6_1 空间向量及其运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.1 空间向量及其运算 知识点 1 空间向量的概念 必备知识 清单破 　　在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量,叫作空间向量. 与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示.凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示 相同的向量. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义 (1)a+b= + = + = (如图①); (2)a-b= - = (如图①); (3)λa(λ∈R):如图②, 当λ>0时,λa=λ = ; 当λ<0时,λa=λ = ; 当λ=0时,λa=0.     知识点 2 空间向量的线性运算 图① 图② 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.运算律 (1)a+b=b+a; (2)(a+b)+c=a+(b+c); (3)λ(μa)=λμa(λ,μ∈R); (4)λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a=λa+μa(λ,μ∈R). 　　向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa. 知识点 3 近共线向量定理 知识拓展    证明空间三点A,B,P共线的方法: (1) =λ (λ∈R); (2)对空间任一点O, = +λ (λ∈R); (3)对空间任一点O, =x +y (x+y=1). 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.空间向量的夹角 　　如图,a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作 =a, =b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作 向量a与向量b的夹角,记作<a,b>.   (1)<a,b>=<b,a>; (2)如果<a,b>=0,那么向量a与b同向;如果<a,b>=π,那么向量a与b反向;如果<a,b>= ,那么称a 与b互相垂直,并记作a⊥b. 知识点 4 空间向量的数量积 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.空间向量的数量积 　　设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a||b|cos<a,b>叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b =|a||b|cos<a,b>. (1)规定:零向量与任一向量的数量积为0. (2)空间向量的数量积的运算律: ①a·b=b·a; ②(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R); ③(a+b)·c=a·c+b·c. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 误区警示    (1)两个向量的数量积的结果是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;(2)两 个向量的数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c⇒/b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)). 3.投影向量 (1)对于空间任意两个非零向量a,b,设向量 =a, =b(如图),过点A作AA1⊥OB,垂足为A1.上 述由向量a得到向量 的变换称为向量a向向量b投影,向量 称为向量a在向量b上的投影 向量.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 与平面向量的情形类似,我们有a·b= ·b,即向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向 量与向量b的数量积. (2)如图,设向量m= ,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量 .我们将上述由 向量m得到向量 的变换称为向量m向平面α投影,向量 称为向量m在平面α上的投影向 量.   对于平面α内的任一向量n,有m·n= ·n,也就是说,空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α 上的投影向量与向量n的数量积. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.共面向量 一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.任意两个空间向量都是共面向量. 2.共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得 p=xa+yb. 3.共面向量定理的推论 推论1:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x,y),使 =x +y ,或对 空间任意一点O,有 = +x +y . 知识点 5 共面向量定理 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   推论2:空间中的一点P与不共线的三点A,B,C共面的充要条件是存在唯一的有序实数组(x,y,z) 使得 =x +y +z 且x+y+z=1,其中O为空间任意一点. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.空间中任意两个向量共面吗? 2.空间中任意三个向量是否共面? 3.由 ∥ 能得到AB∥CD吗? 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,< , >是多少度? 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.共面.空间向量为自由向量,只与向量的大小和方向有关,与表示向量的有向线段的起点位 置无关,空间中任意两个向量平移后可能共线,也可能相交,故空间中任意两个向量共面. 2.不一定共面.如:三棱锥的三条侧棱对应的向量不共面. 3.不能.AB∥CD或A、B、C、D四点共线. 4.120°.因为△AB1D1为正三角形,所以< , >=180°-60°=120°. