2.5.2 圆与圆的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5.2　圆与圆的位置关系 基础过关练 题组一　圆与圆的位置关系 1.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y-a=0(a∈R)的位置关系是(　　) A.相交　　　　B.相切　　 C.内含　　　　D.以上均有可能 2.若圆C1:x2-2x+y2+4y+4=0与圆C2:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)恰有一条公切线,则r=(　　) A.4　　B.6　　C.4或6　　D.8 3.已知圆C1:x2+(y-1)2=1和圆C2:(x-a)2+(y-1)2=16,其中a>0,则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是(　　) A.2<a<5　　　　B.3<a<4　　 C.3<a<5　　　　D.3<a<6 4.已知圆C1的方程为(x-a)2+y2=1,圆C2的方程为(x-a-1)2+(y-b)2=4,其中a,b∈R.那么这两个圆的位置关系不可能为(　　) A.外离　　B.外切　　C.内含　　D.内切 5.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64,其中a∈N*.若圆C1,C2仅有2条公切线,则a的值可能是　　　　(给出满足条件的一个值即可).  6.我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆A的方程为x2+(y-1)2=2,圆C的方程为(x-6)2+(y-7)2=2,则圆B的方程为　　　　　　　　.  题组二　两圆的公共弦问题 7.已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所在直线的方程为(　　) A.3x+4y+6=0　　　　B.3x+4y-6=0 C.3x-4y-6=0　　　　D.3x-4y+6=0 8.圆x2+y2+4x-2y=0和圆x2+y2-2x-3=0交于A,B两点,则相交弦AB的垂直平分线的方程为(　　) A.6x-2y+3=0　　　　B.x+3y-1=0　　 C.2x-2y+3=0　　　　D.x-3y-1=0 9.若圆O1:x2+y2=25与圆O2:(x-7)2+y2=r2(r>0)的公共弦的长为2,则r=(　　) A.　　　　B.　　 C.或　　　　D.或 10.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1). (1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求它们的内公切线方程; (2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2.求圆O2的方程. 能力提升练 题组　圆与圆的位置关系的应用 1.已知圆C1:(x-a)2+(y+3)2=9与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,则ab的最大值为(　　) A.2　　　　B.2　　C.　　　　D.3 2.圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x-2y+1=0 B.公共弦AB的长为 C.线段AB的中垂线方程为2x-y=0 D.∠AO2B> 3.(多选题)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,1),B(m,-1)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m可能的取值为(　　) A.7　　B.6　　 C.5　　D.4 4.已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1,圆C2:(x-5)2+(y-6)2=16,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,当P点的横坐标为x0时,|PM|+|PN|取得最小值,则此时|PM|+|PN|+x0=(　　) A.2+4　　　　B.4-3 C.2+2　　　　D.9 5.已知点A,B分别为圆C1:x2+y2-2x+8y+16=0与圆C2:x2+y2-6x+5=0上的两个动点,点P为直线l:x-y+2=0上一点,则|PA|+|PB|的最小值为　　　　,|PA|-|PB|的最小值为　　　　.  6.在平面直角坐标系Oxy中,若圆C1:+(y+2)2=r2(r>1)上任意一点关于原点的对称点都不在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围为　　　　.  7.已知P,Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8与圆D:x2+(y-4)2=5上的点,O是坐标原点,则|PQ|+|PO|的最小值为　　　　.  8.已知圆O:x2+y2=1与圆O1:x2+y2+6x-8y-10-a=0,当a=1时,两圆的公切线方程为　　　　　;若两圆相交于A,B两点,且|AB|=,则a=　　　　.  9.