5.2.1 基本初等函数的导数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 基础过关练 题组一　利用导数公式求函数的导数 1.已知函数f(x)=,则f '(2)=(　　) A. 2.已知函数f(x)=,则等于(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.-2　　　　D.0 3.下列结论正确的是(　　) A.若y=ln 2,则y'= B.若f(x)=,则f '(3)=- C.若y=2x,则y'=x·2x-1 D.若y=log2x,则y'=,x>0 4.设f(x)=sin x, f1(x)=f '(x), f2(x)=f1'(x),……, fn+1'(x)=fn'(x),若an=fn,则数列{an}的前100项和是(　　) A.　　　　D.0 5.求下列函数的导数: (1)f(x)=;(2)f(x)=lg x;(3)f(x)=5x; (4)f(x)=-2sin1-2cos2. 题组二　导数公式的应用 6.已知直线y=ex+a与曲线y=ln x相切,则a的值为(　　) A.-1　　　　B.-2　　　　C.　　　　D.e 7.已知函数f(x)及其导数f '(x),若存在x0使得f(x0)=f '(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.则下列函数中没有“巧值点”的是(　　) A.f(x)=x2　　　　B.f(x)=e-x C.f(x)=ln x　　　　D.f(x)=cos x 8.若点P是曲线y=ln x上任意一点,则点P到直线y=x+3的距离的最小值为(　　) A.1　　　　B.　　　　 C. 9.法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出一个定理:如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是连续不断的,且在开区间(a,b)上可导,那么在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f '(t)(b-a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t=　　　　.  10.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2x3…x2 023=　　　　.  11.(2023山西临汾期末)设A(t,0),P是曲线y=ex上的动点,且|PA|≥2,则t的取值范围是　　　　. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　由函数f(x)=,求导得f '(x)=,所以f '(2)=.故选D. 2.A　因为f(x)=,所以f '(x)=-, 则=-f '(1)=1. 故选A. 3.B　对于A,由y=ln 2得y'=0,故A错误; 对于B, f '(x)=-,故f '(3)=-,故B正确; 对于C,y'=2xln 2,故C错误; 对于D,y'=,x>0,故D错误.故选B. 4.D　由f(x)=sin x,得f1(x)=f '(x)=cos x, f2(x)=f1'(x)=-sin x, f3(x)=f2'(x)=-cos x, f4(x)=f3'(x)=sin x,…… 所以fn(x)是以4为周期的周期函数, 又f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, 所以{an}的前100项和是a1+a2+a3+…+a100=f1+…+f100=0.故选D. 5.解析　(1)因为f(x)=, 所以f '(x)=. (2)因为f(x)=lg x,所以f '(x)=,x>0. (3)因为f(x)=5x,所以f '(x)=5xln 5. (4)因为f(x)=-2sin=sin x, 所以f '(x)=(sin x)'=cos x. 易错警示　熟练掌握常见函数的导数公式是解决导数问题的基础,本题(3)是指数函数,不要混淆指数函数与幂函数的求导公式,(1)(4)要先化简再求导. 6.B　设切点为P(x0,y0),由y=ln x得y'=, 因为直线y=ex+a与曲线y=ln x相切, 所以=e,解得x0=,则y0=ln=-1,所以P, 又点P在直线y=ex+a上,所以-1=e×+a,解得a=-2.故选B. 7.B　对于A, f(x0)=, f '(x0)=2x0,若=2x0,则x0=0或x0=2,故A不满足题意; 对于B, f(x0)=, f '(x0)=-,令,无解,故B满足题意; 对于C, f(x0)=ln x0, f '(x0)=,显然y=ln x与y=的图象有交点,所以存在x0使得f(x0)=f '(x0),故C不满足题意; 对于D, f(x0)=cos x0, f '(x0)=-sin x0,若cos x0=-sin x0,则x0=kπ-,k∈Z,故D不满足题意. 故选B. 8.D　易知当曲线y=ln x在点P处的切线与直线y=x+3平行时,点P到直线y=x+3的距离最小,设P(x0,ln x0). 由y=ln x得y'=,故y'=1,得x0=1,所以P(1,0),所以点P(1,0)到直线y=x+3的距离d=.故选D. 9.答案　ln(e-1) 解析　由f(b)-f(a)=f '(t)(b-a),得f '(t)=, 由g(x)=ex,得g'(x)=ex, 所以et==e-1,解得t=ln(e-1). 10.答案　 解析　设f(x)=xn+1(n∈N*),则f '(x)=(n+1)xn,∴f '(1)=n+1, ∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,得x=-, ∴x1x2x3…x2 023=×…×. 11.答案　 解析　∵y=ex,∴y'=ex,设点P(m,em),则曲线y=ex在点P处的切线斜率为em, 易知当直线PA垂直于曲线y=ex在点P处的切线时,|PA|取得最小值2, 又∵kPA=×em=-1,即e2m=t-m,① 易求得|PA|=≥2,即(m-t)2+e2m≥12,② 由①②得(m-t)2-(m-t)-12≥0,解得m-t≤-3或m-t≥4, 由①知m-t=-e2m<0,∴m-t≤-3,即e2m≥3,解得m≥,∴t≥m+3≥+3. 故t的取值范围为. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$