1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.点的位置向量 　　如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量 来表 示.我们把向量 称为点P的位置向量.   1.4　空间向量的应用 知识点 1 空间中点、直线和平面的向量表示 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 必备知识 清单破 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.空间直线的向量表示式 　　如图(1),a是直线l的方向向量,在直线l上取 =a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线 l上⇔存在实数t,使得 =ta,即 =t . 　　如图(2),取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上⇔存在实数t,使 = +ta(i),将 =a 代入(i)式,得 = +t (ii). (i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式.   图(1) 图(2) 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　      3.空间平面的向量表示式 　　如图,取定空间任意一点O,则空间一点P在平面ABC内⇔存在实数x,y,使 = +x +y (iii).我们把(iii)式称为空间平面ABC的向量表示式.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间直线的方向向量:若l是空间一直线,A,B是直线l上的任意两点,则称 为直线l的方向向 量,与 平行的任意非零向量也是直线l的方向向量. 2.平面的法向量:与平面垂直的直线的方向向量,称为平面的法向量. 待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设法向量为n=(x,y,z); (2)在已知平面内找或求两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3); (3)建立方程组  (4)解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对这个未知量赋特殊值,从而得到平面 的一个法向量. 知识点 2 空间直线的方向向量和平面的法向量 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 位置关系 向量表示 线线平行 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔u 1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2 线面平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l ⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0 面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1 ∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 知识点 3 空间中直线、平面的平行 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 位置关系 向量表示 线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u 1⊥u2⇔ u1·u2=0 线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n, 则l⊥α⇔ u∥n ⇔∃λ∈R,使得u=λn 面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔ n1 ⊥n2⇔n1·n2=0 知识点 4 空间中直线、平面的垂直 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.直线的方向向量和平面的法向量是否唯一? 2.点A,B 在平面α上,且 ∥ ,能否判定直线CD与平面α平行? 3.直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗? 4.若m⊥α,l为平面α的法向量所在的直线,且m,l的方向向量分别为a,b,则a与b有什么关系? 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不唯一.直线的方向向量不是唯一的,它们都是共线向量.解题时,可以选取坐标最方便计算 的方向向量.一个平面的法向量也不是唯一的,一个平面的所有法向量都共线.在应用时,可以 根据需要进行选取. 2.不能.题目未说明C、D两点是否在平面α上,所以直线CD可能在平面α内,也可能与平面α平 行. 3.垂直.由线面垂直的判定定理可得l与α垂直. 4.a∥b.因为l为平面α的法向量所在的直线,所以l⊥α,又m⊥α,所以l∥m或l与m重合,所以a∥b. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.解决立体几何问题的方法 (1)几何法:利用判定定理和性质定理解决问题; (2)基底法:利用基向量进行向量运算,从而解决问题; (3)坐标法:通过建系,利用向量的坐标运算解决问题. 基底法和坐标法都是向量法.在解决具体问题时,要灵活选择不同方法,使解题方便,当图形的 垂直特征明显且坐标易求时可优先选择坐标法. 2.利用空间向量证明线线平行 (1)基底法:分别用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,然后通过线性运算,证明两方 向向量共线即可. (2)坐标法:建立适当的空间直角坐标系,利用直线的方向向量的坐标之间的关系进行证明. 定点 1 利用空间向量解决平行问题 关键能力 定点破 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用空间向量证明线面平行 (1)常用方法:设直线l的方向向量是u,平面α的法向量是n,要证明l∥α,只需证明u⊥n,即证明u· n=0.求解平面的法向量时,对未知数的赋值与相关运算一定要准确. (2)根据线面平行的判定定理进行证明:定理为平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行.要证明一条直线和一个平面平行,只需在平面内找一向量,证明它与 已知直线的方向向量是共线向量即可,但需要特别注意已知直线不在平面内. (3)根据共面向量定理进行证明:要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向 向量能够用这个平面内的两个不共线向量线性表示即可. 4.利用空间向量证明面面平行 (1)向量法:设平面α的法向量为u,平面β的法向量为v,则α∥β⇔u∥v; (2)转化法:转化为证明线面平行、线线平行. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.   思路点拨：    第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明：   证法一:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.   设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M ,N ,∴ =(1,0,1), =(1,1, 0), = . 