第1章 3.2 等比数列的前n项和（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

3.2　等比数列的前n项和 基础过关练 题组一　等比数列的前n项和的有关计算 1.在等比数列{an}中,a1=1,a2=2,则其前5项和为(　　) A.32　　　　B.31　　　　 C.64　　　　D.63 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　) A.1　　　　B.2　　　　 C.3　　　　D.4 3.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”其大意为:“有一位善于织布的女子,每天织出的布都是前一天的2倍,5天共织了5尺布,问这名女子每天分别织布多少?”在该问题中,该女子第一天织布的尺数为(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 4.在各项都是正数的等比数列{an}中,a1=1,a9=4a7. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sm=31,求正整数m的值. 题组二　等比数列前n项和的性质 5.已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S5=10,S10=40,则S20=　(　　) A.130　　　　B.160　　　　C.390　　　　D.400 6.已知一个项数为偶数的等比数列{an},它的所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=(　　) A.1　　　　B.4　　　　C.12　　　　D.36 7.等比数列{an}中, Sn为其前n项和,若Sn=3×2n+a,则a=　　　.  8.在等比数列{an}中,公比q=,前100项和S100=150,则a2+a4+a6+…+a100=　　　　.  题组三　与等比数列有关的数列求和 9.数列1,2,3,4,…的前n(n∈N+)项和为　　　　.  10.已知数列{an}是由正数组成的等比数列,且a5=256,a3+a4=20a2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn. 11.已知{an}为正项等比数列,a6=a1a5=64. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{(3n-2)an}的前n项和Tn. 12.求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1(a≠0)的前n项和. 题组四　等比数列前n项和的综合应用 13.已知数列{an}满足a1=0,a2=1.若数列{an+an+1}是公比为2的等比数列,则a2 024=(　　) A.　　　　　B.　　　　 C.　　　　　D. 14.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a1>0,S5<3a1+a2+a4,则公比q的取值范围是(　　) A.(-1,0)　　　　　B.(0,1) C.(-1,1)　　　　　D.(-1,0)∪(0,1) 15.已知数列{an}是公比大于1的等比数列,其前n项和为Sn,且a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个实根,则S3=　　　　.  16.设正项等比数列{an}满足a1+a2=12,a3+a4=3,则a1a2…an的最大值为　　　　.  17.等比数列{an}的前n项和为Sn,a1-a3=3,S1,S3,S2成等差数列,则Sn的最大值为　　　　.  18.已知数列{an}是正项等比数列,其前n项和为Sn,且a2a4=16,S5=S3+24. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an+log2an}的前n项和为Tn,求满足Tn<2 024的最大正整数n的值. 19.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设cn=an+(-1)nbn(n∈N+),求数列{cn}的前2n项和. 能力提升练 题组一　等比数列的前n项和的有关计算 1.已知数列{an}中,an=2×3n-1,则数列{}的前n项和为(　　) A.-1　　　　B.　　　　C.　　　　D.-1 2.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a3与S2分别为方程x2+3x-4=0的两个实根,则S4=(　　) A.5　　　　B.8　　　　C.15　　　　D.-15 3.数列{an}中,a1=2,an+1=2an,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 4.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,已知最底层正方体的棱长为4,若该塔形几何体由7个正方体构成,则该塔形几何体的表面积(含最底层正方体的底面积)为(　　) A.127　　　　B.127　　　　C.143　　　　D.159 题组二　等比数列前n项和的性质及其应用 5.