1.3.1 函数的单调性与导数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.3　导数在研究函数中的应用 1.3.1　函数的单调性与导数 1.函数f(x)的单调性与其导数f'(x)的正负的关系 若在区间(a,b)内,f ' (x)>0,则函数f(x)在此区间内单调递增,(a,b)为f(x)的单调递增区间; 若在区间(a,b)内,f ' (x)<0,则函数f(x)在此区间内单调递减,(a,b)为f(x)的单调递减区间. 特别地,如果在区间(a,b)上恒有f '(x)=0,那么函数f(x)在这个区间上是常数函数. 2.一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,那么函数在这个范围 内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个 范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”. 函数的单调性与导数的关系 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.已知函数f(x),若在定义域上都有其导数f '(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调 递减吗? 不一定.如函数f(x)= ,在定义域上都有f'(x)=- <0,但f(x)在其定义域上不是单调 函数. 2.“在某个区间上f '(x)>0”是“f(x)是此区间上的增函数”的充要条件吗? 不是.在某个区间上的个别点处满足f'(x)=0不会影响f(x)在该区间上的单调性,故 为充分不必要条件. 3.函数y= 的单调递减区间可以写成(-∞,0)∪(0,+∞)吗? 不可以.函数y= 的单调区间不能用“∪”连接,可用“,”或“和”连接. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 4.对于函数y=f(x),其图象变化得越快,则其导函数f'(x)的值越大,对吗? 不对.函数y=f(x)的图象变化得越快,其导函数f'(x)的绝对值越大. 5.“函数的单调区间是(a,b)”和“函数在(a,b)上单调”说法是一致的吗? 不一致.函数的单调区间是函数单调的完整区间,而函数在某区间上单调时,这个 区间可以是函数单调区间的一个子区间. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.导函数的正负决定了原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为负, 图象下降”的原则.根据导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或负.解 决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象. 2.由函数f(x)的图象判断其导函数f'(x)的图象,其思维方式是利用函数f(x)的图象 得到函数的单调性,进而得到函数f'(x)的正负;由f'(x)的图象判断f(x)的图象,其思维 方式是利用函数f'(x)的正负来确定原函数f(x)的单调性. 1 导数与原函数图象间的关系 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的导函数f'(x)的图象大致是 (　    )  第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    由题中函数f(x)的图象可知,函数f(x)在(-∞,0)上先单调递减,然后单调递增, 再单调递减,在(0,+∞)上单调递增,则其导函数在(-∞,0)上,从左往右先小于零,然 后大于零,再小于零,在(0,+∞)上大于零,排除A,B,C,故选D. 答案    D 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.利用导数判断函数的单调性的步骤 (1)求函数f(x)的导数f'(x); (2)结合定义域求出导数f'(x)的零点; (3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,分析f'(x)在各区间上的正负,由 此得出函数 f(x)在定义域内的单调性. 2.含参数的函数的单调性问题 解决含有参数的函数的单调性问题,要考虑参数对单调性的影响,必要时要进行 分类讨论,主要考虑:①含参数的方程f'(x)=0是否有根;②方程f'(x)=0的根是否在定 义域内;③方程f'(x)=0的不同根的大小. 2 利用导数研究函数的单调性 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　已知函数f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值; (2)求f(x)的单调区间. 思路点拨    (1)求f'(x) 根据题意得f'(1)=f'(3) 解方程求出a. (2)对f'(x)变形 分类讨论 确定f'(x)的符号 结合定义域求出单调区间. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)由题意知f '(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互 相平行,∴f '(1)=f '(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ ,解得a= . (2)由(1)知f '(x)= (x>0). ①当a≤0时,∵x>0,∴ax-1<0, ∴在区间(0,2)上, f'(x)>0;在区间(2,+∞)上,f '(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). ②当0<a< 时, >2,在区间(0,2)和 上, f '(x)>0;在区间 上, f '(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(0,2)和 ,单调递减区间是 . ③当a= 时, f'(x)= ≥0,当且仅当x=2时取等号,故f(x)的单调递增区间是(0, +∞),无单调递减区间. