2.5.2 圆与圆的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2　圆与圆的位置关系 　　 知识点 1 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆圆心距为d,则两圆的位置关系如下: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           d与r1,r2的关 系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 必备知识 清单破 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 (2)代数法:设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2> 0),联立两圆方程得  则此方程组解的情况与两圆位置关系的相关结论如下: 方程组的解 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　两圆公切线条数与两圆位置关系的相关结论如下: 知识点 2 两圆公切线条数和两圆的位置关系 位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 图示           公切线条数 4 3 2 1 0 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.由两圆的公切线条数能推出两圆的位置关系吗? 2.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆的位置关系是什么? 3.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆一定相交吗? 4.若两圆有公共点,则两圆的圆心距d和两圆的半径r1,r2需满足什么条件? 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.能.由知识点2知它们有一定的对应关系. 2.外切或内切. 3.不一定.还需要满足两圆圆心距大于两圆半径之差的绝对值. 4.|r1-r2|≤d≤r1+r2. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 两圆的位置关系 关键能力 定点破 　一般利用几何法解决两圆位置关系的相关问题,其关键是正确找出圆心和半径,分析两 圆圆心之间的距离与两圆半径的和(或差的绝对值)的大小关系. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为　　　    . (2)已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圆C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为      　　    . (3)已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆的公切线方程为 　　　　　　     　　　　　    . 外切 2 y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析： (1)设圆O1,O2的半径分别为r1,r2,则O1(-2,2),O2(2,5),r1=1,r2=4, 因为|O1O2|= =5=r1+r2, 所以两圆外切. (2)易知圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1,圆C2:(x-2)2+(y+1)2= , 则两圆圆心距|C1C2|= = , 又1- < <1+ ,所以两圆相交, 所以这两个圆的公切线的条数为2. (3)圆O1的圆心为O1(-1,-3),半径r1=1; 圆O2的圆心为O2(3,-1),半径r2=3,因为|O1O2|=2 >r1+r2,所以两圆外离,故两圆有四条公切线. 当公切线的斜率存在时,设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0, 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 则有  解得 或 或  所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0. 当公切线的斜率不存在时,易得其方程为x=0. 综上,两圆的公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    本例(3)中易忽略斜率不存在的情况,防止出现这种情况的有效方法就是先判断 出两圆的位置关系,确定公切线的条数,再求解.若通过设斜截式方程求得的直线少于确定的 条数,则一定有斜率不存在的公切线. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念   1.两圆的公共弦所在直线方程的求法 　　设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0). 联立,得  ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 若两圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③ 就是经过两圆交点的直线方程. 有以下结论: (1)当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线 的方程. 定点 2 两圆的公共弦问题 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 (2)当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程. (3)当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. (4)若两圆(不重合)是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平 分线的方程. 2.两圆公共弦的长度的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点的坐标,再利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:①将两圆的方程作差,求出公共弦所在直线的方程;②求出其中一个圆的圆心到公 共弦所在直线的距离;③利用勾股定理求出公共弦的长度. 3.求经过两圆交点的圆的方程的方法 　　一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F 2>0)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),或者x2+y2+ D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2]=0(λ∈R),再由其他条件求出λ即得圆的方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 求圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦 的长. 解析：联立  两式相减并化简,得x-2y+4=0, 即两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0. 解法一:设两圆相交于A,B两点,则A,B两点的坐标满足方程组  解得 或  所以|AB|= =2 ,即公共弦的长度为2 . 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径为5 . 圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离为 =3 . 设公共弦的长度为2l(l>0),则50=(3 )2+l2,所以l= , 故公共弦的长度为2l=2 . 易错警示    只有在两圆相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圆C1:x2+y2+D1x+E1y +F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)的公共弦所在直线的方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆C的方程. 解析：解法一:联立两圆方程,得  两式相减并化简,得公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0. 联立  解得 或  即两圆交点为(-1,2),(5,-6). ∵圆C以公共弦为直径, ∴其圆心是公共弦的中点,即(2,-2),半径为   =5. ∴圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=25. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(4x+3y-2)=0(λ为参数,λ∈R),即x2+y2+(4λ-12)x+(3λ-2)y-13- 2λ=0. 可求得圆心为C . ∵圆心C在公共弦所在直线上, ∴4(6-2λ)+3 -2=0, 解得λ=2. ∴圆C的方程为x2+y2-4x+4y-17=0. 解法三:由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0. 设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数,λ≠-1). 可求得圆心为C . 解法二:由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 ∵圆心C在公共弦所在直线上, ∴4· +3· -2=0, 解得λ= . ∴圆C的方程为x2+y2-4x+4y-17=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$