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间向量的加法运算满足三角形法则,进而可以推广到多边形法则,简记为:首尾相接,首尾 连. 2.空间向量的减法运算满足三角形法则,简记为:共起点,连终点,指向被减. 3.空间向量的数乘运算的几何意义为“伸缩变换”:数的正负决定了伸缩的方向,数的绝对值 大小决定了伸缩的长度. 4.因为空间向量的加法和减法都满足三角形法则,所以在表示空间向量时,要有意识地将其放 入三角形中.对于三角形中有分点的爪形图,常用结论是:在△ABC中,D是线段BC上一点,且  = ,则 =  +  . 关键能力 定点破 定点 1 空间向量的线性运算 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, =a, =b, =c,M是A1D1的中点,N是CA1 上的点,且CN∶NA1=1∶4,则 = (　    )   A. a+b+c　　B. a+ b+ c C. a- b- c　　D. a+ b- c D 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    在△A1MN中, = + . ∵M是A1D1的中点, ∴ =  =-  =-  =- b. ∵N是CA1上的点,且CN∶NA1=1∶4, ∴ =  = ( + + )= (- + + )= (-c+a+b), ∴ =- b+ (-c+a+b)= a+ b- c. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.求空间向量的数量积的方法 (1)定义法:a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)投影向量法:若a在b上的投影向量为m或a在b所在平面上的投影向量为n,则a·b=m·b或a·b= n·b. 2.空间向量的数量积的应用 (1)求模:|a|= = ,|a±b|= = ; (2)求夹角:cos<a,b>= ; (3)证明两向量垂直:a⊥b⇔a·b=0. 定点 2 空间向量的数量积运算及其应用 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上一点,则 · 的取值范围是 　    　    .   思路点拨    利用定义或投影向量表示出 · ,结合函数最值求解. [-1,0] 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设| |=x(0≤x≤2),则| |=2-x. 解法一(定义法):连接A1C,易得| |2=12, ∴ · =| |·| |cos∠A1PC= ·(| |2+| |2-| |2)= [x2+4+(2-x)2+4-12]=x2-2x=(x-1)2-1, 令y=(x-1)2-1, ∵0≤x≤2,∴-1≤y≤0, 故 · ∈[-1,0]. 解法二(投影向量法):∵ 在平面ABCD上的投影向量为 , ∴ · = · , ∵ 在 上的投影向量为 , ∴ · = · , 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ · = · =| || |·cos< , >=x(2-x)cos π=x2-2x=(x-1)2-1, 令y=(x-1)2-1, ∵0≤x≤2,∴-1≤y≤0, 故 · ∈[-1,0]. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB.已知 AC=AB=BD=6,则线段CD的长为　　　    .   12 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    因为AC⊥AB,BD⊥AB, 所以 · =0, · =0, 因为二面角α-AB-β的平面角为120°, 所以< , >=180°-120°=60°, 又 =( + + )2=| |2+| |2+| |2+2 · +2 · +2 · =3×62+2×62×cos 60°=14 4, 所以| |=12,故线段CD的长为12. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　  1.空间四点共面的判定方法 (1)在空间四点A,B,C,D中任选一点为起点(如点A),其余三点分别为终点,则可构造三个向量 (如 , , ),利用空间向量共面定理(如 =x +y )进行判定或证明. (2)利用空间任意一点O,证明空间四点A,B,C,D满足 =x +y +z ,其中x+y+z=1. 2.利用共面向量定理证明线面平行 　　证明AB∥平面α,即证明 可由平面α内两个不共线的向量a,b线性表示,即 =xa+yb. 定点 3 共面向量定理及其应用 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,E,F,G,H分别是△ PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,连接PE,PF,PG,PH,并延长分别交AB,BC,CD,DA于M,N,Q, R,并顺次连接MN,NQ,QR,RM.应用共面向量定理证明:E,F,G,H四点共面.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明    ∵E,F,G,H分别是所在三角形的重心, ∴M,N,Q,R分别为AB,BC,CD,DA的中点,则易证四边形MNQR为平行四边形,且 =  ,  =  , =  , =  ,∴ = - =  -  =  = ( + )= ( - )+  ( - )=  +  = + , 由共面向量定理得 , , 共面, ∴E,F,G,H四点共面. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点.求证:MN ∥平面BDE.   证明    证法一:连接AN.因为E,D分别是PC,PA的中点,所以 =  . 因为M,N分别是AD,BC的中点, 所以 =-  , = ( + ), 所以 = + =-  + ( + )= ( - )+  =  + . 又 与 不共线,所以根据共面向量定理可知 , , 共面. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 因为MN⊄平面BDE, 所以MN∥平面BDE. 证法二:连接PN,交BE于点G,连接DG,如图.   因为N,E分别是BC,PC的中点, 所以G为△PBC的重心, 所以 =  . 因为D是PA的中点,M是AD的中点, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =  , 所以 = - =  -  = ( - )=  , 所以 ∥ . 又MN⊄平面BDE,DG⊂平面BDE, 所以MN∥平面BDE. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$