1.3 两条直线的平行与垂直（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.3　两条直线的平行与垂直 知识点 1 两条直线(不重合)平行的判定 必备知识 清单破 类型 斜率都存在 斜率都不存在 图示     对应关系 l1∥l2⇔k1=k2 两直线斜率都不存在⇒l1∥l2 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 两条直线垂直的判定 类型 斜率都存在 一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为0 图示     对应关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1  ⇒l1⊥l2 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗? 2.若两条直线垂直,则这两条直线的斜率之积一定等于-1吗? 3.已知两条直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,若l1∥l2,则α,β满足什么关系?若l1⊥l2呢? 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.若这两条直线的斜率都存在,则它们一定相等;也有可能这两条直线的斜率都不存 在. 2.不一定.当两条直线的斜率都存在时,斜率之积是-1;也有可能其中一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为0. 3.若l1∥l2,则α=β;若l1⊥l2,则|α-β|=90°. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 两条直线平行 关键能力 定点破 　  1.利用直线方程判定直线平行 (1)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2. (2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1∥l2⇔  或 当A2B2C2≠0时,l1∥l2⇔ = ≠ . 2.与已知直线平行的直线方程的设法 (1)与直线y=kx+b平行的直线的方程可设为y=kx+m(m≠b). (2)与直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C). (3)已知直线l过点P(x0,y0),且与直线l1:Ax+By+C=0(P不在l1上)平行,其中A,B不全为0,则直线l的 方程可设为A(x-x0)+B(y-y0)=0. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知直线l1:(k-2)x+(3-k)y+1=0,l2:2(k-2)x-2y+4=0,则“k=4”是“l1∥l2”的 (　    ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析    若l1∥l2,则(k-2)×(-2)-(3-k)×2(k-2)=0, 解得k=2或k=4,经检验均满足题意. 因为{k|k=4}⫋{k|k=2或k=4}, 所以“k=4”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　  1.利用直线方程判定直线垂直 (1)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1. (2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2 =0.当B1B2≠0时,l1⊥l2⇔ · =-1. 2.与已知直线垂直的直线方程的设法 (1)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线的方程可设为y=- x+m. (2)与直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0. (3)已知直线l过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0垂直,其中A,B不全为0,则直线l的方程可设为 B(x-x0)-A(y-y0)=0. 定点 2 两条直线垂直 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在△ABC中,已知A(2,4),B(-2,1),C(8,-4),D,E分别为边AB,AC的中点,AH⊥BC于点H. (1)求直线DE的方程; (2)求直线AH的方程. 解析    (1)由中点坐标公式得边AB的中点D ,边AC的中点E(5,0), 则直线DE的斜率k= =- ,所以直线DE的方程为y=- x+ ,即x+2y-5=0. (2)解法一:依题意得BC∥DE,则直线BC的斜率为- ,又AH⊥BC,因此直线AH的斜率为2,所以 直线AH的方程为y-4=2(x-2),即2x-y=0. 解法二:由题意得,直线BC的方程为 = ,即x+2y=0. 因为AH⊥BC,所以可设直线AH的方程为2x-y+m=0,将(2,4)代入,得m=0. 所以直线AH的方程为2x-y=0. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用平行、垂直关系求参数 已知两条直线平行、垂直关系求参数时,根据定点1、定点2中平行、垂直的判定条件建立方 程(组)求解.用点的坐标表示斜率,通过斜率列关系式时,要注意对参数的讨论. 2.利用平行、垂直判断图形形状的步骤 (1)描点:在坐标系中描出给定的点. (2)猜测:根据描出的点猜测图形的形状. (3)求斜率:若斜率不存在,则直接说明;若斜率存在,则根据给定点的坐标求出直线的斜率. (4)结论:由斜率之间的关系判断图形形状. 　　注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在,又要考虑图形可能出现的各种情形. 定点 3 平行、垂直关系的应用 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯形,求 m和n的值; (2)已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,D四点构成的四边形是平行四边形,求点D的坐标. 思路点拨    (1)分析直角顶点的位置,利用两底边所在直线平行、直角腰与底垂直列方程组 求解. (2)点D位置不确定,平行四边形形状不固定,可分类讨论,再由直线的斜率可求解. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由四边形ABCD是直角梯形,结合图形得直角梯形有两种情形: ①AB∥CD,AB⊥AD,如图1所示,易得A(2,-1),∴m=2,n=-1. ②AD∥BC,AD⊥AB,如图2所示, 由图可知  即 解得  综上, 或  第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念  图1     图2 (2)由题意得kAC=2,kAB=- ,kBC=-3, 设点D的坐标为(x,y),分以下三种情况: ①当BC为对角线时,有kBD=kAC,kCD=kAB, 所以kBD= =2,kCD= =- , 得x=7,y=5,即D(7,5). ②当AC为对角线时,有kAD=kBC,kCD=kAB, 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 所以kAD= =-3,kCD= =- , 得x=-1,y=9,即D(-1,9). ③当AB为对角线时,有kBD=kAC,kAD=kBC, 所以kBD= =2,kAD= =-3, 得x=3,y=-3,即D(3,-3). 所以点D的坐标为(7,5)或(-1,9)或(3,-3). 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念   1.到角与夹角的定义 　　当直线l1与l2相交时,把l1绕着l1与l2的交点按逆时针方向旋转到与l2首次重合时所转的角 记作θ,则θ叫作l1到l2的角,l2到l1的角就是π-θ,其中θ∈[0,π);当直线l1与l2相交时,直线l1与l2相交所 成的四个角中最小的正角,记作α,则α叫直线l1与l2的夹角,其中α∈ . 2.到角公式与夹角公式 　　若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 (1)直线l1到l2的角θ满足tan θ= ,θ∈[0,π),若tan θ不存在,则θ= ; (2)直线l1与l2的夹角α满足tan α= ,α∈ ,若tan α不存在,则α= . 定点 4 到角公式与夹角公式 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 3.到角公式与夹角公式的应用 　　当已知两条直线之间的夹角和其中一条直线的方程,求另外一条直线方程时,常常利用 这两个公式来处理.若所求直线不唯一,就利用夹角公式,若利用夹角公式求出的只有一条,则 必然有一条斜率不存在;如果所求直线唯一,就利用到角公式,当然也可以利用夹角公式,但求 出的两条直线要根据条件舍去一条.解答此类问题时,要注意数形结合,分析结果的可能个数, 再决定取舍,同时还要注意斜率不存在的情况. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在等腰三角形ABC中,已知腰AB所在直线的方程为x-2y-2=0,底边BC所在直线的方程为x +y-1=0,点(-2,0)在另一腰AC上,求腰AC所在直线的方程. 解析    设直线AB,BC,AC的斜率分别为k1,k2,k3,由题设得k1= ,k2=-1. ∵△ABC为等腰三角形,∴∠B=∠C且均为锐角. 易得tan B= = =3,tan C= = , 则 =3,解得k3= 或k3=2. ∵k1≠k3,∴k3=2. ∴腰AC所在直线的方程为y-0=2(x+2),即2x-y+4=0. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$