第1章 2.2 等差数列的前n项和（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

2.2　等差数列的前n项和 基础过关练 题组一　等差数列前n项和的有关计算 1.已知等差数列{an}满足a2+a8=10,若Sn为{an}的前n项和,则S9=(　　) A.45　　　　B.54　　　　C.63　　　　D.90 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a4+a7=22,则S19=(　　) A.380　　　　B.200　　　　C.190　　　　D.100 3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,S5=5S3-5,则a9=(　　) A.2　　　　B.-2　　　　C.3　　　　D.-1 4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使5人所得面包个数成等差数列,则最大一份与最小一份的和为(　　) A.30　　　　B.35　　　　C.40　　　　D.60 5.设等差数列{an}满足a2+a5=19,a6-a3=9. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和,若S11+Sk=Sk+2,求k的值. 题组二　等差数列前n项和的性质 6.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是12.5,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是(　　) A.0.5,0.5　　　　　B.0.5,1 C.1,0.5　　　　　D.0.5,2 7.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S2=15,S6=75,则S4=(　　) A.40　　　　B.45　　　　C.50　　　　D.55 8.在等差数列{an}的前(2m+1)(m∈N+)项中,奇数项的和与偶数项的和的比值为(　　) A.　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若 S2 023=2 023,且-=2 001,则a1=(　　) A.-2 021　　　　B.-2 020　　　　C.-2 019　　　　D.-2 018 10.有两个等差数列{an}、{bn},其前n项和分别为Sn、Tn. (1)若=,则=　　　　;  (2)若=,则=　　　　;  (3)若=,则=　　　　.  题组三　等差数列前n项和的函数特性 11.等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意正整数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某条上,则这条曲线是(　　) A B C D 12.若数列{an}满足a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和最大时,n的值为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn有最小值,若<-1,则使Sn<0成立的n的最大值为(　　) A.17　　　　B.16　　　　C.15　　　　D.14 14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 020>0,S2 021<0,则当n=　　　　时,Sn最大.  15.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2= -12,S5=-50. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn的最小值及此时n的值. 题组四　数列前n项和的求解 16.已知函数f(x)=x+3sin+,数列{an}满足an=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 022)=(　　) A.2 022　　　　B.2 023　　　　C.4 044　　　　D.4 046 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,Sn=10,则n等于(　　) A.90　　　　B.119　　　　C.120　　　　D.121 18.已知数列{an}的通项公式为an=lg,则其前99项和S99=　　　　.  19.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S2 023=　　　　.  20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=15,S12=222. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 能力提升练 题组一　等差数列的前n项和的有关计算 1.已知函数f(x)=x3+4x,记等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a3+2)=100, f(a2 020+2)=-100,则S2 022=(　　) A.2 022　　　　B.-2 022　　　　C.4 044　　　　D.-4 044 2.若[x]表示不超过x的最大整数(例如:[0.1]=0,[-0.1]=-1),数列{an}满足a1=3,an+1-an=2n+2(n∈N+),则[]+[]+…+[]=(　　) A.1 010×2 021　　　　　B.1 010×2 020 C.1 009×2 021　　　　　D.1 009×2 020 3.