1.2.3 直线与平面的夹角（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.2.3　直线与平面的夹角 基础过关练 题组一　用定义研究线面角问题 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱B1B的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小是(　　) A.60°　　　　B.90° C.45°　　　　D.以上都不对 2.如图所示,在正四面体A-BCD中,E为棱AD的中点,则直线CE与平面BCD所成角的正弦值为(　　) A. 3.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AB=2,则直线PB与平面PAC所成角的大小为　　　　.  4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1,∠CAB=90°,M是B1C1的中点,N是AC的中点. (1)求证:MN∥平面ABB1A1; (2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小. 题组二　公式cos θ=cos θ1cos θ2的应用 5.若BC在平面α内,斜线AB与平面α所成的角为γ,∠ABC=θ,AA'⊥平面α,垂足为A',∠A'BC=β,θ,γ∈,那么(　　) A.cos θ=cos γ·cos β B.sin θ=sin γ·sin β C.cos γ=cos θ·cos β D.cos β=cos γ·cos θ 6.已知平面α内的∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角的大小均为135°,则PC与平面α所成的角θ的余弦值是(　　) A.- 题组三　用空间向量研究线面角问题 7.若直线a的一个方向向量是m=(1,0,1),平面α的一个法向量是n=(-3,1,3),则直线a与平面α所成的角为(　　) A.0°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90° 8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1=AB,M是A1C1的中点,则直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为(　　) A. 9.在如图所示的几何体PQBCDA中,PQ∥CD,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为4的正方形,PD=PQ=2,则直线AQ与平面ACP所成角的正弦值为　　　　.  10.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点. (1)求证:平面AD1F⊥平面ADE; (2)求直线EF与平面AD1F所成角的正弦值. 11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=AB,点M是棱PD的中点. (1)求证:PB∥平面ACM; (2)设AC的中点为O,点N在棱PC上(异于点P,C),且ON=OA,求直线AN与平面ACM所成角的正弦值. 能力提升练 题组　用向量法研究直线与平面所成的角 1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,E,F分别为A1C1,A1B1的中点,当AE和BF所成角的余弦值为时,AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为(　　) A. 2.如图,在圆柱中有一内接正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,圆柱的高为2,底面半径为1,上、下底面的中心分别为O1,O,点K在上底面的圆周上运动,若直线AC与平面KAF所成角的正 弦值最小为m,则=　　　　.  3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分别为BB1,DD1的中点,点M在CD1上,且CM=2MD1. (1)证明:A,E,M,F四点共面; (2)求直线CD1与平面AEMF所成角的正弦值. 4.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,SA=SD=1,AB=2CD=2BC=2,SB=,点M为棱CD的中点,点N在棱SA上,且AN=3SN. (1)证明:MN∥平面SBC; (2)求直线SC与平面SBD所成角的正弦值. 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC= 90°,AD=1,PA=AB=BC=2,M是棱PB的中点. (1)已知点E在棱BC上,且平面AME∥平面PCD,试确定点E的位置,并说明理由; (2)设N是线段CD上的动点,当点N在何处时,直线MN与平面PAB所成的角最大?并求出最大角的正弦值. 答案与分层梯度式解析 1.2.3　直线与平面的夹角 基础过关练 1.B 2.B 5.A 6.B 7.A 8.B 1.B　由题意可知AE=A1E=,则AE2+A1E2=A,故AE⊥A1E.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1⊥平面ABB1A1.因为AE⊂平面ABB1A1,所以A1D1⊥AE.因为A1D1∩A1E=A1,所以AE⊥平面A1ED1,所以直线AE与平面A1ED1所成角的大小为90°.故选B. 2.B　设棱长为a,如图所示,过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则点O为△BCD的中心,连接DO并延长,交BC于点G,过点E作EF⊥GD于点F,连接FC,则∠ECF即为直线CE与平面BCD所成的角.由GD2=CD2-CG2,得GD=a,所以OD=a.由AO2=AD2-OD2,得AO=a,所以EF=a.又CE=GD=a,所以在Rt△EFC中,sin∠ECF=.故选B. 3.答案　 解析　如图,连接BD,交AC于点O,连接OP. ∵PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形, ∴BD⊥PA,BD⊥AC, ∵AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC, ∴BD⊥平面PAC,即BO⊥平面PAC,则∠BPO即为直线PB与平面PAC所成的角. ∵PA=AB=2,∴PB=2, ∴sin∠BPO=,∴∠BPO=. 4.解析　(1)证明:取AB的中点H,连接HN,B1H,则HN是△ABC的中位线,所以HN∥BC,且HN=BC. 又因为B1M∥BC,且B1M=BC, 所以HN∥B1M,且HN=B1M, 所以四边形HNMB1是平行四边形,所以MN∥B1H. 因为MN⊄平面ABB1A1,B1H⊂平面ABB1A1, 所以MN∥平面ABB1A1. (2)连接A1M,BM, 因为A1B1=A1C1,M是B1C1的中点,所以A1M⊥B1C1. 又因为平面A1B1C1⊥平面BCC1B1,A1M⊂平面A1B1C1,平面A1B1C1∩平面BCC1B1=B1C1, 所以A1M⊥平面BCC1B1, 所以直线BM为A1B在平面BCC1B1内的射影, 所以∠A1BM为直线A1B与平面BCC1B1所成的角. 设AB=2,则A1M=, 所以sin∠A1BM=,所以∠A1BM=30°, 所以直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小为30°. 5.A　 6.B　由题可知cos 45°=cos θ·cos 30°,∴cos θ=. 7.A　设直线a与平面α所成的角为θ,则θ∈, sin θ=|cos<m,n>|==0, 所以θ=0.