第4章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽略数列与一般函数的区别致错 1.对于数列{an},定义Yn=为数列{an}的“美值”,已知数列{an}的“美值”Yn=2n+1,记数列{an-tn}的前n项和为Sn,若Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立,则实数t的取值范围是(　　) A. C. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,首项a1>0,公差d<0,若对任意的正整数n,总存在正整数k,使S2k-1=(2k-1)Sn,则k-4n的最小值为(　　) A.-74　　　　B.-8　　　　 C.-53　　　　D.-13 易错点2　忽略分类讨论致错 3.若a,b是函数f(x)=x2-mx+n(m>0,n>0)的两个不同的零点,且a,b,-1这三个数可适当排序后成等比数列,也可适当排序后成等差数列,则关于x的不等式≥0的解集为(　　) A.{x|x≤2或x≥5}　　　　B.{x|x<2或x≥5} C. 4.在数列{an}中,a1=1,an+1=3an-2n-1(n∈N*),记cn=3n-2×(-1)nλan,若数列{cn}为递增数列,则实数λ的取值范围为(　　) A.　　　　B.(-2,1)　　　　C.(-1,1)　　　　D.(0,1) 5.在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为q(q≠0)的等比数列,求数列{bn}的前n项和Sn. 易错点3　没有掌握数列求和方法的关键致错 6.已知函数f(x)=,在正项等比数列{an}中,a1 012=1,则f(ai)=(　　) A.　　　　B.1 012　　　　 C.2 023　　　　D.2 024 7.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,若S2 024∈(k-1,k),则正整数k的值为(　　) A.2 024　　　　B.2 023　　　　C.2 022　　　　D.2 021 8.在数列{an}中,已知a1=2,an+1=. (1)证明是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n(2n+1)anan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求S2n. 9.已知数列{an}为递增的等差数列,a5=10,a4为a2和a8的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列的前n项和Sn. 思想方法练 一、函数思想在数列中的应用 1.数列{an}满足a1=8,an+1=(n∈N*),bn=,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是(　　) A. C. 2.已知数列{an}的首项为a1,前n项和为Sn,且2Sn=(a1+an)n. (1)求证:数列{an}为等差数列; (2)若数列{an}的公差为+…+,则当n为何值时,取最小值? 3.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=Sn-,求Tn的最大值与最小值. 二、方程思想在数列中的应用 4.设各项均不相等的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1a5=,则公比q=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.- 5.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a2=3a1≠0,{}是等差数列,则an=(　　) A.n　　　　B.n+1 C.(n+1) 三、分类讨论思想在数列中的应用 6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=-3an+1+an+3,若对任意正整数n,Sn+an>(-1)na,则实数a的取值范围是(　　) A.C.　　　　D.(-2,3) 7.在等差数列{an}中,已知a1=10,a5=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Sn. 四、转化与化归思想在数列中的应用 8.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=4,平均感染周期为7天,那么感染人数由1(初始感染者)增加到3 333大约需要多少天?