第3章 专题强化练1 排列与组合的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教B版2019）

专题强化练1　排列与组合的综合应用 1.从7人中选4人负责元旦三天假期的值班工作,其中第一天安排2人,第二天和第三天均安排1人,且人员不重复,则不同安排方式的种数可表示为(　　) A. 2.甲、乙、丙3人站在共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(　　) A.90　　　　B.120　　　　C.210　　　　D.216 3.某校为学生提供了四种体育锻炼方式:跑步、跳绳、排球、篮球.规定学生必须进行体育锻炼且只能从上述四种体育锻炼方式中选择一种.已知学生甲不选篮球,学生乙只选排球,学生丙、丁选择哪种体育锻炼方式都可以,如果这四名学生恰好选择了其中三种体育锻炼方式,那么他们选择体育锻炼方式的可能情况有(　　) A.7种　　　　B.12种　　　　C.19种　　　　D.26种 4.某市为了实施教育振兴计划,依托本市一些优质教育资源,每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训,以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训,每名师范生只能跟岗1所学校,每所学校至少分配1名师范生,则不同的跟岗分配方案共有(　　) A.150种　　　　B.300种　　　　C.360种　　　　D.540种 5.某校为统筹推进以德智体美劳“五育并举+教师教育”为特色的第二课堂养成体系,引导学生们崇尚劳动,尊重劳动者,提高劳动素养,设置以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“音乐欣赏”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的一门,则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选劳动课全不相同的方法共有(　　) A.135种　　　　B.720种 C.1 080种　　　　D.1 800种 6.(多选题)将9本书分给3位同学,下列说法正确的是(　　) A.9本书内容完全一样,每人至少一本,有28种不同的分法 B.9本书内容都不一样,分给3位同学,有39种不同的分法 C.9本书内容完全一样,分给3位同学,有55种不同的分法 D.9本书内容都不一样,其中甲同学至少一本,乙同学至少两本,有36种不同的分法 7.将2名男生和4名女生排成一排,则2名男生都不与女生甲相邻的排法有　　　　种.  8.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成　　　　个没有重复数字的四位偶数.(用数字作答)  9.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共6个球中任取2个,放入红、黄、蓝色的三个袋子中,每个袋子至多放入1个球,且球的颜色与袋子的颜色不同,则不同的放法有　　　　种.  10.某部队在一次军演中要先后执行A,B,C,D,E,F六项不同的任务,要求是:任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B,C不能相邻,则不同的执行方案共有　　　　种.(用数字作答)  11.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:若男生甲入选,则女生乙必须入选.则不同的组队形式有　　　　种.  12.某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具,现给图中的正方体展开图的六个区域涂色,有红、橙、黄、绿四种颜色可选,要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同,共有　　　　种不同的涂法.  13.用1,2,3,4,5,6,7组成无重复数字的七位数,求满足下述条件的七位数各有多少个. (1)偶数不相邻; (2)偶数一定在奇数位上; (3)1和2之间恰有一个奇数,没有偶数; (4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列. 14.现有编号为A,B,C的3个不同的红球和编号为D,E的2个不同的白球. (1)若将这些小球排成一排,且要求D,E两个球相邻,则有多少种不同的排法? (2)若将这些小球排成一排,且要求A球排在中间,D,E两个球不相邻,则有多少种不同的排法? (3)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则有多少种不同的放法? 答案与分层梯度式解析 专题强化练1　排列与组合的综合应用 1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.ABC 1.D　分两步: 第一步,从7人中选2人负责第一天值班,不同安排方式的种数为; 第二步,从剩余5人中选2人负责第二天和第三天值班,不同安排方式的种数为. 根据分步乘法计数原理,不同安排方式的种数为. 2.C　分为两类: 第一类,甲、乙、丙各自站在一级台阶上,共有=120种站法; 第二类,有2人站在同一级台阶上,剩余1人独自站在一级台阶上,共有=90种站法. 所以不同的站法种数是120+90=210.故选C. 3.D　①若四人选择的三种体育锻炼方式中没有篮球,则甲、丙、丁可以在另外三种体育锻炼方式中任选一种,但跑步、跳绳必须有人选,故共有=12种可能情况.②若四人选择的三种体育锻炼方式中没有跑步,当甲选排球时,丙、丁必须选跳绳和篮球,有=2种可能情况;当甲选跳绳时,有1+=5种可能情况.故共有2+5=7种可能情况.③同理,若四人选择的三种体育锻炼方式中没有跳绳,则共有7种可能情况.所以他们选择体育锻炼方式的可能情况有12+7+7=26(种).故选D. 4.A　当3所学校分配师范生的人数之比为3∶1∶1时,先取3人,将其看成一个整体,再进行排列,所以不同的跟岗分配方案有=60种; 当3所学校分配师范生的人数之比为2∶2∶1时,注意到有2所学校均分配2名师范生, 所以不同的跟岗分配方案有=90种. 综上所述,不同的跟岗分配方案共有60+90=150种. 