2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3.3　点到直线的距离公式　 2.3.4　两条平行直线间的距离 基础过关练 题组一　点到直线的距离 1.若点P(1,3)到直线l:4x+3y+a=0(a>0)的距离为3,则a=(　　) A.2　　B.3　　C.　　D.4 2.已知直线l过原点O,且点A(1,0),B(3,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为(　　) A.x-y=0　　　　B.x-2y=0 C.x+y=0或x+2y=0　　　　D.x-y=0或x-2y=0 3.点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,此最大值和此时过点P且与l垂直的直线方程分别为(　　) A.,x+y-2=0　　　　B.,3x+y-4=0 C.,2x-3y+1=0　　　　D.,2x-3y+1=0 4.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,点M(4,3),则M到直线l的距离d的取值范围为(　　) A.[0,8)　　　　B.[0,8]　　 C.[0,2)　　　　D.[0,2] 5.若P(2,)到直线x+y+t=0的距离不超过2,则实数t的取值范围是　　　　.  6.已知△ABC的顶点A(1,1),C(3,-4),边BC的垂直平分线的方程为x-y-5=0. (1)求边BC所在直线的方程; (2)求△ABC的面积. 题组二　两条平行直线间的距离 7.平行直线x-2y+1=0,2x-4y-3=0间的距离是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.已知直线x+3y+λ=0与直线2x+6y+1=0间的距离为,则λ=(　　) A.-或　　　　B.-9　　 C.-9或11　　　　D.6或-4 9.直线l1,l2是分别经过点A(1,1),B(0,-1)的两条平行直线,则l1,l2间的距离的取值范围是(　　) A.(0,1)　　　　B.(0,]　　 C.(0,]　　　　D.(0,) 10.若直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,则两直线之间的距离为(　　) A.　　B.1　　C.　　D.2 11.若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a=(　　) A.-1　　B.2　　C.-1或2　　D.-2或1 12.已知两条平行直线l1:2x+y+1=0,l2:ax+2y+c=0间的距离为,则a+c=　　　　.  13.已知两条平行直线l1:x-2y+1=0,l2:mx-y+n=0间的距离为,则|2m-2n|=　　　　.  能力提升练 题组　距离公式的应用 1.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于(　　) A.3　　B.4　　C.5　　D.6 2.若动点M(x1,y1),N(x2,y2)分别在直线x+y+7=0与直线x+y+5=0上移动,则MN的中点P到原点的距离的最小值为(　　) A.2　　B.3　　C.3　　D.2 3.在平面直角坐标系中,点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 4.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为　　　　.  5.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(1,3)到直线l的距离为,则直线l的方程为　　　　　　.  6.已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,能否找到一点P,使得点P同时满足:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 7.已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上,求直线l的方程. 8.(教材深研拓展)已知直线l:ax+by+c=0和点P(x0,y0),点P到直线l的有向距离d(P,l)的计算方法规定如下:若b≠0,d(P,l)=,若b=0,d(P,l)=. (1)已知直线l1:3x-4y+12=0,直线l2:2x+3=0,求原点O到直线l1,l2的有向距离d(O,l1),d(O,l2); (2)已知点A(2,1)和点B(3,-1),是否存在通过点A的直线l3,使得d(B,l3)=2?如果存在,求出所有这样的直线l3的方程;如果不存在,说明理由; (3)设直线l4:xcos α+2ysin α-2=0,问是否存在实数t>0,使得对任意的参数α都有:点F1(-t,0),F2(t,0)到l4的有向距离d(F1,l4),d(F2,l4)满足d(F1,l4)·d(F2,l4)=1?如果存在,求出所有满足条件的实数t;如果不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 基础过关练 1.A 2.D 3.C 4.C 7.D 8.A 9.C 10.C 11.A 1.A　由点到直线的距离公式知,d===3,又a>0,故a=2.故选A. 2.D　由题知直线l的斜率存在.∵直线l过原点O,∴可设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0,∵A(1,0),B(3,2)两点到直线l的距离相等,∴=,解得k=1或k=,故直线l的方程为x-y=0或x-2y=0.故选D. 3.C　直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R),即x+y-2+λ(3x+y-4)=0(λ∈R),从代数观点来看,若∀λ∈R,有x+y-2+λ(3x+y-4)=0成立,则只能满足解得即直线l过定点(1,1),记Q(1,1).若要P(-2,-1)到直线l的距离最大,只需PQ⊥l,此时点P(-2,-1)到直线l的最大距离等于线段PQ的长度,且|PQ|==,又直线PQ的斜率为=,故此时直线PQ的方程为y+1=(x+2),即2x-3y+1=0.故选C. 4.C　当M在直线l上时,有4(m+2)+3(m-1)-3m-3=0,解得m=-,即直线l:x-y-1=0,此时M到l的距离d=0;当M在直线l外时,由(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,可得m(x+y-3)+2x-y-3=0,由解得x=2,y=1,即直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0过定点(2,1),记A(2,1),易知当MA⊥l时,d取得最大值,且dmax=|MA|==2,此时kMA==1,所以直线l的斜率为-1,即-=-1,此时无解,所以d<2.故d∈[0,2).故选C. 5.