故选A. 8.B　如图所示,取AC的中点D,连接BD,以D为坐标原点,BD,DC,DM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 不妨设AC=2,则A(0,-1,0),M(0,0,2),B(- ,0,2), 所以=(0,0,2). 设平面BCC1B1的一个法向量为n=(x,y,z), 则令x=,则y=-3,z=0, 所以n=(,-3,0). 设直线AM与平面BCC1B1所成的角为α, 则sin α=|cos <,n>|=, 即直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 9.答案　 解析　由题可得DA,DC,DP两两垂直. 以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),C(0,4,0),P(0,0,2),Q(0,2,2),所以=(-4,0,2). 设平面ACP的一个法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,则y=1,z=2, 所以n=(1,1,2). 设直线AQ与平面ACP所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=. 10.解析　以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D1(0,0,2),所以=(-2,-1, -1). (1)证明:设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令y=1,则x=0,z=-2,所以n=(0,1,-2). 设平面AD1F的一个法向量为m=(a,b,c), 则 令a=1,则b=2,c=1,所以m=(1,2,1). 因为n·m=0+2-2=0,所以平面AD1F⊥平面ADE. （2）设直线EF与平面AD1F所成的角为θ,则sin θ=|cos<,m>| =.故直线EF与平面AD1F所成角的正弦值为. 11.解析　(1)证明:连接BD,设AC∩BD=E,连接ME. 因为底面ABCD为矩形,所以E为BD的中点, 又点M是棱PD的中点,所以PB∥EM. 因为PB⊄平面ACM,EM⊂平面ACM, 所以PB∥平面ACM. (2)由题意得AB,AD,AP两两互相垂直. 以点A为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略). 设PA=AD=,则A(0,0,0),C(1, ,所以 ). 设,0<λ<1,则. 易得AC=,所以ON=OA=,所以,即,即5λ2-3λ=0,所以λ=,所以. 设平面ACM的一个法向量为n=(x,y,z), 则令y=-1,得n=(,-1,1). 设直线AN与平面ACM所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|= , 所以直线AN与平面ACM所成角的正弦值为. 能力提升练 1.B　设AA1=t.以B为坐标原点,过B且垂直于BC的直线为x轴,BC, BB1所在直线分别为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A( . ∵AE和BF所成角的余弦值为, ∴|cos<,解得t=2或t= -2(舍去),∴. 易知平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,0,0), ∴AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为|cos<,n>|=.故选B. 2.答案　 解析　取AB的中点M,连接OM,OC,OO1.以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示, 则F(0,-1,0),A,C(0,1,0), 所以. 设K(cos θ,sin θ,2),θ∈[0,2π), 则=(cos θ,sin θ+1,2). 设平面KAF的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=2,得n=(2,-2sin θ-cos θ+). 所以直线AC与平面KAF所成角的正弦值为,所以当sin=1时,直线AC与平面KAF所成角的正弦值最小,为m=,所以. 3.解析　易知DD1⊥平面ABCD,AD,CD⊂平面ABCD,所以DD1⊥AD,DD1⊥CD,又AD⊥DC,所以以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),E(1,1,1),F(0,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2),所以=(-1,0,1). 由CM=2MD1,得,所以. （1）证明:若A,E,M,F四点共面,则存在实数λ,μ,使得 ,故 所以,故A,E,M,F四点共面. (2)设平面AEMF的一个法向量为m=(x,y,z), 则取x=1,得m=(1,-1,1). 设直线CD1与平面AEMF所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,m>|=, 故直线CD1与平面AEMF所成角的正弦值为. 4.解析　(1)证明:过点M作MF∥BC,交AB于点F,连接NF,则四边形MCBF为平行四边形,所以FB=MC=,所以AF=3FB. 又AN=3SN,所以NF∥SB. 因为NF⊄平面SBC,SB⊂平面SBC, 所以NF∥平面SBC. 因为MF∥BC,MF⊄平面SBC,BC⊂平面SBC, 所以MF∥平面SBC. 又NF∩MF=F,NF,MF⊂平面MNF, 所以平面MNF∥平面SBC. 又MN⊂平面MNF,所以MN∥平面SBC. (2)取AD的中点O,连接SO,BO. 因为AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC=2,所以AD=BD=,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD. 因为SA=SD=1,AD=,所以SA⊥SD,SO⊥AD, 所以SO=. 在△BDO中,BO2=BD2+OD2=, 又SB=,所以SB2=SO2+BO2,所以SO⊥OB. 因为AD∩BO=O,AD,BO⊂平面ABCD, 所以SO⊥平面ABCD. 以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴,y轴,过点B且平行于SO的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),C(0,1,0),D(1,1,0),S, 所以. 设平面SBD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,则y=-1,z=-,故n=(1,-1,-). 设直线SC与平面SBD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,即直线SC与平面SBD所成角的正弦值为. 5.解析　(1)E是BC的中点,理由如下: ∵平面AME∥平面PCD,平面ABCD∩平面AME=AE,平面ABCD∩平面PCD=CD,∴AE∥CD. 又∵AD∥EC,∴四边形ADCE是平行四边形, ∴EC=AD=1.∵BC=2,∴BE=EC,即E是BC的中点. (2)由题意知PA,AB,AD两两互相垂直.以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(2,2,0),D(1,0,0),M(0,1,1), ∴=(1,2,0). 设(0≤λ≤1),则=(λ+1,2λ-1, -1). 易知n=(1,0,0)为平面PAB的一个法向量. 设直线MN与平面PAB所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|==. 令λ+1=t,则t∈[1,2],, ∴当t=,即λ=时,sin θ取得最大值,为, ∴当N是线段DC上靠近C的三等分点时,直线MN与平面PAB所成的角最大,最大角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$