若数列{xn}满足lg xn+1=1+lg xn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为(　　) A.200　　　　B.120　　　　C.110　　　　D.102 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3=2,S6=9S3,则S9=(　　) A.50　　　　B.100　　　　C.146　　　　D.128 7.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0,则公比q=　　　　.  题组三　与等比数列有关的数列求和 8.若数列{an}满足a1=0,a2=1,an=则数列{an}的前10项和为(　　) A.60　　　　B.61　　　　C.62　　　　D.63 9.已知数列{an}满足a1=1,an+=0. (1)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和Sn. 10.已知数列{an}满足++…+=n-1+. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an+n,求数列{bn}的前(n+1)项和Tn+1. 题组四　等比数列前n项和的综合应用 11.如图,已知每行的数字之和构成的数列为等比数列,记该数列的前n项和为Sn,且bn=,将数列{bn}中的整数项依次取出组成新的数列{cn},则c20=(　　) A.545　　　　B.51　　　　C.560　　　　D.48 12.如图,P1是一块半径为2a的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到纸板P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得纸板P3,P4,…,Pn,记第n块纸板Pn的面积为Sn,则S3=　　　　,如果∀n∈N+,Sn>恒成立,那么a的取值范围是　　　　.  13.数列{an}满足+++…+=. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn.若对任意正整数n,(3n+4)m≥(2n-5)××2n恒成立,求m的最小值. 答案与分层梯度式解析 1.B　设等比数列{an}的公比为q,则q===2, 所以{an}的前5项和为==31.故选B. 2.D　设等比数列{an}的公比为q, 则==3,则q3=3, 所以====4,故选D. 3.B　设该女子第n天织布an尺,则{an}是公比为2的等比数列,设其前n项和为Sn, 则S5==5,解得a1=. 故选B. 4.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,则q>0, 由a9=4a7得a7q2=4a7,易知a7≠0,所以q=2, 又a1=1,所以an=a1qn-1=2n-1. (2)Sm==2m-1=31,解得m=5. 5.D　由等比数列的性质可知,S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等比数列, 则S5(S15-S10)=,即10(S15-40)=(40-10)2,解得S15=130, 又S5(S20-S15)=(S10-S5)(S15-S10),所以10(S20-130)=30×90,解得S20=400. 6.C　设数列{an}的前n项和为Sn则由题意可得S奇+S偶=4S偶,故S偶=S奇, 设等比数列{an}的公比为q,共有2k(k∈N+)项, 则S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=S奇,所以q=, 由a1a2a3==64,可得a2=4,因此a1==12.故选C. 7.答案　-3 解析　解法一:∵Sn=3×2n+a, ∴当n=1时,a1=S1=6+a; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3×2n+a)-(3×2n-1+a)=3×2n-1,∴a2=6,a3=12. 又{an}是等比数列,∴=a1a3, ∴62=(6+a)×12,解得a=-3, 此时a1=3,符合an=3×2n-1,且{an}是等比数列. ∴a=-3. 解法二:设等比数列{an}的公比为q,易知q≠1, ∵Sn==-qn, ∴设=A,则Sn=-Aqn+A, 又Sn=3×2n+a,∴a=-3. 8.答案　50 解析　设T1=a1+a3+a5+…+a99,T2=a2+a4+a6+…+a100,则=q=, 所以S100=T1+T2=2T2+T2=3T2=150,所以T2=50. 故答案为50. 9.答案　-++1 解析　记该数列为{an},其前n项和为Sn,易得an=n+, 所以Sn=(1+2+3+…+n)+=+=-++1. 10.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q, 由a3+a4=20a2,得a1q2+a1q3=20a1q, ∵{an}是由正数组成的等比数列,∴a1>0,q>0, ∴q2+q-20=0,解得q=4或q=-5(舍去), 又a5=256,所以a1q4=256,解得a1=1, ∴an=a1qn-1=4n-1. (2)由(1)可得bn=an+log2an=4n-1+log24n-1=4n-1+2n-2, ∴Tn=(1+0)+(4+2)+(16+4)+…+(4n-1+2n-2) =(1+4+16+…+4n-1)+(0+2+4+…+2n-2) =+=+n2-n-. 