1.2 导数的运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.常数函数导数为0:(c)'=0; 2.恒等函数导数为1:(x)'=1; 3.(x2)'=2x; 4.(x3)'=3x2; 5. '=- ; 6.( )'= . 1.2　导数的运算 1 | 常见幂函数的导数 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.(c)'=0; 2.(xα)'=αxα-1(α≠0); 3.(ex)'=ex; 4.(ax)'=axln a(a>0,a≠1); 5.(ln x)'= ; 6.(logax)'= (a>0,a≠1); 7.(sin x)'=cos x; 8.(cos x)'=-sin x; 9.(tan x)'= . 2 | 基本初等函数的求导公式 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.和、差的导数 (f(x)±g(x))'=f '(x)±g'(x). 2.积的导数 (cf(x))'= cf'(x)(c为常数); (f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x) . 3.商的导数  '= . 3 | 函数的求导法则 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.一般地,设y=f(u)是关于u的函数,u=g(x)是关于x的函数,则y=f(g(x))是关于x的函 数,称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 2.对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),其求导法则为y'x=y'u·u'x,即y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4 | 复合函数的概念及求导法则 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.若f(x)=3x,则f'(x)=x·3x-1,正确吗? 不正确.f(x)=3x为指数函数,它的导数为f'(x)=3xln 3. 2.若f'(x)=1,则f(x)的原函数一定是f(x)=x吗? 不一定.若f'(x)=1,则f(x)=x+c(c为常数). 3.函数y=e-x的导数是y'=e-x吗? 不是.y= 是复合函数,它的求导法则是y'x=y'u·u'x,因此其导数为y'=-e-x. 4.已知函数f(x)=x- x2-ln x,则f'(-1)=3,对吗? 不对.由f(x)=x- x2-ln x,得f'(x)=1-x- ,但应注意函数的定义域为{x|x>0},所以f'(-1) 的值不存在. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 　　求函数的导数时需要注意以下几个方面: (1)认真分析函数表达式,若其符合导数公式的形式,则直接利用公式求解. (2)对于不能直接利用公式求解的类型,一般遵循“先化简再求导”的原则,例如, 若待求导的函数是幂函数,则根指数要化成分数指数形式;若待求导的函数是三 角函数,则往往需要利用三角恒等变换公式对函数式进行化简等. 1 利用导数公式及求导法则求函数的导数 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　求下列函数的导数. (1)y=2cos2 -1; (2)y=3x+lg x; (3)y=x2+tan x; (4)y= . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)∵y=2cos2 -1=cos x, ∴y'=(cos x)'=-sin x. (2)∵y=3x+lg x, ∴y'=3xln 3+ . (3)∵y=x2+tan x, ∴y'=(x2)'+(tan x)' =2x+ . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 (4)∵y= , ∴y'=  =  = . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.复合函数求导的步骤 2.求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数; (2)求导时分清是对哪个变量求导; (3)计算结果尽量简单. 2 复合函数求导 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　求下列函数的导数. (1)y=e2x+1; (2)y= ; (3)y=5log2(1-x); (4)y=sin3x+sin 3x. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)函数y=e2x+1可看成函数y=eu和u=2x+1的复合函数, ∴y'x=y'u·u'x=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1. (2)函数y= 可看成函数y=u-3和u=2x-1的复合函数, ∴y'x=y'u·u'x=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=- . (3)函数y=5log2(1-x)可看成函数y=5log2u和u=1-x的复合函数, ∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'·(1-x)' = = . (4)函数y1=sin3x可看成函数y1=u3和u=sin x的复合函数,函数y2=sin 3x可看成函数y2=sin v和v=3x的复合函数, ∴y'x=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)' =3u2cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.利用导数的运算法则解决切线问题,有以下几种常见题型: (1)求曲线在某点处的切线方程; (2)已知切线的方程或斜率求切点; (3)切线问题的综合应用. 2.切线问题的处理方法: (1)对函数进行求导; (2)若已知切点,则直接求出切线斜率、切线方程; (3)若切点未知,则先设出切点,用切点横坐标表示切线斜率,再根据条件求切点坐标. 在解决此类问题时,求函数的导数是基础,找切点是关键. 3 利用导数的运算解决切线问题 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4. (1)求曲线C在点(1,-4)处的切线方程; (2)(1)中求出的切线与曲线C是否还有其他交点?若有,求出交点;若没有,说明理 由. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)易得y'=12x3-6x2-18x, 当x=1时,y'=-12, 即曲线C在点(1,-4)处的切线的斜率为-12, ∴所求切线方程为y+4=-12(x-1), 即12x+y-8=0. (2)有其他交点. 将切线方程与曲线C的方程联立,得方程组  消y并整理,得3x4-2x3-9x2+12x-4=0, ∴x3(3x-2)-(3x-2)2=0, ∴(x+2)(3x-2)(x-1)2=0, 解得x1=-2,x2= ,x3=x4=1. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 将x=-2代入切线方程12x+y-8=0,得y=32; 将x= 代入切线方程12x+y-8=0,得y=0. 综上,除切点(1,-4)外,还有两个交点(-2,32)和 . 导师点睛    解决切线问题要以切点为突破口,已知切点直接用,未知切点先设后 用,此处还应注意:①曲线在切点处的导数等于切线的斜率;②切点在曲线上;③切 点在切线上. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 $$