6_3_3 空间角的运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

知识点 用空间向量研究空间角 6.3.3 空间角的计算 必备知识 清单破 空间角 向量求法 异面直 线所成 的角 若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分 别是u,v,则cos θ=|cos<u,v>|= ,θ∈  直线与 平面所 成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方 向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos< u,n>|= ,θ∈  第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 两个平面 所成的角 若平面α,β的法向量分别是n1,n2,则平面 α与平面β所成的二面角的平面角与向量 n1,n2的夹角相等或互补.设平面α与平面 β所成的角为θ,则|cos θ|=|cos<n1,n2>| = ,θ∈[0,π]　　　　　　　     第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若直线l与平面α的夹角为0°,则直线l一定在平面α内吗? 2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角是多少度? 3.已知向量m是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,若cos<m,n>=- ,则直线l与平 面α所成的角是120°吗? 4.在三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若<n1,n2>= ,则二面角A-BD- C的大小一定为 吗? 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.直线l在平面α内或直线l∥平面α. 2.60°.设直线l与平面α所成的角为θ,θ∈ ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|= ,则θ=60°. 3.不是.直线l与平面α所成的角为锐角或直角,并且直线l与平面α所成的角,就是直线l与平面α 的垂线所成角的余角.因此直线l与平面α所成的角应为30°. 4.不一定.当二面角A-BD-C为锐角时,它就等于<n1,n2>= ;当二面角A-BD-C为钝角时,它应等 于π-<n1,n2>=π- = . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.用向量求异面直线所成的角的两种方法 (1)基向量法 基向量法的一般步骤: ①确定空间的一个基底,进而确定空间两直线的方向向量. ②求出两个方向向量夹角的余弦值. ③根据直线夹角与其方向向量夹角的关系,得到两异面直线所成的角. 关键能力 定点破 定点 1 用向量法求异面直线所成的角 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)坐标法 利用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤: ①建立适当的空间直角坐标系并写出相应点的坐标. ②求出两条异面直线的方向向量. ③利用向量夹角的余弦公式得出结论. 2.注意向量的夹角与异面直线所成角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,此角就是异面直线所成的角;当异面直线的 方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两互相垂直,E为OC的中点,且OB=OC=2OA= 2,求直线AE与BC所成角的大小.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(基向量法):根据已知可得 , , 不共面,且| |=1,| |=| |=2, · =  · = · =0. 又因为 = - =  - , = - , 所以 · = ·( - )=  -  · - · + · =2, | |2= · =  - · + =2, | |2=( - )·( - )= -2 · + =8, 所以cos< , >= = = , 因此< , >= , 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 故直线AE与BC所成角的大小为 . 解法二(坐标法):因为OA,OB,OC两两互相垂直, 所以以O为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直 角坐标系,   则由OB=OC=2OA=2可知A(1,0,0),E(0,0,1),B(0,2,0),C(0,0,2), 所以 =(-1,0,1), =(0,-2,2), 因此cos< , >= = = , 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以< , >= , 故直线AE与BC所成角的大小为 . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　  利用向量法求空间中线面角的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,写出相应点的坐标; (2)求出直线的方向向量a的坐标以及平面的法向量b的坐标; (3)设线面角为θ,利用sin θ= ,结合θ∈ 得出结论. 定点 2 用向量法求线面角 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段 AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明:MN∥平面PAB; (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由已知得AM= AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,   由N为PC的中点,得TN∥BC,TN= BC=2, 又AD∥BC,所以TN􀱀AM, 所以四边形AMNT为平行四边形, 所以MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB, 所以MN∥平面PAB. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)取BC的中点E,连接AE. 