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 ④当a> 时,0< <2,在区间 和(2,+∞)上, f '(x)>0;在区间 上,f '(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是 和(2,+∞),单调递减区间是 . 综上,当a≤0时, f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞); 当0<a< 时, f(x)的单调递增区间是(0,2)和 ,单调递减区间是 ; 当a= 时, f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间; 当a> 时, f(x)的单调递增区间是 和(2,+∞),单调递减区间是 . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 　　已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的值(或范围)的步骤: (1)求f(x)的导数f'(x); (2)将f(x)在(a,b)上单调递增(减)问题转化为不等式恒成立问题,即f'(x)≥0(f'(x)≤0) 在(a,b)内恒成立; (3)利用函数的最值解决不等式恒成立问题; (4)注意验证等号能否取到. 3 已知函数的单调性求参数的值（或范围） 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例    (1)已知函数f(x)=ax2+ln(x+1)在区间(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值 范围; (2)已知关于x的函数f(x)=x3-ax+b的一个单调递增区间为(1,+∞),求实数a的值. 思路点拨    (1)求f'(x) 由f'(x)≤0分离参数a 确定实数a的取值范围.(2)思路 一:f'(1)=0 确定实数a的值. 思路二:对参数a进行分类讨论 得到实数a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减, 所以f'(x)=2ax+ ≤0对任意x∈(1,+∞)恒成立,即a≤- 对任意x∈(1,+∞) 恒成立. 令g(x)=- ,x∈(1,+∞), 易得g(x)在区间(1,+∞)上单调递增, 故g(x)>g(1)=- ,故a≤- . 即实数a的取值范围为 . (2)由题意得f'(x)=3x2-a. 解法一:由题意可知, f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,a= 3满足条件,所以a=3. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解法二:令f'(x)≥0,得x2≥ . 若a≤0,则x2≥ 恒成立,即f'(x)≥0在R上恒成立,当且仅当x=0且a=0时取等号, 此时, f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符. 若a>0,由f'(x)>0,得x> 或x<- . 因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间, 所以 =1,即a=3. 陷阱分析    理解题意时,要注意“函数在区间(1,+∞)上单调”与“函数的一个单 调区间为(1,+∞)”的区别,其中,后者的区间(1,+∞)是函数的一个完整的单调区 间,前者的区间(1,+∞)是函数的一个单调区间的子区间. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.利用导数证明(解)不等式的关键是构造函数,因此熟悉以下结论可以达到事半 功倍的效果. (1)对于f'(x)>g'(x),可构造h(x)=f(x)-g(x),特殊地,若遇到f'(x)>a(a≠0),则可构造h(x)= f(x)-ax. (2)对于f'(x)+g'(x)>0,可构造h(x)=f(x)+g(x). (3)对于f'(x)+f(x)>0,可构造h(x)=exf(x). (4)对于f'(x)-f(x)>0,可构造h(x)= . (5)对于xf'(x)+f(x)>0,可构造h(x)=xf(x). (6)对于xf'(x)-f(x)>0,可构造h(x)= . 4 利用导数证明（解）不等式 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 (7)对于  >0,分类讨论:①若f(x)>0,则构造h(x)=ln f(x);②若f(x)<0,则构造h(x)= ln[-f(x)]. 2.利用导数证明不等式的步骤 (1)将要证明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a,b))移项,构造函数F(x)=f(x)-g(x),转化为证明 F(x)>0(x∈(a,b)). (2)确定函数F(x)的单调性,若F'(x)>0,则F(x)在(a,b)上是增函数;若F'(x)<0,则F(x)在 (a,b)上是减函数. (3)将区间的端点值a或b代入F(x),若函数F(x)是增函数,且F(a)=f(a)-g(a)≥0,则当x ∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x);若F(x)是减函数,且F(b)≥0,则当x∈(a,b)时,f(x)-g (x)>0,即f(x)>g(x). 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　求证:当x>1时, +1> . 证明    ∵x>1,∴要证 +1> , 即证 (x-1)>2ln x, 即证x- -2ln x>0. 令φ(x)=x- -2ln x,x>1, 则φ'(x)=1+ - = , 易知φ'(x)>0在(1,+∞)上恒成立, ∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴φ(x)>φ(1)=0, 即x- -2ln x>0, 即原不等式成立. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 $$