(初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……参考数据:lg 2≈0.301 0) 9.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6=6,求8S3+S9的最小值. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.C　由Yn==2n+1可得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,① 当n=1时,a1=4, 当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)2n,② ①-②得2n-1an=n·2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n(n≥2), 所以an=2n+2(n≥2),当n=1时,a1=4满足该式, 所以an=2n+2,n∈N*, 所以an-tn=(2-t)n+2,因为an+1-t(n+1)-(an-tn)=(2-t)(n+1)+2-[(2-t)n+2]=2-t,所以数列{an-tn}是等差数列. 解法一:Sn=n, 因为Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立, 所以<0,且9.5≤-≤10.5 易错点, 解得≤t≤,所以实数t的取值范围是. 解法二:因为Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立, 所以a10-10t≥0且a11-11t≤0, 即(2-t)×10+2≥0且(2-t)×11+2≤0, 解得≤t≤,所以实数t的取值范围是. 故选C. 易错警示　利用函数思想解决数列问题时,应注意数列的特性,即n为正整数. 2.D　由题意得=(2k-1)Sn, 则=(2k-1)Sn,即ak=Sn, 令n=2,得ak=S2,即a1+(k-1)d=2a1+d, 即k-2=,① ∵a1>0,d<0,∴k-2=<0,即k<2, ∵k∈N*,∴k=1,代入①,得d=-a1, 又ak=Sn,∴a1-(k-1)a1=na1-, ∴k=, ∴当n=5或n=6时,k-4n取得最小值,为-13. 故选D. 3.C　由a,b是函数f(x)=x2-mx+n(m>0,n>0)的两个不同的零点, 可知a,b是一元二次方程x2-mx+n=0的两个不同的根, 根据根与系数的关系,可得a+b=m,ab=n, 因为m>0,n>0,所以a>0,b>0, 又因为a,b,-1这三个数可适当排序后成等比数列, 所以只有-1为该等比数列的等比中项才满足题意, 即ab=(-1)2=1,所以b=,n=1. 因为a,b,-1这三个数可适当排序后成等差数列, 所以只有-1不能为该等差数列的等差中项, ①当a为等差中项时,有2a=b-1=-1, 又a>0,所以a=; ②当b为等差中项时,有=2b=a-1, 又a>0,所以a=2,b=. 综合①②,可得m=. 所以不等式≥0即≥0,解得x<1或x≥. 故选C. 4.A　由an+1=3an-2n-1,得,即, 又=0,所以=0,即an=2n-1,所以cn=3n-2×(-1)nλ·2n-1=3n-(-2)nλ, 由数列{cn}为递增数列,得对任意的n∈N*,cn+1>cn恒成立, 则∀n∈N*,3n+1-(-2)n+1λ>3n-(-2)nλ,即3n-1>(-2)n-1λ恒成立. 当n为奇数时,λ<恒成立,易知数列单调递增,所以=1,则λ<1; 当n为偶数时,λ>-恒成立,易知数列单调递减,所以-的最大值为-,则λ>-. 综上,实数λ的取值范围为.故选A. 易错警示　若数列的递推公式中含有(-1)n,则数列的奇数项、偶数项的符号不同,在解不等式时,需注意不等号的方向是否发生变化;求数列的通项公式或前n项和时,要分别求奇数项、偶数项的通项公式或前n项和. 5.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,则由题意可得 所以an=-1+(n-1)×(-3)=-3n+2. (2)由题意得an+bn=qn-1(q≠0),所以bn=3n-2+qn-1. 当q=1时,bn=3n-1, 则Sn=. 当q≠1且q≠0时,Sn=b1+b2+…+bn =[1+4+…+(3n-2)]+(1+q+…+qn-1) =. 综上,Sn= 易错警示　应用等比数列的前n项和公式时,需要注意q是否等于1. 6.A　由题意得f(x)+f =1, 由等比数列的性质得a1a2 023=a2a2 022=…=ana2 024-n=(a1 012)2=1, 所以an=,则f(an)+f(a2 024-n)=1, 所以f(ai)=[f(a1)+f(a2 023)]+[f(a2)+f(a2 022)]+…+[f(a1 011)+f(a1 013)]+f(a1 012)=1 011+(解题关键:利用自变量和函数值之间的关系,合理分组进行求和). 