第1章 2.2 等差数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

2.2 等差数列的前n项和 §2 等差数列 知识点 1 等差数列的前n项和公式 知识 清单破 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn=  Sn=na1+ d 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点2　 　　等差数列{an}的前n项和公式可化为关于n的表达式:Sn=na1+ = n2+ n. (1)该表达式中没有常数项; (2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即Sn是关于n的二次函数,它的图 象是抛物线y= x2+ x上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 知识点 2 等差数列{an}的前n项和公式的函数特性 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点3　 1.公差为d的等差数列中,每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列. 2.若等差数列的项数为2n(n∈N+),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd(d为等差数列的公差), = (S奇 ≠0,an≠0); 　　若等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0). 3.{an}为等差数列⇒ 为等差数列(Sn为数列{an}的前n项和). 4.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn ,则 = (bn≠0,T2n-1≠0). 知识点 3 等差数列前n项和的性质 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.某一小组6名同学的年龄(单位:岁)构成首项为15,公差为0的等差数列,则这6名同学的年龄 (单位:岁)之和为90. (　    ) 2.有编号分别为1~10的10个盒子,在1号盒子中放1粒米,从2号盒子起,每个盒子都比前一个盒 子多放1粒米,则这10个盒子中共有55粒米. (　    ) 3.等差数列的前n项和公式一定是常数项为0的关于n的二次函数. (　    ) 4.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列. (　    ) 5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6一定成等差数列. (　    ) 知识辨析 √ √ ✕ 提示 ✕ 提示 ✕ 提示 公差为0时,等差数列的前n项和公式是关于n的一次函数. 等差数列的前n项和公式是关于n且不含常数项的表达式,而题中Sn=n2+1有常数项,所 以{an}不是等差数列. 若Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4一定成等差数列,只有当{an}为常数列时, S2,S4,S6才成等差数列. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.求等差数列的前n项和 (1)已知条件与d有关,则运用公式Sn=na1+ d求其前n项和; (2)已知条件与等差数列的项an有关,则运用公式Sn= 求其前n项和,解题时与等差数列 的性质结合可以起到事半功倍的效果. 2.等差数列问题共涉及五个量:a1,d,n,an及Sn,利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可 “知三求二”.其解题通法可以概括为:设出基本量a1,d,构建方程组.因此利用方程思想求出 基本量a1,d是解决等差数列问题的基本途径. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 等差数列前n项和公式及其应用 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 在等差数列{an}中,Sn为其前n项和. (1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n的值. 典例 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d. 解法一:由已知得  解得 ∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210. 解法二:由已知得  ∴d=4,∴a1+a10=42, ∴S10= =5×42=210. (2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6. ∴Sn= = = =510, ∴n=20. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为 简、化难为易、事半功倍的效果. 利用性质解决等差数列前n项和运算有以下两种思维方法: (1)整体思想:利用公式Sn= ,设法求出“整体”,即a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列方程组求出 A,B的值即可;也可以利用 是关于n的一次函数,设 =an+b(a≠0)进行计算. 疑难 2 等差数列前n项和性质的应用 讲解分析 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 在等差数列{an}中,设其前n项和为Sn. (1)已知a4=2,求S7; (2)已知S5=3,S10=7,求S15; (3)已知S10=100,S100=10,求S110. 典例 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)S7= ×7×(a1+a7)= ×7×2a4=7a4=7×2=14. (2)易知数列S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即3,7-3,S15-7成等差数列,所以2×(7-3)=3+S15-7,解得S15= 12. (3)解法一:设等差数列{an}的公差为d, 则 解得  所以S110=110a1+ d=110× + × =-110. 