11.解析　(1)因为{an}为正项等比数列,且a1a5==64,所以a3=8. 设等比数列{an}的公比为q,则q3==8, 解得q=2. 故an=a6qn-6=64×2n-6=2n. (2)由(1)可得(3n-2)an=(3n-2)×2n, 所以Tn=1×21+4×22+7×23+…+(3n-2)×2n, 则2Tn=1×22+4×23+…+(3n-5)×2n+(3n-2)×2n+1, 两式相减,可得-Tn=2+3(22+23+…+2n)-(3n-2)×2n+1=2+3×-(3n-2)×2n+1=(5-3n)·2n+1-10. 故Tn=(3n-5)·2n+1+10. 12.解析　设该数列的前n项和为Sn. 当a=1时,数列为1,3,5,7,…,2n-1, 则Sn==n2; 当a≠0且a≠1时, Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,① aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an,② ①-②,得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an, 即(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)=1-(2n-1)an+2×=1-(2n-1)an+, ∴Sn=+. 综上,Sn= 13.A　依题意得a1+a2=1,所以an+an+1=2n-1, 当n≥2时,an-1+an=2n-2,则an+1-an-1=2n-2, 所以a2 024=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2 024-a2 022) =1+2+23+25+…+22 021=1+=, 故选A. 14.D　因为S5=a1+a2+a3+a4+a5=a1(1+q+q2+q3+q4),3a1+a2+a4=a1(3+q+q3),且a1>0,S5<3a1+a2+a4,所以1+q+q2+q3+q4<3+q+q3,即q4+q2-2<0, 所以0<q2<1,所以-1<q<0或0<q<1,故选D. 15.答案　7 解析　因为x2-5x+4=0,所以(x-1)(x-4)=0,解得x=1或x=4,因为数列{an}是公比大于1的等比数列,所以a1=1,a3=4,设公比为q(q>1),则q2==4,则q=2,所以S3===7. 16.答案　64 解析　设等比数列{an}的公比为q(q>0), 由可得 所以所以a1a2…an=q1+2+…+(n-1)=8n×=, 于是当n=3或n=4时,a1a2…an取得最大值,为26=64. 17.答案　4 解析　设等比数列{an}的公比为q, 由已知得S3-S1=S2-S3,即a2+a3=-a3, ∴a3=-a2,∴q=-, 又a1-a3=a1-a1q2=3,∴a1=4. 当n为奇数时,Sn=×≤×=4; 当n为偶数时,Sn=×<. 综上,Sn的最大值为4. 18.解析　(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1, 因为an>0,所以q>0, 依题意可得即 故q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去), 所以an=a3qn-3=2n-1. (2)由(1)可知an+log2an=2n-1+n-1, 故Tn=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1) =2n-1+, 显然,Tn随着n的增大而增大, 又T10=210-1+45=1 068<2 024, T11=211-1+55=2 102>2 024, 所以满足Tn<2 024的最大正整数n的值为10. 19.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 则q==3,a1=b1==1,a14=b4=b3q=27, 故a14=a1+13d=1+13d=27,所以d=2, 所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)可得bn=3n-1,故(-1)nbn=-(-3)n-1, 所以cn=2n-1-(-3)n-1, 所以数列{cn}的前2n项和为(a1+a2+…+a2n)-[1+(-3)+…+(-3)2n-1]=-=4n2+-. 能力提升练 1.B　因为===9,且=4, 所以{}是首项为4,公比为9的等比数列, 所以{}的前n项和为=. 2.A　设等比数列{an}的公比为q,由x2+3x-4=0,可得x1=-4,x2=1, 因为a3与S2分别为方程x2+3x-4=0的两个实根, 所以或 若则解得 若则无实数解. 所以S4==5. 3.C　∵an+1=2an,∴=2, ∴数列{an}是以a1=2为首项,2为公比的等比数列, ∴an=2×2n-1=2n,∴ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1+2k+2+…+2k+10==2k+1×(210-1), 又ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25=25×(210-1), ∴2k+1=25,∴k+1=5,解得k=4.