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,则y=-1,z=-1, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1). ∵ ·n= ·(1,-1,-1)=0, ∴ ⊥n,∵MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD. 证法二: = - =  -  = ( - )=  ,∴ ∥ , 又MN⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD, ∴MN∥平面A1BD. 证法三: = - =  -  =  -  = ( + )- ( + )=  -  . 根据共面向量定理可知,MN∥平面A1BD. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用向量方法证明线线垂直 (1)坐标法:建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后 通过数量积的坐标运算证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及相关运算律,结合图形的几何特征,将 与两直线有关的向量分别用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明此数量积等于0,从而 证明两条直线互相垂直. 2.用坐标法证明线面垂直的两种思路 (1)基向量法:根据线面垂直的判定定理证明,先用基向量表示直线的方向向量a,然后在平面 内找两条相交直线,并分别用基向量表示它们的方向向量b,c,由a·b=0且a·c=0,得该直线与平 面内的两条相交直线都垂直,从而可得线面垂直. 定点 2 利用空间向量解决垂直问题 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,利用向量的线性运算判定直线的方向向 量与平面的法向量平行,从而可得线面垂直. 3.证明面面垂直的三种方法 (1)利用两个平面垂直的性质定理,证明其中一个平面过另一个平面的垂线,即转化为证明线 面垂直,进而转化为证明线线垂直. (2)直接求解两个平面的法向量,证明这两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直. (3)证明一个平面的法向量平行于另一个平面. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明： 证法一:设 =a, =b, =c,连接BD,则 = + = ( + ) = ( + )=  ( + - )= (b+c-a), = + =a+b. ∵ · = (b+c-a)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0, ∴ ⊥ ,即EF⊥AB1. 同理,可证得EF⊥B1C. 又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面B1AC, ∴EF⊥平面B1AC. 证法二:设正方体的棱长为2a(a>0),建立如图所示的空间直角坐标系, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a), ∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0). ∵ · =(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,  · =(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC. 又AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面B1AC, ∴EF⊥平面B1AC. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证法三:由证法二得 =(-a,-a,a),  =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0). 设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z), 则 即  令y=1,则x=1,z=-1,∴n=(1,1,-1). ∵ =-an,∴ ∥n,∴EF⊥平面B1AC. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平 面AEC1⊥平面AA1C1C.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明：由题意得BA,BC,BB1两两互相垂直.以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y 轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.   则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E ,则 =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,2,1), =  . 设平面AA1C1C的法向量为n=(x1,y1,z1), 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  令x1=1,得y1=1,∴n=(1,1,0). 设平面AEC1的法向量为m=(x2,y2,z2), 则 即  令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴m=(1,-1,4). ∵n·m=1×1+1×(-1)+0×4=0, ∴n⊥m,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.存在、判断型 　　先假设存在,设出空间点的坐标,然后将待求解的问题转化为代数方程“是否有解”或 “是否有规定范围内的解”的问题.若有解且满足题意,则存在;若有解但不满足题意或无解, 则不存在. 2.位置探究型 　　借助向量,引入参数,综合题目中各已知信息列关系式,解出参数,从而确定位置. 定点 3 用空间向量解决立体几何中与平行、垂直相关的探索性问题 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,CC1的中点.在棱CD上是否存在点T,使 得AT∥平面B1EF?若存在,求出点T的位置;若不存在,请说明理由.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析： 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.   设正方体的棱长为2a(a>0),则B1(2a,2a,2a),E(2a,a,0),F(0,2a,a),A(2a,0,0). 假设在棱CD上存在点T(0,t,0),t∈[0,2a],使得AT∥平面B1EF. 易得 =(0,-a,-2a), =(-2a,a,a), =(-2a,t,0). 设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z), 则 令z=1,则y=-2,x=- ,∴n= . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 由题意得 ·n=a-2t=0,解得t= , ∴DT= DC, ∴在棱CD上存在点T,使得AT∥平面B1EF,此时点T在DC上靠近点D的四等分点处. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$