故选A. 5.C　分两类:第一类, 4名学生所选劳动课全不相同,有=360种方法; 第二类,只有2名学生所选劳动课相同,有=720种方法. 综上,共有360+720=1 080种方法,故选C. 6.ABC　对于A,9本相同的书分给3位同学,每人至少一本,利用“隔板法”分析,在9本书之间的8个空位中任选2个,插入隔板即可,有=28种不同的分法,故A正确. 对于B,9本书内容都不一样,则每本书都可以分给3人中的任意一人,即每本书有3种不同的分法,所以9本书有39种不同的分法,故B正确. 对于C,将这9本书和2个隔板排成一排,利用隔板将9本书分为3组,对应3位同学即可,则有=55种不同的分法,故C正确. 对于D,分为11类情况: ①“1,2,6型”:×4=1 008;②“1,3,5型”:×4=2 016;③“1,4,4型”:×2=1 260;④“1,7,1型”:=72;⑤“1,8,0型”:=9;⑥“2,2,5型”:×3=2 268;⑦“2,3,4型”:×6=7 560;⑧“2,7,0型”:×2=72;⑨“3,3,3型”:=1 680;⑩“3,6,0型”:×2=168;“4,5,0型”:×2=252. 所以有1 008+2 016+1 260+72+9+2 268+7 560+72+1 680+168+252=16 365种不同的分法,故D错误. 7.答案　288 解析　先将除女生甲外其他3名女生进行排列,有=6(种),共有4个空, 若2名男生与女生甲排一起有=6(种),再将他们插入上述4个空中的一个有=4(种), 此时共有6×6×4=144(种); 若2名男生中的一名与女生甲排一起有=4(种),再将他们和另一名男生插入上述4个空中的2个有=12(种),此时共有6×4×12=288(种). 又6名学生全排列有=720(种),故2名男生都不与女生甲相邻的排法有720-144-288=288(种). 8.答案　396 解析　分两类进行分析: 第一类:取到数字0.第一步,在4个奇数中选2个,有种情况;第二步,在除0外的3个偶数中选1个,有种情况;第三步,若0在个位上,则将选出的3个数字全排列,有种情况,若0不在个位上,则将选出的另一个偶数安排在个位上,另外从选出的2个奇数中选1个安排在千位上,将剩余奇数与0全排列,有种情况.所以有)=180个没有重复数字的四位偶数. 第二类:不取数字0.第一步,在4个奇数中选2个,有种情况;第二步,在除0外的3个偶数中选2个,有种情况;第三步,从选出的2个偶数中选1个安排在个位上,其余3个数字全排列,有种情况.所以有=216个没有重复数字的四位偶数. 综上,一共可以组成180+216=396个没有重复数字的四位偶数. 9.答案　42 解析　根据题意,分两种情况:①取出的2个球同色,有3种可能,取出球后只能将两球放在与之不同色的袋子中,有种方法,故不同的放法有3=6(种).②取出的两球不同色,有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法,由于球不同,因此取球的方法有3=12(种),将两球放在与之不同色的袋子中,有3种方法,所以不同的放法有12×3=36(种). 综上,不同的放法有6+36=42(种). 10.答案　44 解析　如果A排在第一位,那么E排在第二位,剩下四个位置,先排好D,F,再在D,F形成的三个空位中选两个插入B,C,此时共有=12种排列方法; 如果A排在第二位,那么E排在第三位,则B,C可能分别在A,E的两侧,有=12种排列方法,也可能都在A,E的右侧,有=4种排列方法; 如果A排在第三位,那么E排在第四位,则B,C分别在A,E的两侧,有=16种排列方法. 所以不同的执行方案共有12+12+4+16=44(种). 11.答案　930 解析　若甲、乙都入选,则从其余6人中选出2人,有=15种选法,男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手,则有=14种组队形式,故共有15×14=210种组队形式; 若甲不入选,乙入选,则从其余6人中选出3人,有=20种选法,女生乙不适合担任四辩手,则有=18种组队形式,故共有20×18=360种组队形式; 若甲、乙都不入选,则从其余6人中选出4人,有=15种选法,全排列,有=24种组队形式,故共有15×24=360种组队形式. 综上所述,共有210+360+360=930种不同的组队形式. 12.答案　96 解析　如图所示,还原回正方体后,D,B为正方体前、后两个对面,A,E为正方体左、右两个对面,F,C为正方体上、下两个对面. 先涂A有4种涂法,再涂C有3种涂法, 当C与F同色时,D有2种涂法, 若B与D同色,则E有2种涂法, 若B与D不同色,则B有1种涂法,E有1种涂法,则有4×3×2×(2+1×1)=72种涂法; 当C与F不同色时,F有2种涂法,此时D与B必同色且只有1种涂法,E也只有1种涂法,则有4×3×2×1×1=24种涂法. 综上所述,一共有72+24=96种不同的涂法. 13.解析　1,2,3,4,5,6,7中有4个奇数,3个偶数. (1)分两步: ①将4个奇数排好,有种排法; ②排好后,有5个空位可选,从中任选3个,安排3个偶数,有种排法, 则有=1 440个符合题意的七位数. (2)分两步: ①将3个偶数安排在4个奇数位上,有种排法; ②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上,有种排法, 则有=576个符合题意的七位数. (3)分两步: ①在1和2之间安排一个奇数,有3种排法; ②将这三个数字看成一个整体,与其他4个数字全排列,有种排法, 则有3=720个符合题意的七位数. (4)分两步: ①在7个数位中任选3个,将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列,有种排法; ②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上,有种排法, 则有=840个符合题意的七位数. 14.解析　(1)将D,E两个球捆绑在一起和其他3个小球进行排列,有=48种不同的排法. (2)先把A球排在中间,从A球的两侧各选一个位置排D,E两球,其余小球任意排列,所以有=16种不同的排法. (3)先把5个小球分成3组,再放入3个盒子中. 若按3,1,1分组,则有·=60种不同的放法;若按2,2,1分组,则有·=90种不同的放法. 所以共有60+90=150种不同的放法. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$