已知圆C过点M(1,4),N(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上. (1)求圆C的方程; (2)已知平面内两点A(-2,0),B(2,0),P是圆C上的动点,求|AP|2+|BP|2的最小值; (3)若Q是x轴上的动点,QR,QS与圆C相切,切点分别为R,S,试问直线RS是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 2.5.2　圆与圆的位置关系 基础过关练 1.D 2.B 3.B 4.C 7.D 8.B 9.D 1.D　设圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y-a=0的圆心分别为O1,O2,则O1(0,0),O2(-1,1),且圆心O2(-1,1)在圆O1上,因为圆O2的半径不确定,所以两圆可能相交,可能内切,也可能内含.故选D. 2.B　圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为C1(1,-2),半径r1=1,圆C2:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)的圆心为C2(-2,2),半径为r,因为圆C1与圆C2恰有一条公切线,所以圆C1与圆C2内切,则|C1C2|=5=|r-1|,所以r=6.故选B. 3.B　由题意知圆C1的圆心为C1(0,1),半径R1=1,圆C2的圆心为C2(a,1),半径R2=4,所以|C1C2|=a,要使两圆相交,只需R2-R1<|C1C2|<R2+R1,即3<a<5,结合选项可知B项满足题意. 4.C　根据题意,知圆C1的圆心为C1(a,0),半径r=1,圆C2的圆心为C2(a+1,b),半径R=2,所以r+R=3,R-r=1,因为|C1C2|=≥1,所以|C1C2|≥R-r,故两圆的位置关系不可能是内含.故选C. 5.答案　5(答案不唯一) 解析　圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64的圆心为C2(4,-a),半径r2=8,所以|C1C2|=,因为圆C1,C2仅有2条公切线,所以圆C1,C2相交,所以6<<10,即20<a2<84,所以2<a<2或-2<a<-2,又a∈N*,所以a=5或6或7或8或9. 故答案为5(答案不唯一,填写5,6,7,8,9均可). 6.答案　(x-3)2+(y-4)2=8 解析　依题意可得,A(0,1),C(6,7),且B为线段AC的中点,所以B(3,4).又|AC|=6,圆A,圆C的半径都是,所以圆B的半径r=2.故圆B的方程为(x-3)2+(y-4)2=8. 7.D　将两个圆的方程相减,得3x-4y+6=0.故选D. 8.B　圆x2+y2+4x-2y=0即(x+2)2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(-2,1),圆x2+y2-2x-3=0即(x-1)2+y2=4,其圆心坐标为(1,0).易知过两圆圆心的直线为弦AB的垂直平分线,则弦AB的垂直平分线的方程是=,即x+3y-1=0.故选B. 9.D　因为公共弦的长为2,所以圆心O1到公共弦所在直线的距离d1==2,又|O1O2|=7,所以圆心O2到公共弦所在直线的距离d2=7-2=5或d2=7+2=9,则r==或r==.故选D. 规律总结　与两圆公共弦的长有关的问题,通常利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成一个直角三角形,结合勾股定理进行求解. 10.解析　(1)由圆O1的方程可得其圆心为O1(0,-1),半径r1=2,设圆O2的半径为r2(r2>0), 由题意可得|O1O2|==2, 由两圆外切可得r1+r2=|O1O2|,即2+r2=2,可得r2=2-2, 所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=(2-2)2. 将圆O1与圆O2的方程作差,可得x+y+1-2=0,即内公切线方程为x+y+1-2=0. (2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0). 将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程,即4x+4y+r2-8=0, O1(0,-1)到直线AB的距离d==, 由弦长|AB|=2=2,可得d2=2,即=2,可得r2=4或r2=20,所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20. 方法归纳　将两圆方程作差得直线方程时,若两圆外切,则此直线方程是两圆的内公切线方程;若两圆内切,则此直线方程是两圆的外公切线方程;若两圆相交,则此直线方程是两圆公共弦所在的直线方程. 能力提升练 1.D 2.D 3.CD 4.B 1.D　由于圆C1:(x-a)2+(y+3)2=9与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,所以=3+1,整理得(a+b)2=16-4=12,故12=a2+b2+2ab≥4ab,即ab≤3,当且仅当a=b时,等号成立.