第5章 专题强化练11（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

专题强化练11　导数与函数的单调性及其应用 1.已知定义在(-2,2)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(-x)=0,且f(1)=e2, f'(x)为f(x)的导函数,当x∈[0,2)时, f'(x)>2f(x),则不等式e2xf(2-x)<e4的解集为(　　) A.(1,+∞)　　　　B.(1,2)　　　　C.(0,1)　　　　D.(1,4) 2.若f(x)为R上的奇函数, f'(x)为其导函数,当x>0时,xf'(x)+3f(x)>0恒成立,则不等式x3f(x)+(2x-1)3f(1-2x)<0的解集为(　　) A.　　　　 B.(1,3) C.(-∞,1)∪(3,+∞)　　　　 D.∪(1,+∞) 3.已知a,b,c∈(1,+∞),且ea=9aln 11,eb=10bln 10,ec=11cln 9,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c　　　　B.c>a>b　　　　C.b>c>a　　　　D.c>b>a 4.若对任意的x1,x2∈(m,+∞),且x1<x2,>1恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A. C.[e,+∞)　　　　D.[e2,+∞) 5.已知函数f(x)=aexln x,若对任意的x∈(0,1), f(x)<x2+xln a恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A. C. 6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,h(x)=f(x)-g(x). (1)若函数h(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)若函数h(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围. 7.已知函数f(x)=. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设a,b为两个不相等的实数,且aeb-bea=ea-eb,证明:ea+eb>2. 答案与分层梯度式解析 专题强化练11　导数与函数的单调性及其应用 1.D　设g(x)=(-2<x<2),则g(x)+g(-x)=[f(x)+e4xf(-x)]=0, 所以g(x)是奇函数. 当x∈[0,2)时, f'(x)>2f(x),g'(x)=>0,所以g(x)在[0,2)上单调递增,则g(x)在(-2,2)上单调递增, 不等式e2xf(2-x)<e4,即,即g(2-x)<g(1),所以解得1<x<4, 所以不等式e2xf(2-x)<e4的解集为(1,4).故选D. 方法总结　利用导数关系构造函数的一些常见结构: (1)遇到f'(x)+g'(x),构造函数F(x)=f(x)+g(x); (2)遇到f'(x)-g'(x),构造函数F(x)=f(x)-g(x); (3)遇到f'(x)g(x)+f(x)g'(x),构造函数F(x)=f(x)·g(x); (4)遇到f'(x)g(x)-f(x)g'(x),构造函数F(x)=(g(x)≠0); (5)遇到xf'(x)+nf(x),构造函数F(x)=xn·f(x); (6)遇到f'(x)+f(x),构造函数F(x)=ex·f(x); (7)遇到f'(x)+kf(x),构造函数F(x)=ekx·f(x). 2.D　令g(x)=x3f(x),则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[xf'(x)+3f(x)], 由题意知当x>0时,g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为f(x)为奇函数,所以g(-x)=(-x)3f(-x)=-x3·[-f(x)]=x3f(x)=g(x),即g(x)为偶函数, 由x3f(x)+(2x-1)3f(1-2x)<0,得x3f(x)<(2x-1)3f(2x-1),即g(x)<g(2x-1),所以g(|x|)<g(|2x-1|),所以|x|<|2x-1|,解得x<或x>1, 故原不等式的解集为∪(1,+∞).故选D. 3.D　由题知=9ln 11,=10ln 10,=11ln 9,记f(x)=,x∈(1,+∞),则f'(x)=, 当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 要比较a,b,c的大小关系,只需比较f(a), f(b), f(c)的大小关系,即比较9ln 11,10ln 10,11ln 9的大小关系, 记g(x)=(20-x)ln x,x>1,则g'(x)=-ln x+-1, 记h(x)=-ln x+-1,x>1,则h'(x)=-<0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递减, 又h(8)=-ln 8+-ln 8<-ln e2<0, 所以当x∈(8,+∞)时,h(x)<0,g(x)单调递减, 所以g(11)<g(10)<g(9),即9ln 11<10ln 10<11ln 9,所以f(a)<f(b)<f(c),所以a<b<c.故选D. 4.D　由题意得m≥0. 因为>1,且0<x1<x2, 所以x1ln x2-x2ln x1<x1-x2, 所以,即. 构造函数f(x)=,x∈(0,+∞), 因为当m<x1<x2时, f(x2)<f(x1),所以f(x)在(m,+∞)上单调递减. 易得f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e2, 所以当x∈(e2,+∞)时, f'(x)<0, f(x)在(e2,+∞)上单调递减,所以m≥e2.故选D. 5.A　由f(x)<x2+xln a,得aexln x<x2+xln a且a>0, 所以<x+ln a,所以.(*) 构造函数g(x)=,则g'(x)=,所以当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 若0<a≤1,则当x∈(0,1)时,aex∈(0,e),所以由(*)式得x<aex,所以. 设h(x)=,则h'(x)=,所以当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)>h(1),即>e,所以≤e,即a≥,所以≤a≤1. 若a>1,则∀x∈(0,1), f(x)=aexln x<0<x2+xln a,符合题意. 综上,实数a的取值范围为a≥.故选A. 6.解析　(1)h(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax2-2x,易知其定义域为(0,+∞),h'(x)=, 因为函数h(x)存在单调递减区间,所以-ax2-2x+1<0在(0,+∞)上有解. 令p(x)=-ax2-2x+1, 当a=0时,p(x)=-2x+1,令p(x)<0,解得x>,则当x∈时,不等式-ax2-2x+1<0成立,符合题意; 当a>0时,函数p(x)为二次函数,且其图象开口向下,则-ax2-2x+1<0在(0,+∞)上必定有解,符合题意; 当a<0时,函数p(x)为二次函数,且其图象开口向上,对称轴为直线x=->0,令Δ=4+4a>0,解得a>-1,即-1<a<0时,-ax2-2x+1<0在(0,+∞)上有解,符合题意. 综上,a的取值范围是(-1,+∞). (2)由(1)可知,h'(x)=,p(x)=-ax2-2x+1,由函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,得p(x)≤0在[1,4]上恒成立. 当a=0时,p(x)=-2x+1,当x∈[1,4]时,p(x)<0恒成立,符合题意; 当a>0时,函数p(x)为二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=-<0,则函数p(x)在[1,4]上单调递减,则p(x)max=p(1)=-a-2+1=-a-1,令-a-1≤0,解得a≥-1,所以a>0; 当a<0时,函数p(x)为二次函数,且其图象开口向上,对称轴为直线x=->0, 要使p(x)≤0在[1,4]上恒成立,只需 即得a≥-≤a<0. 综上,a的取值范围是. 7.解析　(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-,令f'(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时, f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0, 所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. (2)证明:将aeb-bea=ea-eb变形为, 令ea=m,eb=n,则上式变为,即f(m)=f(n), 于是原题转换为证明m+n>2. 不妨设m<n,由(1)知0<m<1,n>1. 要证m+n>2,即证n>2-m>1, 由于f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以即证f(n)<f(2-m), 由于f(m)=f(n),所以即证f(m)<f(2-m),即证f(m)-f(2-m)<0在(0,1)上恒成立. 令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1), 则g'(x)=f'(x)+f'(2-x)=- =- =- =->0, 所以g(x)在区间(0,1)上单调递增,所以g(x)<g(1)=0,即m+n>2成立,所以ea+eb>2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$