当项数n为奇数时,先设中间一个数为a,再以公比为q向两边对称依次设项即 可.如三个数成等比数列,可设为 ,a,aq.当项数n为偶数且公比大于0时,先设中间 两个数为 和aq,再以公比为q2向两边对称依次设项即可.如四个数成等比数列,可 设为 , ,aq,aq3. 2.构造等比数列求通项公式 　　当已知数列{an}不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的 等比数列.利用等比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型: 2 等比数列的通项公式及其应用 第1章　数列 (1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化为an+1- =c ,当a1- ≠0时,数列  为等比数列,从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题;也可消 去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N+),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2-a1 ≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列. (2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化为an+1- =c 或将递推公式两边同除以 dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项. (3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化为an+1- =c +dn,即(2)型. 第1章　数列  典例1　在数列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式. 思路点拨　思路一:引入参数λ,使an+1+λ=3(an+λ),则数列{an+λ}为等比数列.思路 二:通过观察递推公式的特征,直接消去常数,转化为等比数列求通项公式. 第1章　数列 解析    解法一:令an+1+λ=3(an+λ),即an+1=3an+2λ, 又an+1=3an+2,∴λ=1,∴an+1+1=3(an+1). ∵a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列, ∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1. 解法二:∵an+1=3an+2,∴an=3an-1+2(n≥2), 两式相减,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2). ∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4, ∴{an+1-an}是首项为4,公比为3的等比数列, ∴an+1-an=4×3n-1.∴3an+2-an=4×3n-1,∴an=2×3n-1-1. 解题模板    构造法求数列的通项公式:在条件中出现an+1=kan+b时,往往构造等比 数列{an+λ},方法是把an+1+λ=k(an+λ)与an+1=kan+b对照,求出λ后再求解. 第1章　数列  典例2　在数列{an}中,已知a1= ,an+1= an+ ,求数列{an}的通项公式. 思路点拨　根据递推公式的特征,用待定系数法构造等比数列求解. 第1章　数列 解析    令an+1-A× =  , 得an+1= an+ × . 根据已知条件得 =1,即A=3, 所以an+1-3× =  . 又a1-3× =- ≠0, 所以 是首项为- ,公比为 的等比数列, 所以an-3× =- × , 所以an=3× -2× . 第1章　数列 方法归纳    形如an=pan-1+kqn(n≥2,pqk≠0,p≠1,q≠1)的递推公式,除利用待定系数 法直接化为等比数列外,也可以两边同除以qn得 = · +k,进而化为等比数列, 还可以两边同除以pn得 = +k ,再利用累加法求出 ,进而求得an. 第1章　数列 1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题方 法,则需建立关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的 有关性质来求解,那么会起到化繁为简的效果. 2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 3 等比数列性质的应用 第1章　数列  典例　已知{an}为等比数列. (1)若{an}满足a2a4= ,求a1 a5; (2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8; (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 第1章　数列 解析    (1)在等比数列{an}中,∵a2a4= ,∴ =a1a5=a2a4= ,∴a1 a5= . (2)由等比中项,化简条件得 +2a6a8+ =49,即(a6+a8)2=49, ∵an>0,∴a6+a8=7. (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1a2·…·a10) =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)] =log395=10. 规律总结    利用等比数列的性质解题时要充分发挥项的“下标”的指导作用,分 析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题. 第1章　数列 $$