故选D. 2.D　由x2+y2-4=0与x2+y2+2x-4y=0作差,可得2x-4y+4=0,即x-2y+2=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-2y+2=0,故A错误;圆心O1(0,0)到直线x-2y+2=0的距离d=,圆O1的半径r=2,所以|AB|=2=,故B错误;易知O1O2垂直平分AB,因为圆O1的圆心为O1(0,0),圆O2:x2+y2+2x-4y=0的圆心为O2(-1,2),所以线段AB的中垂线方程为2x+y=0,故C错误;对于D,圆心O2(-1,2)到直线x-2y+2=0的距离d'==,又|AB|=,d'<|AB|,所以∠AO2B>,故D正确.故选D. 3.CD　圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为C(3,4),半径为1,∵∠APB=90°,∴P是以AB为直径的圆上的点,又AB的中点为(0,0),记O(0,0),∴P是以O为圆心的圆上的点,∵C(3,4)到O(0,0)的距离为5,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6,最小值为4,又|PO|=|AB|==,故4≤≤6,解得≤m≤,故选CD. 4.B　圆C1的圆心为C1(1,2),半径为1;圆C2的圆心为C2(5,6),半径为4.如图所示,设点C1关于x轴的对称点为C3,则C3(1,-2). 则|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-4=|PC3|-1+|PC2|-4≥|C2C3|-5, 而|C2C3|==4, 所以|PM|+|PN|≥4-5,又==2, 故直线C2C3的方程为y+2=2(x-1),即y=2x-4, 令y=0,得x=2,所以x0=2, 所以|PM|+|PN|取得最小值时,|PM|+|PN|+x0=4-3.故选B. 5.答案　3-3;2+3 解析　由C1:x2+y2-2x+8y+16=0,得(x-1)2+(y+4)2=1,∴其圆心为C1(1,-4),半径r1=1,由C2:x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,∴其圆心为C2(3,0),半径r2=2.设点C2关于直线l:x-y+2=0对称的点为C(a,b),∴解得a=-2,b=5,即C(-2,5), 则|PA|+|PB|≥|PC1|-r1+|PC2|-r2=|PC1|-r1+|PC|-r2≥|CC1|-r1-r2, 而|CC1|==3,∴|PA|+|PB|≥3-3. 由三角形的相关性质可知|PA|-|PB|≤|AB|,当|AB|取到最大值时,|PA|-|PB|取到最大值,设C1C2所在直线交圆C1,C2分别于点M,N,如图, 由图可知,|AB|max=|MN|=|C1C2|+r1+r2=2+3, ∴|PA|-|PB|的最大值为2+3. 6.答案　 解析　设圆C1:+(y+2)2=r2(r>1)关于原点的对称圆为C3,则C3:+(y-2)2=r2.圆C2的圆心为C2(2,1),半径为1,圆C3的圆心为C3,半径为r,所以|C2C3|==,由已知得,圆C3与C2无公共点,所以|C2C3|>r+1或|C2C3|<|r-1|,所以>r+1或<|r-1|,解得r<-1或r>+1,又r>1,所以r∈. 7.答案　 解析　由(x-4)2+y2=8得x2-8x+y2+8=0,于是2x2-8x+2y2+8=x2+y2,从而x2-4x+y2+4=(x2+y2),即=,设P(x,y),则|PO|等于点P到点(2,0)的距离,记M(2,0),所以|PQ|+|PO|=|PQ|+|PM|≥|MQ|,而|MQ|min=-=,所以|PQ|+|PO|的最小值为. 8.答案　3x-4y-5=0;-8或-10 解析　当a=1时,圆O1:x2+y2+6x-8y-11=0,即(x+3)2+(y-4)2=36.因为两圆圆心距为=5,恰为两圆半径之差,所以两圆内切,即两圆有唯一公切线, 圆x2+y2=1与圆x2+y2+6x-8y-11=0的方程作差,可得两圆的公切线方程为3x-4y-5=0. 若两圆相交于A,B两点,则由两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线的方程为6x-8y-9-a=0.因为|AB|=,圆O的半径r=1,所以点O到直线AB的距离d==,则由点到直线的距离公式,可得=,即|-9-a|=1,解得a=-8或a=-10. 9.解析　(1)∵圆心C在直线4x-3y=0上,∴设C,由圆C过点M,N,可得|CM|=|CN|, 即=, 解得a=3, ∴圆心为C(3,4),半径r=|CM|=2, ∴圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=4. (2)设O为坐标原点,P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=2(x2+y2)+8=2|PO|2+8. ∵|PO=(|OC|-r)2=(5-2)2=9, ∴(|AP|2+|BP|2)min=18+8=26. (3)设Q(t,0),则以CQ为直径的圆的圆心为,半径为|CQ|=,记D, 则圆D的方程为+(y-2)2=, 即x2+y2-(3+t)x-4y+3t=0. 易知直线RS为圆C与圆D的相交弦所在直线,两圆方程作差可得直线RS的方程,为(3-t)x+4y+3t-21=0,即(3-x)t+3x+4y-21=0. 由解得 ∴直线RS恒过定点,定点坐标为(3,3). 7 学科网（北京）股份有限公司 $$