答案　[-9,-1] 解析　因为P(2,)到直线x+y+t=0的距离不超过2,所以≤2,解得-9≤t≤-1,即实数t的取值范围是[-9,-1]. 6.解析　(1)由边BC的垂直平分线的方程为x-y-5=0,得kBC=-1,又C(3,-4),∴BC边所在直线的方程为y+4=-(x-3),即x+y+1=0. (2)因为直线x-y-5=0是BC边的垂直平分线, 所以点B与点C关于直线x-y-5=0对称, 设B(a,b),则BC的中点为,将中点坐标代入得解得 所以B(1,-2), 故|BC|==2, 点A到直线BC的距离为=, 所以S△ABC=×2×=3. 7.D　直线x-2y+1=0可化为2x-4y+2=0,∴平行直线x-2y+1=0,2x-4y-3=0间的距离是=.故选D. 8.A　直线x+3y+λ=0可化为2x+6y+2λ=0,由题意可得=,解得λ=-或λ=.故选A. 9.C　易知两直线之间的最大距离为A,B两点间的距离.由两点间的距离公式得|AB|==.故l1,l2间的距离的取值范围为(0,]. 10.C　因为直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,所以解得a=1(二重根), 故直线l1:x+y-2=0,l2:2x+2y-2=0,即x+y-1=0,所以这两条平行直线之间的距离为=.故选C. 11.A　当a=1时,可得l1:x+2=0,l2:x+2y+1=0,由≠,可知此时不符合题意.当a≠1时,可得直线l1的斜率=,直线l2的斜率=-,由题知=-,整理可得a2-a-2=0,则(a-2)(a+1)=0,解得a=2或a=-1,当a=-1时,可得l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即x-2y-1=0,由两平行直线之间的距离公式得=,符合题意;当a=2时,可得l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,即x+y+=0,由两平行直线之间的距离公式得=≠,不符合题意.综上可得a=-1.故选A. 12.答案　-4或16 解析　因为直线l1:2x+y+1=0与l2:ax+2y+c=0平行,所以2×2=a×1,即a=4,故l2:4x+2y+c=0, 则l1与l2间的距离为=,解得c=-8或c=12,故a+c=-4或a+c=16. 13.答案　5 解析　根据题意,得1×(-1)=(-2)×m,解得m=,则l2:x-y+n=0,变形可得x-2y+2n=0,又两条平行直线间的距离为,故=,解得n=3或n=-2,故|2m-2n|=5. 能力提升练 1.C 2.B 3.C 1.C　设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5. 2.B　由题意知,P点的轨迹为平行于直线x+y+7=0与直线x+y+5=0且到两直线距离相等的直线,易得其方程为x+y+6=0,∴P到原点的距离的最小值即原点到直线x+y+6=0的距离,为=3.故选B. 3.C　直线x-my-2=0恒过点(2,0),设其为C. 作出点P满足的图形如图所示. 旋转直线x-my-2=0,可以发现,当直线垂直于x轴时,点A(-1,0)到直线的距离最大,为|AC|=3. 所以当a,b,m变化时,d的最大值为3.故选C. 4.答案　+ 解析　如图,由两平行直线间的距离公式得|PQ|=. 过点A作垂直于l1的直线,并在该直线上截取|AA'|=|PQ|. 设A'(x0,y0), 则所以A'. 连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,所以|AP|=|A'Q|,又|A'B|=,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥+.故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为+. 5.答案　x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0 解析　若截距为0,则可设直线l的方程为y=kx(k≠0),由题意知=,解得k=1或k=-7,此时直线l的方程为x-y=0或7x+y=0;若截距不为0,则可设直线l的方程为x+y-a=0(a≠0),由题意知=,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上,直线l的方程为x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0. 6.解析　设P(x0,y0). 若点P满足条件②,则=·,化简得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0. 若点P满足条件③,则=·,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 又P是第一象限的点,∴3x0+2=0不合题意,舍去. 由得不合题意,舍去. 由得 ∴满足题意的点P的坐标为. 7.解析　解法一:因为点M在直线x+y-3=0上, 所以设点M的坐标为(t,3-t),因为点M到直线l1,l2的距离相等,所以=,解得t=, 所以M.又直线l经过点A(2,4), 所以直线l的方程为5x-y-6=0. 解法二:设与l1,l2平行且距离相等的直线为l3:x-y+c=0(c≠1,c≠-1),由两平行直线间的距离公式得=,解得c=0,即l3:x-y=0.由题意得中点M在直线l3上,又点M在直线x+y-3=0上,所以由解得所以M. 又l过点A(2,4),所以直线l的方程为5x-y-6=0. 8.解析　(1)根据点到直线的有向距离的计算方法得,d(O,l1)==-,d(O,l2)==,即d(O,l1)=-,d(O,l2)=. (2)当直线l3的斜率不存在时,直线l3的方程为x-2=0,此时d(B,l3)==1≠2,舍去; 当直线l3的斜率存在时,设直线l3的方程为y-1=k(x-2),即-kx+y-1+2k=0, 若d(B,l3)==2,则3k2-4k=0,解得k=0或k=. 所以存在这样的直线l3,其方程为y-1=0或4x-3y-5=0. (3)当sin α=0时,直线l4:xcos α-2=0,d(F1,l4)=,d(F2,l4)=, 由d(F1,l4)·d(F2,l4)==1,整理得4-t2cos2α=cos2α,因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1,所以t2=3,因为t>0,所以t=; 当sin α≠0时,直线l4:xcos α+2ysin α-2=0, 可得d(F1,l4)=,d(F2,l4)=, 由d(F1,l4)·d(F2,l4)=1,得=1, 即|4-t2cos2α|=cos2α+4sin2α=4-3cos2α,即4-t2cos2α=4-3cos2α或4-t2cos2α=3cos2α-4,解得t2=3或(t2+3)cos2α=8, 由题意知对任意的参数α都有d(F1,l4)·d(F2,l4)=1恒成立,且t>0,所以t=. 综上所述,存在满足条件的实数t,且t=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$