下图是一个3层六边形,图中所有点的个数S3为28,按此规律画下去,可以得到n层六边形,则Sn=(　　) A.4n+1 B.4n+2 C.2n2+3n D.2n2+3n+1 4.(多选题)我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题:“今有善走者,日增等里,首日行走一百里,九日共行一千二百六十里,问日增几何?”其大意是:现有一位善于步行的人,第一天行走了一百里,以后每天比前一天多走d里,九天他共行走了一千二百六十里,求d的值.关于该问题,下列结论正确的是(　　) A.d=15 B.此人第三天行走了一百二十里 C.此人前七天共行走了九百一十里 D.此人有连续的三天共行走了三百九十里 5.在数列{an}中,a1=,an+1=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若(4n+2)bn=an,求数列{bn}的前n项和Sn. 题组二　等差数列前n项和的性质 6.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 7.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N+,都有=,则+的值为　(　　) A.　　　　B.　　　 C.　　　　D. 8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=　　　　.  9.在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100=　　　　.  题组三　等差数列前n项和的函数特性 10.已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R),则“c=0”是“{an}为等差数列”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 11.设Sn为等差数列{an}的前n项和,且∀n∈N+,都有<.若<-1,则(　　) A.Sn的最小值是S17　　　　　B.Sn的最小值是S18 C.Sn的最大值是S17　　　　　D.Sn的最大值是S18 12.(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,下列说法正确的是(　　) A.若Sn=n2+2n-1,则an=2n+1 B.若an=3n-23,则Sn的最小值为-77 C.若an=4n-3,则数列{(-1)nan}的前17项和为-33 D.若数列{an}为等差数列,且a1 011+a1 012<0,a1 000+a1 024>0,则当Sn<0时,n的最大值为2 023 题组四　等差数列前n项和的应用 13.蚊香(如图1)具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”如图2所示.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,以AB为一边作等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,此段圆弧为第一段圆弧,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　) A.44π　　　　B.64π　　　　C.70π　　　　D.80π 14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a3>0,a3+a4<0,则的取值范围是　 　 　,的取值范围是　　　　.  15.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-14n+2. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 16.近几年,电动汽车领域有了长足的发展.某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,每年所需的人工、维修等费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大?最大是多少万元? (2)引进该生产线几年后年平均盈利最大?最大是多少万元? 答案与分层梯度式解析 1.A　由等差数列的性质可知a1+a9=a2+a8=10,所以S9===45. 2.A　设等差数列{an}的公差为d,则a4+a7=2a1+9d=22,又a1=2,所以d=2,所以S19=19×2+×2=380. 3.A　记等差数列{an}的公差为d, 由S5=5S3-5可得5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,① 因为=,所以S6=3S3,即6a1+15d=3(3a1+3d),整理可得a1=2d,② 联立①②可得a1=,d=, 故a9=a1+8d=2.故选A. 4.C　设5人分到的面包个数从小到大依次为a1,a2,a3,a4,a5,由题意得该数列为等差数列,则a1+a2+a3+a4+a5==100,所以a1+a5=40,故选C. 5.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,由得解得故an=a1+(n-1)d=3n-1. (2)由(1)可知Sn==, 因为S11+Sk=Sk+2,所以+=,整理得6k=180,解得k=30. 6.A　设此等差数列为{an},公差为d,前n项和为Sn,则S偶-S奇=5d=15-12.5=2.5,得d=0.5. 