故选C. 4.答案　D　 信息提取　①该塔形几何体是由7个正方体构成的,且从下到上各正方体的棱长构成首项为4,公比为的等比数列;②该塔形几何体的表面积=2×最底层正方体的下底面面积+4×各层正方体的下底面面积之和. 数学建模　本题以立体图形的表面积计算为背景,建立等比数列模型,利用等比数列的前n项和公式求解. 解析　设由下到上各层正方体的棱长构成数列{an}, 由题意可得,{an}是首项为4,公比为的等比数列, 所以an=4×, 则各层正方体的下底面面积为=16×=, 该塔形几何体由7个正方体构成,则该塔形几何体的表面积为2×42+4×=32+4×=159. 5.D　因为lg xn+1=1+lg xn, 所以lg xn+1-lg xn=lg=1,所以=10, 所以数列{xn}是以10为公比的等比数列, 所以lg(x101+x102+…+x200)=lg[(x1+x2+…+x100)×10100]=lg(100×10100)=102.故选D. 6.C　由题意得S3=a1+a2+a3=2,所以S6=9S3=18,所以S6-S3=18-2=16, 根据等比数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6为等比数列, 故=S3(S9-S6),即162=2(S9-18), 故S9=146. 7.答案　 解析　由210S30-(210+1)S20+S10=0,得210(S30-S20)=S20-S10. 又Sn为正项等比数列{an}的前n项和,故S20-S10≠0,∴=, ∵数列{an}是等比数列,其公比为q, ∴==q10, 故q10=,解得q=±, ∵{an}为正项等比数列,∴q>0,故q=. 方法技巧　已知公比为q(q≠0)的等比数列的前n项和为Sn,涉及Sn,S2n,S3n,…的关系或Sn与Sm的关系时考虑应用以下两个性质: 　　①Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn(q≠-1). 　　②Sn+m=Sn+qnSm. 8.B　当n≥3且n为奇数时,an-an-2=3, 又a1=0,所以a1+a3+a5+a7+a9==30, 当n≥3且n为偶数时,an=2an-2, 又a2=1,所以a2+a4+a6+a8+a10==25-1=31, 所以数列{an}的前10项和为(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=30+31=61.故选B. 9.解析　(1)若an+1=0,则an=0,这与a1=1矛盾,∴an+1≠0,an+=0可变形为2anan+1-an+an+1=0, 整理可得-=2,∴数列是以=1为首项,2为公差的等差数列,∴=1+2(n-1)=2n-1, ∴an=. (2)由(1)得===, 所以Sn=+++…+, Sn=++…++, 两式相减,得Sn=+++…+-=-=1-, 所以Sn=2-. 10.解析　(1)由题意知++…+=n-1+①, 当n=1时,=1,所以a1=2; 当n≥2时,++…+=n-2+②, ①-②,得=n-1+-=1-(n≥2), 所以an=2n-2(n≥2). 因为a1=2不满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an= (2)由(1)可得,bn=an+n= 所以Tn+1=b1+b2+b3+…+bn+bn+1 =3+(22+23+…+2n+1)+(0+1+2+…+n-1) =3++ =3+2n+2-4+=2n+2-1+, 所以Tn+1=2n+2-1+. 11.B　由题图知,每行的数字之和构成的等比数列的各项依次为20,21,22,23,…,易知其公比为2, ∴Sn==2n-1,∴bn=, 则数列{bn}的整数项依次为4,6,9,11,14,16,…, ∴数列{cn}的偶数项是以6为首项,5为公差的等差数列, ∴c2n=6+5(n-1)=5n+1,∴c20=5×10+1=51.故选B. 12.答案　a2;[,+∞) 解析　第一块纸板的面积S1=π(2a)2=2πa2, 第二块纸板的面积S2=2πa2-πa2=πa2, 第三块纸板的面积S3=πa2-π=πa2, …… 第n块纸板的面积Sn=2πa2 -=2πa2-2πa2 =2πa2-2πa2×=2πa2, 要使得∀n∈N+,Sn>恒成立,只需≥,解得a2≥506,故a∈[,+∞). 13.解析　(1)因为+++…+=①, 所以当n=1时,=,解得a1=1; 当n≥2时,++…+=②, ①-②得=-(n≥2),整理得an=2n-1(n≥2), 又a1=1适合上式,所以an=2n-1(n∈N+). (2)由(1)可得bn==, 所以Sn=1+++…+, Sn=++…++, 两式相减得Sn=1+++…+-=-=-×-, 整理得Sn=-. 因为对任意正整数n,(3n+4)m≥(2n-5)××2n恒成立, 所以(3n+4)m≥×2n,即m≥×恒成立. 设Tn=,则Tn+1-Tn=-=, 当n≤3时,Tn+1-Tn>0,即Tn+1>Tn; 当n≥4时,Tn+1-Tn<0,即Tn+1<Tn, 故Tn的最大值为T4=, 所以m≥×=,故m的最小值是. 29 学科网（北京）股份有限公司 $$