解法二:易知S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为d',由其前10项和为10S10 + d'=S100=10,得d'=-22, 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 所以S110-S100=S10+(11-1)d'=100+10×(-22)=-120. 所以S110=-120+S100=-110. 解法三:易知数列{an}是公差不为0的等差数列,所以设其前n项和Sn=An2+Bn(A≠0). 由S10=100,S100=10,得  解得  故Sn=- n2+ n, 故S110=- ×1102+ ×110=-110. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 求等差数列{an}(公差d≠0)的前n项和Sn的最值的常用方法 (1)二次函数法:用配方法转化为求解二次函数的最值问题,解题时要注意n∈N+; (2)邻项变号法:可利用 或 来寻找正、负项的分界点. 疑难 3 等差数列前n项和的最值的求法 讲解分析 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 已知{an}为等差数列,设其前n项和为Sn,且a1=25,S17=S9,求Sn的最大值. 典例 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设等差数列{an}的公差为d. 解法一:∵S17=S9, ∴17a1+ d=9a1+ d, 又a1=25,∴d=-2, ∴Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13)2+169, 由二次函数的性质知,当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169. 解法二:易知Sn= n2+ n(d<0). 由其对应的二次函数y= x2+ x(x>0,d<0)的图象是开口向下的抛物线,最高点的横坐标 为x= =13,可得S13最大,同解法一得d=-2, 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ∴S13=13×25+ ×(-2)=169, 即Sn的最大值为169. 解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0,结合等差数列的性质得a13+a14=0,∵a1>0,∴d<0,∴a13>0,a14 <0.当n=13时,Sn取得最大值.由a13+a14=a1+12d+a1+13d=0及a1=25得d=-2,∴S13=13×25+ × (-2)=169,即Sn的最大值为169. 导师点睛    在解题时可根据题设情况灵活选用求解方法,在利用二次函数的知识求解等差数 列前n项和的最值问题时要注意项数n为正整数. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 疑难4　 　　等差数列的前n项和公式主要应用于求解实际问题中的总数问题,如材料的总数目、行 程问题中的总行程等.只要是等差数列,就可以应用前n项和公式计算总数,求解时注意从实际 问题中抽象出的数学模型要准确,即建模合适. 疑难 4 等差数列前n项和公式在实际问题中的应用 讲解分析 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 某剧场有40排座位,第1排有20个座位,从第2排起,每一排都比它的前一排多2个座位. (1)求该剧场的座位数; (2)若该剧场一场演出的票价如下:第1排至第10排每张200元,第11排至第30排每张150元,其 余每张100元,求该剧场满座时,一场演出的收入. 典例 解析    (1)设该剧场从第1排到第40排,各排的座位数依次排成一列后构成数列{an},其前n项 和为Sn.根据题意,数列{an}是一个首项为20,公差为2的等差数列, 故S40=40×20+ ×2=2 360. 故该剧场的座位数为2 360. (2)由(1)可得S10=10×20+ ×2=290, S30=30×20+ ×2=1 470, 故该剧场满座时,一场演出的收入为200S10+150(S30-S10)+100(S40-S30)=324 000(元). 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 疑难5　 1.倒序相加法求和 在数列{an}中,如果与首末两项等距离的两项之和均等于首末两项之和,且这些两项之和均为 同一个常数,那么可把正着写求和与倒着写求和的两个和式相加,通过求常数列的各项和来 求数列{an}的前n项和,这一求和的方法称为倒序相加法. 2.裂项相消法求和 　　裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项(或多项)差的形式,使求和时的一些项 可有规律抵消,从而达到求和的目的.利用裂项相消法求和时要注意抵消后的剩余项有哪些, 连接剩余项的符号是加号还是减号.常见的裂项技巧有: (1)若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,则 =  ; 讲解分析 疑难 5 与等差数列有关的数列的和 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 (2) = - ; (3)loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1,n∈N+. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 已知等差数列{an}满足a8=3a3,a1+a2=4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn. 典例 思路点拨    (1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件求出a1,d,进而求出数列{an}的通项公式. (2)由(1)得出bn的表达式,利用裂项相消法求出Tn. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d, ∵ ∴  解得  ∴an=2n-1. (2)由(1)知bn=  = - , ∴Tn= + +…+  =1- = . 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$