故S10=10a1+×0.5=15+12.5=27.5,解得a1=0.5. 7.A　由题意可得数列S2,S4-S2,S6-S4成等差数列, 所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),即15+(75-S4)=2(S4-15),解得S4=40. 8.B　设等差数列{an}的前n项和为Sn, 则前(2m+1)项中,S奇=,S偶=,∵a1+a2m+1=a2+a2m,∴=. 9.A　设等差数列{an}的公差为d,易得=a1+d, 则是以a1为首项,为公差的等差数列. 因为-=2 001,所以2 001×=2 001, 解得d=2,则S2 023=2 023a1+×2=2 023, 所以a1=-2 021,故选A. 10.答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)=====. (2)=====. (3)因为{an},{bn}为等差数列,且=, 所以可设Sn=kn(2n+3),Tn=kn(n+1)(易错点:Sn,Tn均为关于n的不含常数项的二次函数), 则a5=S5-S4=65k-44k=21k,b10=T10-T9=10k×11-9k×10=20k,所以=. 规律总结　若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=,=·(bn≠0,T2n-1≠0). 11.C　由等差数列的前n项和公式可知Sn=na1+=n2+n,设f(x)=x2+x,当a1>0,d<0时,f(x)的图象开口向下,对称轴在y轴右侧,C符合要求. 故选C. 12.B　解法一:由题意得an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列, 所以Sn=19n+×(-3)=-n2+n=-+, 因为n∈N+,≈6.8,所以当n=7时,Sn取得最大值,故选B. 解法二:由题意得an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列, 所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n,要使{an}的前n项和最大,则需即 所以≤n≤,又n∈N+,所以n=7,故选B. 13.C　因为Sn有最小值,所以d>0,所以a9>a8,因为<-1,所以a8<0,a9>0,且a9+a8>0,所以S16==>0,S15==15a8<0,所以当1≤n≤15时,Sn<0,所以使Sn<0成立的n的最大值为15.故选C. 14.答案　1 010 解析　因为S2 020= =>0, S2 021===2 021a1 011<0,所以a1 010>0,a1 011<0,所以当n=1 010时,Sn最大. 15.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 则解得 ∴an=-14+(n-1)×2=2n-16. (2)由(1)可得Sn=-14n+×2=n2-15n=-, 所以当n=7或n=8时,Sn取得最小值,Sn的最小值为S7=S8=-56. 16.A　∵f(1-x)=1-x+3sin+, ∴f(x)+f(1-x)=2. ∵an+a2 023-n=+=1,∴f(an)+f(a2 023-n)=2.令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 022), 则S=f(a2 022)+f(a2 021)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2 022,∴S= 2 022.故选A. 17.C　∵an==-,∴Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1, 令-1=10,则n+1=121,∴n=120. 18.答案　2 解析　an=lg=lg(n+1)-lg n,所以S99=lg 2-lg 1+lg 3- lg 2+…+lg 100-lg 99=2. 19.答案　 解析　因为an==-, 所以S2 023=a1+a2+a3+…+a2 023 =+++…+ =1-=. 20.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 则解得 所以an=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)得an=3n-1, 所以bn===, 所以Tn= ==, 所以数列{bn}的前n项和Tn=. 能力提升练 1.D　易知函数f(x)=x3+4x的定义域为R,关于原点对称, ∵f(-x)+f(x)=(-x)3+4(-x)+x3+4x=0, ∴f(x)是R上的奇函数. ∵f(a3+2)=100, f(a2 020+2)=-100, ∴f(a3+2)+f(a2 020+2)=0, ∴a3+2+a2 020+2=0, ∴a3+a2 020=-4=a1+a2 022, ∴S2 022==1 011×(-4)=-4 044. 故选D. 2.A　∵an+1-an=2n+2, ∴an-an-1=2(n-1)+2=2n,an-1-an-2=2n-2,……,a3-a2=6,a2-a1=4, 累加可得an-a1=4+6+…+(2n-2)+2n==n2+n-2, 又a1=3,∴an=n2+n+1, ∵n2<n2+n+1<(n+1)2,∴[]==n, 故[]+[]+…+[]=1+2+…+2 020== 1 010×2 021. 