由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD, 且AE= = = . 以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐 标系A-xyz.   则A(0,0,0),P(0,0,4),M(0,2,0),N ,所以 =(0,2,-4), = , = . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 设n=(x,y,z)为平面PMN的一个法向量, 则 即  令y=2,则z=1,x=0, 所以n=(0,2,1), 所以|cos<n, >|= = , 故直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用向量法求二面角的平面角 (1)如图1, , 是二面角α-l-β的两个半平面内分别与l垂直的向量,则二面角α-l-β的大小θ=<  , >.   图1  图2 图3 定点 3 用向量法求二面角 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)如图2,3,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的大小θ=<n1,n2> 或θ=π-<n1,n2>. 2.利用法向量求二面角的大小(或其某个三角函数值)的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,写出相应点的坐标. (2)求出两个半平面的法向量n1,n2. (3)设二面角的平面角为θ,则|cos θ|=|cos<n1,n2>|. (4)根据图形判断θ为钝角还是锐角,从而求出θ(或其某个三角函数值). 　　注:判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可以看法向量的方向,使法向量的起点落在各 自的平面内,若两个法向量都指向二面角的外部或内部,则二面角等于法向量夹角的补角;若 两个法向量一个指向二面角的外部,另一个指向二面角的内部,则二面角等于法向量的夹角. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥ 平面ABCD,直线PE与平面PAC所成角的正弦值为 . (1)求异面直线PB与CD所成角的大小; (2)求二面角A-PC-D的余弦值.   思路点拨   建系 写出相应点的坐标 由线面角的正弦值确定点P的坐标. (1)求 ,  求两向量夹角的余弦值 求角; (2)分别求两个平面的法向量 求法向量夹角的余弦值 得结论. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    ∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA, ∴PA⊥平面ABCD, 又∵AB⊥AD,∴可建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.   不妨设BC=4,AP=λ(λ>0),则A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),B(2,0,0), ∴ =(2,4,0), =(0,0,λ), =(2,-1,0), =(2,1,-λ). ∵ · =4-4+0=0, · =0, ∴DE⊥AC,DE⊥AP, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 又AC∩AP=A,AC,AP⊂平面PAC, ∴DE⊥平面PAC, ∴平面PAC的一个法向量是 =(2,-1,0). 设直线PE与平面PAC所成的角为θ, 则sin θ=|cos< , >|= = , 解得λ=±2. ∵λ>0, ∴λ=2, ∴P(0,0,2). (1)∵B(2,0,0), 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ =(2,0,-2), 又 =(2,2,0), ∴cos< , >= = , ∴< , >= , 故异面直线PB与CD所成角的大小为 . (2)设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z). 易知 =(2,2,0), =(0,-2,2), 则 即  令x=1,则y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1), 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴cos<n, >= = . 显然二面角A-PC-D的平面角是锐角, ∴二面角A-PC-D的余弦值为 . 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC= AA1,D是棱AA1的中点,BD⊥DC1. (1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角A1-BD-C1的大小.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设AC=BC= AA1=a. (1)证明:连接DC,则DC1=DC= a,CC1=2a, ∵D +DC2=C ,∴DC1⊥DC. 又∵DC1⊥BD,DB∩DC=D,DB,DC⊂平面BDC, ∴DC1⊥平面BDC. ∵BC⊂平面BDC,∴DC1⊥BC. (2)易知DC1= a,BC1= a, ∵BD⊥DC1,∴BD= a. 在Rt△ABD中,BD= a,AD=a,∠DAB=90°,∴AB= a,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC. 故AC,BC,CC1两两互相垂直, 以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   则B(0,a,0),D(a,0,a),C1(0,0,2a), ∴ =(-a,a,-a), =(-a,0,a), 设平面DBC1的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则  令x1=1,则y1=2,z1=1,∴n1=(1,2,1). 同理,可求得平面BDA1的一个法向量为n2=(1,1,0). 设n1与n2的夹角为θ, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则cos θ= = = , ∵0°<θ<180°,∴θ=30°. 由图可知,二面角A1-BD-C1的平面角为锐角, 故二面角A1-BD-C1的大小为30°. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$