4.1 两个计数原理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4.1　两个计数原理 两个计数原理的理解 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数,最终的目 的都是完成某件事 不同点 1.完成一件事有n类办法,这n类 办法之间是彼此独立的. 2.每一类中的每一种方法都能 独立完成这件事. 3.把各类办法中的方法数相加 就是完成这件事的所有方法数 1.完成一件事需要若干个步骤,完成每个步骤又有若干种方法. 2.只有每个步骤都完成了才算完成这件事,每个步骤缺一不可. 3.把完成每个步骤的方法数相乘就是完成这件事的所有方法数 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整 第4章　计数原理 1.在分类加法计数原理中,每类办法中的不同方法都能完成这件事吗? 能.每一类办法中的每一种方法都能独立完成这件事,所以在分类时要做到不重 不漏. 2.在分步乘法计数原理中,若某件事是分两步完成的,则其中任何一个单独的步骤 都能完成这件事吗? 不能.每个步骤都完成才算完成这件事,即分步要做到“步骤完整”. 知识辨析 第4章　计数原理 1.合理选择两个计数原理 当完成一件事可以分为相互排斥的几类时,选择分类加法计数原理;当完成一件 事可以分为几个相互关联的步骤时,选择分步乘法计数原理.在求解过程中要注 意列举法、树状图法、间接法等的灵活应用. 2.类中有步,步中有类问题   　　从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法. 1 两个计数原理的选择与应用 第4章　计数原理   　　从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法. 　　“类”用“+”连接,“步”用“×”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标 志一件事的完成,“步”则缺一不可. 第4章　计数原理  典例　若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不 同的数字,求该方程所表示的不同直线的条数. 思路点拨　以A,B中是否有数字0为标准进行分类计数,或利用间接法求解. 第4章　计数原理 解析    解法一:分两类. 第一类:当A,B中有一个为0时,方程表示直线x=0或y=0,共2条不同的直线. 第二类:当A,B都不为0时,确定直线Ax+By=0需要分两步完成. 第一步:确定A的值,有4种不同的取法; 第二步:确定B的值,有3种不同的取法. 所以该方程所表示的不同直线的条数为2+4×3=14. 解法二(间接法):分两步. 第一步:确定A的值,有5种不同的取法; 第二步:确定B的值,有4种不同的取法. 根据分步乘法计数原理,可以确定直线的条数为5×4=20. 在这20条直线中, 当A=0,B=1,2,3,5时, 第4章　计数原理 表示同一条直线:y=0; 当B=0,A=1,2,3,5时, 表示同一条直线:x=0, 即有6条直线是重复计数的. 故该方程所表示的不同直线的条数为20-6=14. 第4章　计数原理 涂色问题的两种解决方案 (1)选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,应用分步乘法计数原理进行计算; (2)先根据涂色时所用颜色种数进行分类处理,再在每一类的涂色方法数的计算 中应用分步乘法计数原理,最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求 和,即得到最终的涂色方法数. 2 涂色问题   第4章　计数原理  典例　从红、黄、绿、黑四种颜色中选其中几种涂在如图所示的五个区域中, 若要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?   第4章　计数原理 解析    解法一:①当B与D同色时,不同的涂色方法有4×3×2×1×2=48(种); ②当B与D不同色时,不同的涂色方法有4×3×2×1×1=24(种). 故共有48+24=72种不同的涂色方法. 解法二:按涂色时所用颜色种数分类. 第一类:用四种颜色,此时B,D同色或A,E同色,且两者仅居其一,则共有2×4×3×2×1 ×1=48种不同的涂色方法; 第二类:用三种颜色,此时B,D同色,且A,E同色,先从四种颜色中取三种,再涂色,共 有4×3×2×1×1×1=24种不同的涂色方法. 由分类加法计数原理知,共有48+24=72种不同的涂色方法. 第4章　计数原理 $$