第4章 专题强化练1 等差数列的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

专题强化练1　等差数列的综合应用 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S2=3,若不等式2Sn+18≥kan对任意的n∈N*恒成立,则(　　) A.k≤　　　　B.k≤20 C.k≤6+1　　　　D.k≤ 2.已知各项都不为零的无穷数列{an}满足:an+1an+an+1-an=0,若a8为该数列的最小项,则a1的取值范围是(　　) A. C. 3.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层(　　) A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10 4.已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|,若满足ak+ak+1+…+ak+19=m的整数k恰有2个,则m的可能取值有(　　) A.3个　　　　B.2个　　　　C.1个　　　　D.0个 5.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则以下说法正确的是(　　) A.若a5=0,则S9=0 B.若S6-S9=a10,且a2>a1,则a8<0且a9>0 C.若S16=64,且在{an}的前16项中,偶数项的和与奇数项的和之比为3∶1,则{an}的公差为2 D.若(n+1)Sn>nSn+1,且,则S3和S4均是{Sn}的最大项 6.已知等差数列{an}满足=1,则数列{an}的前9项和的最大值是　　　　.  7.在平面直角坐标系Oxy中,我们把点(x,y),x,y∈N*称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点(x,y)进行赋值,记为P(x,y),例如P(2,3)=8,P(4,2)=14,P(2,5)=17. (1)求P(x,1); (2)求证:2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1); (3)如果P(x,y)满足方程P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2 024,求P(x,y)的值. 答案与分层梯度式解析 1.A　由a2=2,S2=a1+a2=3,得a1=1,故{an}的公差为a2-a1=1,从而an=n,Sn=, 所以不等式2Sn+18≥kan对任意的n∈N*恒成立即n(n+1)+18≥kn,即k≤+1对任意的n∈N*恒成立,由对勾函数的性质可知,当n=3时,n++1取最小值, 又n∈N*,且当n=4时,n++1=9.5,当n=5时,n++1=9.6,所以,所以k≤.故选A. 2.A　由an+1an+an+1-an=0得an+1an=an-an+1, 因为an≠0, 所以=1, 故是公差为1的等差数列,则+n-1, 因为a8为数列{an}中的最小项, 所以<…<<…, 所以a1<0,且+8,解得-. 故选A. 3.C　设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12,n∈N*),“不满意度”之和为S,则S=1+2+…+(n-2)+2×[1+2+…+(12-n)]=+157,其图象开口向上,对称轴为直线n=, 又∵n∈N*,∴S在n=9时取最小值.故选C. 4.A　当k≥13时,ak+ak+1+…+ak+19=(k-13)+(k-12)+…+(k+6)=20k-70=m, 解得k=,此时对于保证等式成立的每个m值,只有一个k值,不符合题意. 当0<k<13时,ak+ak+1+…+ak+19=(13-k)+(12-k)+…+1+0+1+…+(k+6)==k2-7k+112=m,即k2-7k+112-m=0,该式可看作关于k的一元二次方程, 若整数k恰有2个,则49-4(112-m)>0,解得m>, 设该方程的两个整数根分别为k1,k2,则k1+k2=7,k1k2=112-m, 若k1=1,k2=6,则112-m=6,解得m=106,满足m>,符合题意; 若k1=2,k2=5,则112-m=10,解得m=102,满足m>,符合题意; 若k1=3,k2=4,则112-m=12,解得m=100,满足m>,符合题意. 综上,m=106或m=102或m=100,即m的可能取值有3个.故选A. 5.ABD　设等差数列{an}的公差为d.对于A,因为{an}是等差数列,a5=0,所以S9==9a5=0,故A正确; 对于B,因为a2>a1,所以d=a2-a1>0,即{an}是递增数列,由S6-S9=a10,得S9-S6=-a10,所以a9+a8+a7=-a10,即a10+a9+a8+a7=0,则a8+a9=0,所以a8<0且a9>0,故B正确; 对于C,因为S16=64,所以=64,则a1+a16=8,则a8+a9=8, 又a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=8a9,a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=8a8, 所以8a9=3×8a8,即a9=3a8,故4a8=8,得a8=2,所以a9=6,所以d=a9-a8=4,故C错误; 对于D,由(n+1)Sn>nSn+1,得, 即,整理得d<0, 因为,所以(a6+a2)(a6-a2)=0, 又因为a6-a2=4d≠0,所以a6+a2=0, 故2a4=0,即a4=0, 因为d<0,所以{an}是递减数列,则a3>0,a5<0, 所以S3>S2>S1,S3=S4>S5>S6>…, 故S3和S4均是{Sn}的最大项,故D正确.故选ABD. 6.答案　45 解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn. 由=1,得(a5-4d)2+(a5-3d)2=1, 整理得25d2-14a5d+2-1=0,该等式可看作关于d的一元二次方程, 所以Δ=(-14a5)2-100(2-1)≥0,解得-5≤a5≤5, 所以S9==9a5≤45. 所以数列{an}的前9项和的最大值为45. 7.解析　(1)根据题图可知P(x,1)=1+2+3+…+x=. (2)证明:由题图可得P(x,y+1)-P(x,y)=x+y-1, 所以P(x,y+1)-P(x,1)=[P(x,2)-P(x,1)]+[P(x,3)-P(x,2)]+[P(x,4)-P(x,3)]+…+[P(x,y+1)-P(x,y)]=(x+1-1)+(x+2-1)+(x+3-1)+…+(x+y-1)=1+2+…+y+y(x-1)=+y(x-1), 由(1)知P(x,1)=,所以P(x,y+1)=, 所以P(x,y)=P(x,y+1)-(x+y-1)=+(x-1)(y-1), 所以P(x-1,y)=+(x-2)(y-1), 所以P(x-1,y)+P(x,y+1)==x2+y2+2xy-3y-x+2,又P(x,y)=(x2+y2+2xy-3y-x+2), 所以2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1). (3)结合题图知P(x+1,y-1)=P(x,y)+1, 所以P(x,y)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2 023, 又由(2)知P(x,y)+P(x+1,y+1)=2P(x+1,y), 所以P(x,y+1)+3P(x+1,y)=2 023, 即[(x+1)(x+2)+(y-1)(y+2x)]=2 023, 化简得(x+y-1)(x+y)+2x=1 010, 易知当x+y增大时,(x+y-1)(x+y)也增大, 又当x+y=31时,(x+y-1)(x+y)+2x<992<1 010, 当x+y=33时,(x+y-1)(x+y)+2x>1 056>1 010, 所以当x+y=32时,(x+y-1)(x+y)+2x=1 010,所以x=9,y=23,所以P(x,y)=P(9,23)=+8×22=474. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$