第4章 专题强化练4 数列求和问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

专题强化练4　数列求和问题 1.已知{an}的通项公式为an=(n∈N*),a1+a2+…+an<m恒成立,则实数m的最小值为(　　) A.1　　　　B. 2.0—1数列是指每一项均为0或1的数列,这类数列在计算机科学领域有着广泛应用.若数列{an}是0—1数列,当且仅当n=6k±1(k∈N*)时,an=1,设{an}的前n项和为Sn,则满足Sn=200的n的最大值为(　　) A.600　　　　B.601　　　　C.604　　　　D.605 3.已知数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若a1=2,nan+1=2Sn,bn=(-1)nan,则T200=(　　) A.150　　　　B.100　　　　C.200　　　　D.5 050 4.已知数列{bn}是公比为q(q≠1)的正项等比数列,且2ln b1 012=0,若f(x)=,则f(b1)+f(b2)+…+f(b2 023)=(　　) A.4 069　　　　B.2 023　　　　 C.2 024　　　　D.4 046 5.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[3.5]=3,[-1.5]=-2),则[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 046]=(　　) A.9×210-8　　　　B.9×211-8　　　　 C.9×210+2　　　　D.9×211+2 6.已知数列{an}满足(-1)n+1an+2+(-1)nan=3(-1)n+1(n∈N*),若a1=a2=1,则{an}的前20项和S20=　　　　.  7.已知数列{an}满足an>0,,且3a1,a2+3,a3成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=求数列{bn}的前2n项和T2n. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S7=35,a2a4=45. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 答案与分层梯度式解析 1.D　an=, 故a1+a2+…+an=+…+=,所以m≥,即m的最小值为. 故选D. 2.C　由题意可知a1=a2=a3=a4=a6=0,a5=1, 且a6k+1=a6k+5=1,a6k+2=a6k+3=a6k+4=a6k+6=0,k∈N*, 所以 且当k=100时,a601=a605=1,a602=a603=a604=a606=0, 可知S601=1+2×99+1=200,且S602=S603=S604=200,S605=201, 所以满足Sn=200的n的最大值为604. 故选C. 3.C　已知nan+1=2Sn①,当n=1时,a2=2S1=2a1=4,当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1②, 由①-②可得nan+1-(n-1)an=2an,即(n≥2),又,所以an=×…××…××2=2n(n≥2), 又a1=2满足an=2n,故an=2n(n∈N*). 所以bn=(-1)nan=(-1)n×2n, 易知b1+b2=b3+b4=b5+b6=…=b199+b200=2, 所以T200=b1+b2+…+b199+b200=100(b1+b2)=200. 故选C. 4.D　由数列{bn}是公比为q(q≠1)的正项等比数列,知bn>0, 2ln b1 012=ln =ln(b1·b2 023)=0,故b1·b2 023=1, 故b1·b2 023=b2·b2 022=…=b2 023·b1=1, 由f(x)=,得当x>0时,f(x)+f=4, 故f(b1)+f(b2 023)=f(b2)+f(b2 022)=…=f(b2 023)+f(b1)=4, 故2[f(b1)+f(b2)+…+f(b2 023)]=[f(b1)+f(b2 023)]+[f(b2)+f(b2 022)]+…+[f(b2 023)+f(b1)]=2 023[f(b1)+f(b2 023)]=8 092, 故f(b1)+f(b2)+…+f(b2 023)=4 046. 故选D. 5.B　由已知得,当2n≤x<2n+1时,[log2x]=n, 故[log22n]=[log2(2n+1)]=…=[log2(2n+1-1)]=n,共有2n个n. 因为210<2 046<211, 所以[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 046] =[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 047]-[log22 047] =0+2×1+4×2+…+210×10-10=21×1+22×2+…+210×10-10, 设S=21×1+22×2+…+210×10,① 则2S=22×1+23×2+…+211×10,② ①-②,得-S=21+22+…+210-211×10=-211×10=211-2-211×10=-9×211-2, 所以S=9×211+2. 所以[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 046]=9×211+2-10=9×211-8.故选B. 6.答案　-250 解析　由(-1)n+1an+2+(-1)nan=3(-1)n+1, 可得当n为奇数时,an+2-an=-2,即数列{a2n-1}是以a1=1为首项,-2为公差的等差数列, 于是a2n-1=1+(n-1)·(-2)=-2n+3, 当n为偶数时,-an+2+an=4,即an+2-an=-4, 则数列{a2n}是以a2=1为首项,-4为公差的等差数列,于是a2n=1+(n-1)·(-4)=-4n+5, 所以{an}的前20项和S20=×10=-250. 7.解析　(1)∵, ∴(an+1+an)(an+1-2an)=0, ∵an>0,∴an+1+an>0,∴an+1-2an=0,即=2, ∴数列{an}是公比为2的等比数列, 又3a1,a2+3,a3成等差数列, ∴3a1+a3=2(a2+3),即3a1+a1·22=2(2a1+3),解得a1=2,∴an=2n. (2)由(1)可知an=2n, ∴bn= ∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=(21+23+…+22n-1)-(2+4+…+2n) =-n(n+1). 8.解析　(1)设数列{an}的公差为d, 由S7=35,a2a4=45, 得 ∴an=11+(n-1)×(-2)=13-2n. (2)由(1)得Sn==12n-n2, 令13-2n>0,得n<, ∴当n≤6时,an>0,此时Tn=Sn=12n-n2, 当n>6时,an<0,此时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn=2×(12×6-62)-(12n-n2)=n2-12n+72. 所以Tn= 2 学科网（北京）股份有限公司 $$