故选A. 7.B　由an+1=,即, 又-1=1,所以是首项为1,公比为的等比数列, 所以,所以an=1-, 故Sn=n-, 令M=+…+, 当n≥3时,易知,此时M>+…+, 易知,则M<+…+, 所以当n≥3时,n-2+,所以2 022+<S2 024<2 022+<2 023, 若S2 024∈(k-1,k),则正整数k的值为2 023. 故选B. 8.解析　(1)由题意知an≠0,因为an+1=, 所以,即, 故数列为公差的等差数列. 因为a1=2,所以, 所以,即an=. (2)bn=(-1)n(2n+1)anan+1=(-1)n, 则S2n=4, =4. 易错警示　利用裂项相消法求和时要把握好两个关键点:如何裂项和如何相消.裂项时,一般是按照分母进行裂项,裂为分母倒数的和或者差,若两边不相等,则应注意配凑系数;相消时要注意最后所剩余的项,可以多写几项观察相消的规律,一般是前面剩几项,后面就剩几项. 9.解析　(1)解法一:设递增等差数列{an}的公差为d,则d>0, 因为a5=10,a4为a2和a8的等比中项, 所以 即解得a1=d=2, 所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n. 解法二:设递增等差数列{an}的公差为d,则d>0, 因为a4为a2和a8的等比中项,所以=a2a8,即(a5-d)2=(a5-3d)(a5+3d), 即5d=a5=10,可得d=2, 所以数列{an}的通项公式为an=a5+(n-5)d=2n. (2)由(1)知an=2n,故bn==2n, 设cn=,则cn=, 可得Sn=c1+c2+c3+…+cn=+…+, 则+…+, 两式相减可得+…+ =,则Sn=4-. 易错警示　利用错位相减法求和时,应注意等式两边乘公比后,对应项的幂指数会发生变化,为避免出错,应将相同幂指数的项对齐,这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面多出一项,两式相减后,一般除第一项和最后一项外,剩下的(n-1)项构成一个等比数列. 思想方法练 1.D　易知an≠0,由an+1=,即=n, 所以=2,……,=n-1, 由累加法可得,=1+2+…+(n-1)=(n≥2), 因为a1=8,所以(n≥2), 当n=1时,,符合上式, 所以, 所以bn=, 因为数列{bn}是递减数列, 所以bn<bn-1(n≥2),即, 整理可得λ>, y=是关于n的二次函数,故可用二次函数的知识求解,要注意n为正整数 因为,n≥2,n∈N*, 所以当n=2或n=3时,,故λ∈.故选D. 2.解析　(1)证明:由2Sn=(a1+an)n,可得当n≥2时,2Sn-1=(a1+an-1)(n-1), 两式相减,得(n-2)an=(n-1)an-1-a1,① 递推可得(n-1)an+1=nan-a1,② ②-①,得(n-1)an+1+(n-1)an-1=2(n-1)an, 所以an+1-an=an-an-1, 所以an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1, 所以{an}为等差数列. (2)因为{an}的公差为,所以, 故+…+=3+…+ =3=3, 整理得+3a1-18=0,解得a1=3或a1=-6(舍去), 所以Sn=3n+,则, y=n+是关于n的对勾函数,利用对勾函数的性质,判断数列的单调性 由对勾函数的性质可知,当n≤7时,数列单调递减,当n≥8时,数列单调递增, 当n=7时,,当n=8时,, 因为,所以当n=8时,取最小值. 3.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q, 因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列, 所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5, 即4a5=a3,于是q2=. 又{an}不是递减数列,且a1=>0, 所以q=-, 故等比数列{an}的通项公式为an==(-1)n-1·. (2)由(1)得,Sn=n∈N*. 设f(x)=(x∈R),由指数函数的性质可知, f(x)=为减函数. (将Sn视为关于n的指数型函数,结合指数函数的单调性确定其最大(小)值,解题时要注意n是正整数) 所以当n为奇数时,Sn随n的增大而减小, 所以1<Sn≤S1=, 故0<Sn-≤S1-. 当n为偶数时,Sn随n的增大而增大, 所以=S2≤Sn<1, 故0>Sn-≥S2-. 