故选A. 3.D　设除公共顶点外,第n层上的点的个数为an,由题意得a1=5,a2=5+4×1=9,a3=5+4×2=13,……,所以{an}是以5为首项,4为公差的等差数列,所以Sn=a1+a2+a3+…+an+1=5n+×4+1=2n2+3n+1.故选D. 4.BCD　设此人第n天走an里,则数列{an}是公差为d的等差数列,记{an}的前n项和为Sn, 由题意可得a1=100,S9=9a1+36d=900+36d=1 260,解得d=10,所以A错误; a3=a1+2d=100+20=120,所以B正确; S7=7a1+21d=910,所以C正确; a3+a4+a5=3a4=390,所以D正确.故选BCD. 5.解析　(1)由an+1=得-=4,又=2, 所以数列是以2为首项,4为公差的等差数列, 所以=2+4(n-1)=4n-2,则an=. (2)因为(4n+2)bn=an, 所以bn===, 所以Sn= ==. 6.A　由等差数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列, ∵=,∴S6=3S3,故(S6-S3)-S3=S3, ∴S9-S6=3S3,S12-S9=4S3, ∴S9=6S3,S12=10S3, ∴==. 7.D　由等差数列的性质可得b2+b10=b5+b7=b1+b11,a3+a9=a1+a11, ∴+=====. 8.答案　4 解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4. 9.答案　101 解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意可知,Sm=135,前m项中偶数项之和S偶=63,∴前m项中奇数项之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+===72-63=9. ∵Sm==135,∴m=15, 又∵am-a1=14,am=a1+(m-1)d, ∴d=1,则a1=2, ∴a100=a1+99d=101. 10.A　若数列{an}为等差数列,设其公差为d,则Sn=na1+=n2+n, 记a=,b=a1-,则Sn=an2+bn, 故“c=0”是“{an}为等差数列”的充要条件. 11.A　由<得<,即an<an+1,∴数列{an}为递增的等差数列, ∵<-1,∴a17<0,a18>0,∴当n≤17且n∈N+时,an<0,当n≥18且n∈N+时,an>0, ∴Sn有最小值,最小值为S17.故选A. 12.BC　对于A,由Sn=n2+2n-1知,当n=1时,a1=S1=2,由an=2n+1知,当n=1时,a1=3,故A错误; 对于B,易知{an}为等差数列,公差d=3>0,所以{an}是递增数列,令an<0,得n<,故a7<0,a8>0, 所以当n=7时,Sn取得最小值,为7×(3-23)+×3=-77,故B正确; 对于C,设数列{(-1)nan}的前n项和为Tn,则T17=-a1+a2-a3+a4-…-a15+a16-a17=(-1+5)+(-9+13)+…+(-57+61)-65=4×8-65=-33,故C正确; 对于D,a1 011+a1 012=a1+a2 022<0,a1 000+a1 024=a1+a2 023>0,所以S2 022=<0,S2 023=>0,故当Sn<0时,n的最大值为2 022,故D错误. 故选BC. 13.D　由题意可知每段圆弧所对的圆心角都是,且每段圆弧的半径依次增加1, 则第n段圆弧的半径为n,记第n段圆弧的长为an,则an=·n, 所以这15段“蚊香”的长度为×(1+2+3+…+15)=×=80π. 故选D. 14.答案　; 解析　∵a3>0,a3+a4<0,∴a4<0,d<0. 由得 又d<0,∴-<<-2. ∴的取值范围为. === =2+.∵-<<-2,∴-4<2×+1<-3, ∴-<<-1,∴<2+<1,即<<1.∴的取值范围为. 15.解析　(1)当n=1时,S1=1-14+2=-11,即a1=-11, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-14n+2-[(n-1)2-14×(n-1)+2]=2n-15, a1=-11不满足上式,所以an= (2)令an≤0,得n≤,所以当1≤n≤7时,an<0,当n≥8时,an>0. 当1≤n≤7时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn= -n2+14n-2, 当n≥8时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a7|+|a8|+…+|an| =-(a1+a2+…+a7)+a8+…+an=-S7+(Sn-S7)=Sn-2S7=n2-14n+96, 所以Tn= 易错警示　①该问题中数列{an}不是等差数列,只是从第2项起成等差数列,故它的通项公式需写成分段的形式; 　　②求数列{|an|}的前n项和时,要对an的正负情况进行分类讨论,前n项和也要写成分段的形式. 16.解析　(1)设n年后的总盈利为Sn万元, 根据条件可知,每年的人工、维修等费用(单位:万元)是首项为24,公差为8的等差数列, 则Sn=100n--196 =-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204, 所以当n=10时,Sn取得最大值204,故引进该生产线10年后总盈利最大,最大是204万元. (2)设引进该生产线n年后年平均盈利为Tn万元, 则Tn==-4n-+80=-+80≤-2+80=24, 当且仅当4n=,即n=7时,等号成立, 所以引进该生产线7年后年平均盈利最大,最大为24万元. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$