7_1 两个基本计数原理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

7.1 两个基本计数原理 知识点 1 分类计数原理(加法原理) 必备知识 清单破 　　如果完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不 同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不 同的方法. 　 如果完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法… …做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 知识点 2 分步计数原理(乘法原理) 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 两个基本计数原理的比较 分类计数原理 分步计数原理 不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘 每类方式中的每一种方法都 能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件 事   都可用来计算完成某件事的方法种数,最终的目的都是完成 某件事   类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.要完成一件事,如何选择用分类计数原理还是分步计数原理? 2.在分类计数原理中,两类不同方式中的方法可以相同吗? 3.在分步计数原理中,第2步的方法数是否受第1步不同方法的影响? 4.有三只口袋装有小球,一只装有5个大小不同的白色小球,一只装有6个大小不同的黑色小 球,一只装有7个大小不同的红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,则共有多少种不同 的取法? 5.在一次运动会上有四项比赛,冠军仅在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有43 种还是34种? 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.看每一种方法是否能够独立完成这件事,如果每类方式中的每一种方法都能独立完成这件 事,那么就用分类计数原理;如果每类方式中的每一种方法只能完成这件事的一部分,那么就 用分步计数原理. 2.不可以.在分类计数原理中,每类方式中的不同方法互相独立,都能独立完成这件事,因此两 类不同方式中的方法是不同的. 3.否.无论第1步采用哪种方法,与之对应的第2步都有相同的方法数. 4.107种.5×6+5×7+6×7=107(种). 5.34种.要完成的一件事是“给比赛项目找冠军获得者”,因为每个项目中的冠军都有3种可 能的情况,所以根据分步计数原理知共有34种不同的夺冠情况. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念   1.利用两个基本计数原理时,首先要理解题意,弄清“完成哪件事”,然后决定是分类还是分 步.“类”用“+”连接,“步”用“×”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的 完成,“步”则缺一不可. 2.解题时通常要综合考虑两个计数原理 (1)类中有步   　　从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法. 关键能力 定点破 定点 1 两个基本计数原理的合理选择 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 (2)步中有类   　　从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 有6名同学报名参加3个智力竞赛项目. (1)若每人恰好参加一个项目,每个项目人数不限,则有多少种不同的报名方法? (2)若每个项目限报一人,且每人至多参加一个项目,则有多少种不同的报名方法? (3)若每个项目限报一人,但每人参加的项目个数不限,则有多少种不同的报名方法? 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)根据题意得,每名同学都可以从3个智力竞赛项目中选1个参加,根据分步计数原理, 得不同的报名方法种数为36=729. (2)根据题意得,第1个项目有6种选法,第2个项目有5种选法,第3个项目有4种选法,根据分步计 数原理,得不同的报名方法种数为6×5×4=120. (3)根据题意得,每个项目都可以从6名同学中选出1名参加,根据分步计数原理,得不同的报名 方法种数为63=216. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另外2名既会 下象棋又会下围棋.现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选 法? 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    分四类: 第一类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1 名参加围棋比赛,有3×2=6种选法; 第二类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的 学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法; 第三类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的 学生中选1名参加象棋比赛,有2×2=4种选法; 第四类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛,有2×1 =2种选法. 故不同的选法共有6+6+4+2=18(种). 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 1.在计数问题中常涉及元素与位置,解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置 选择元素. 2.当涉及元素数目不大时,一般选择用列举法、树状图法.当涉及元素数目较大或情况比较复 杂时,一般有两种方法: (1)直接法:直接应用分类计数原理或分步计数原理解题. (2)间接法:先去掉限制条件,计算方法总数,然后减去所有不符合条件的方法数,从而得到正确 答案. 定点 2 解决计数问题的常用方法 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 (1)假定有一排蜂房,其形状如图所示,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受了伤只能爬, 不能飞,而且只能从一间蜂房爬到与之相邻的右方(包括右上、右下)蜂房中去,则该蜜蜂从最 初位置爬到4号蜂房中,不同的爬法有 (　    )   A.4种　    B.6种　    C.8种　    D.10种 (2)用0,1,…,9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数是 (　    ) A.243　    B.252　    C.261　    D.279 C B 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)记最初位置为P点,画出树状图如图所示:   故该蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房中共有8种不同的爬法. (2)直接计算比较复杂,可利用间接法. 组成的三位数可分为两类:一类有重复数字,另一类无重复数字.先算无重复数字的三位数的 个数:第一步,排百位数字,有9种方法(0不能排首位),第二步,排十位数字,有9种方法,第三步,排 个位数字,有8种方法,根据分步计数原理,得共有9×9×8=648个无重复数字的三位数,又组成的 所有三位数的个数为9×10×10=900,所以有重复数字的三位数的个数是900-648=252. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图所示,现要栽种4种颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,求共有多少种不同的栽种方法.   第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:区域1,2,3依次栽种的不同颜色的花有4×3×2=24种栽种方法,下面通过分类讨 论考虑区域4,5,6的栽种方法: (1)若区域4与前3个区域栽种的花颜色不同,则:当区域6与区域3栽种的花颜色相同时,区域5 只有1种栽种方法,故区域4,5,6依次栽种的不同颜色的花有1×1×1=1种栽种方法; 当区域6与区域4栽种的花颜色相同时,区域5有2种栽种方法,故区域4,5,6依次栽种的不同颜 色的花有1×2×1=2种栽种方法. (2)若区域4与区域2栽种的花颜色相同,则: 当区域6为第四种颜色的花时,区域5只有1种栽种方法,故区域4,5,6依次栽种的不同颜色的花 有1×1×1=1种栽种方法; 当区域6与区域3栽种的花颜色相同时,区域5只有1种栽种方法,故区域4,5,6依次栽种的不同 颜色的花有1×1×1=1种栽种方法. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 根据分类计数原理和分步计数原理,得不同的栽种方法共有24×(1+2+1+1)=120(种). 解法二:先考虑区域1,有4种栽种方法,再将其余五个区域视为一个圆环,沿着圆环一个边界剪 开并拉直得到如图的五个方格,在五个方格中放3种不同的元素,且满足下列两个条件:①相同 元素不能相邻;②两端元素不能相同.   记3个元素分别为甲、乙、丙,依次从左往右确定元素,前两个方格中的元素有3×2=6种情形, 不妨记为甲、乙,后三个方格中的元素可能情形有:甲乙丙、甲丙乙、丙甲乙、丙甲丙、丙 乙丙,共5种, 由分步计数原理,得不同的栽种方法共有4×6×5=120(种). 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 规律方法    涂色(或种植)问题一般是直接利用两个基本计数原理求解,常用方法如下: (1)根据区域的不同,以区域为主分步计数,用分步计数原理分析; (2)根据所选颜色(或种植作物)种数不同,以颜色(或种植作物)为主分类讨论,用分类计数原理 分析. 第7章　计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 $$