综上,-≤Sn-,且Sn-≠0, 所以Tn的最大值为,最小值为-. 思想方法　数列本身就是一种特殊的函数,在解决数列中的最大(小)值、单调性等问题时常需要构造函数,利用求函数最值的方法解决问题(注意数列中n为正整数的条件). 4.C　易知q≠1. 由a1a5=,得a3=±,由S3=得S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=, (由已知条件结合等比数列的性质列出关于a1和q的方程组,进而求解) 当a3==a1q2时,由化简得2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(舍去); 当a3=-=a1q2时,由化简得4q2+q+1=0,因为Δ=1-16=-15<0,所以该方程无解. 综上,q=-.故选C. 5.D　设等差数列{an}的公差为d.由2a2=3a1≠0得a1=2d≠0,则Sn+1=na1+dn+1, 因为{}是等差数列,所以n+1可化为完全平方式,则对于-2d=0,解得d=或d=0(舍去), (根据已知条件,转化为关于n的一元二次方程有两个相等的实数根,利用根的判别式求解) 故a1=,则an=+(n-1)·(n+1).故选D. 思想方法　利用等差(等比)数列的通项公式与前n项和公式或其性质,列方程(组)求出基本量是一种最基本的解题方法,这种方法正是方程思想在数列中的具体体现. 6.C　因为Sn+1=-3an+1+an+3①,a1=1, 所以当n=1时,S2=-3a2+a1+3,解得a2=, 当n≥2时,Sn=-3an+an-1+3②, ①-②得an+1=-3an+1+4an-an-1, 即2an+1-an=(2an-an-1),又2a2-a1=, 所以{2an+1-an}是首项为,公比为的等比数列, 所以2an+1-an=,则2n+1an+1-2nan=1,又2a1=2, 所以{2nan}是首项为2,公差为1的等差数列, 则2nan=n+1,则an=, 所以Sn+1+an+1=-2·,所以Sn+an=3-(n≥2),又S1+a1=2=3-,满足上式, 所以Sn+an=3-(n∈N*),又Sn+an>(-1)na, 所以3->(-1)na, 当n为奇数时,3->-a,又3-≥2,所以2>-a,解得a>-2; 当n为偶数时,3->a,又3-,所以a<. 综上所述,实数a的取值范围为.故选C. 7.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,由a1=10,a5=2,得d==-2, 因此an=a1+(n-1)d=10-2(n-1)=12-2n. (2)(去绝对值要考虑符号,需要分类讨论) 由(1)知an=12-2n, 所以当n<6时,an>0; 当n=6时,an=0;当n>6时,an<0. 因此,当n<6时,Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an==11n-n2; 当n≥6时,Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =a1+a2+a3+…+a6-a7-…-an =2(a1+a2+a3+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+…+an) =2×=n2-11n+60. 综上,Sn= 思想方法　在数列问题中,若通项公式或前n项和公式中含有(-1)n、绝对值等,则需要依据题意进行分类讨论. 8.解析　设第n轮感染的人数为an,由题意得数列{an}是首项为4,公比为4的等比数列,设{an}的前n项和为Sn. 由题意可得1+Sn=1+≥3 333, 即4n+1≥10 000, (将实际问题转化为与数列有关的不等式问题进行求解) 两边取对数得(2n+2)lg 2≥4, 所以n+1≥≈6.64,即n≥5.64,又n∈N*,所以n=6,故需要的天数约为6×7=42. 9.解析　设正项等比数列{an}的公比为q,则q>0, S6=a1(1+q+q2+q3+q4+q5)=a1(1+q+q2)(1+q3)=S3(1+q3)=6,所以S3=, 则S9=a1(1+q+q2+…+q8)=a1(1+q+q2)(1+q3+q6)=S3(1+q3+q6)=, 所以8S3+S9= =6+ =6+ =6(1+q3)+-6≥2-6=36-6=30, (将8S3+S9转化为关于q的式子,利用基本不等式求最值) 当且仅当6(1+q3)=(q>0),即q=时,等号成立,因此,8S3+S9的最小值为30. 思想方法　转化与化归思想在数列中的应用:将一般数列转化为等差、等比数列,已知与未知的相互转化,“项”与“和”的相互转化等. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$