第1章 3.2 等比数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

3.2 等比数列的前n项和 §3 等比数列 知识点 1 等比数列的前n项和公式 知识 清单破 已知量 求和公式 首项、公比 与项数 Sn=  首项、末项 与公比 Sn=  第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点2　 1.当公比q>0且q≠1时,设A= ,则等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是关于n的指数 型函数. 2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,即Sn是关于n的正比例函数. 知识点 2 等比数列{an}的前n项和公式的函数特性 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点3　 　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其前n项和公 式可推得Sn有如下性质: (1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N+. (2)当q≠-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列. (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则 =q;若项数为2n+1,则 = q. (4)当q=1时, = ;当q≠±1时, = . 知识点 3 等比数列前n项和的性质 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.一架无人机放置在地面上,每分钟上升的高度(单位:m)构成以20为首项,2为公比的等比数 列,则5分钟后这架无人机离地的高度不超过600 m. (　    ) 2.10位同学的身高(单位:cm)构成等比数列,若第1位同学与第10位同学的身高均为160 cm,则 这10位同学的身高之和为16 m.(　    ) 3.n个工厂的生产总值(单位:千万元)构成一个数列,且其总和Sn=3×2n-3,则这个数列是等比数 列. (　    ) 4.已知数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和Sn= . (　    ) 知识辨析 ✕ √ √ 当a=1时,Sn=n,题中结论不成立. 提示 ✕ 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍构成等比数列.(　    ) 6.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列. (　    ) ✕ 提示 ✕ 提示 当公比为-1时不成立. 当a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是递增数列,此时an<0,从而{Sn}是递减数列,结论错误. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.等比数列的前n项和公式中分了公比q=1和q≠1两种情况,因此当公比未知时,要先对公比 进行分类讨论,再求和. 2.若已知a1,q(q≠1)和n,则用Sn= 求Sn较简便;若已知a1,q(q≠1)和an,则用Sn= 求Sn 较简便. 3.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个量,已知其中三个量就可利用通项公式和前n项和 公式求出另外两个量. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 等比数列前n项和公式的应用 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn. 典例1 思路点拨    思路一:设Sn=Aqn-A(A≠0) 由S4=1,S8=17求出A,q 求出Sn; 思路二:将S4=1,S8=17代入Sn= (q≠1),求出a1,q 求出Sn. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设等比数列{an}的公比为q. 解法一:由S4=1,S8=17,知q≠±1,故设Sn=Aqn-A(A≠0),∴ 两式相除并化简,得q4=16, ∴q=±2,A= . 当q=2时,Sn= (2n-1); 当q=-2时,Sn= [(-2)n-1]. 解法二:由S4=1,S8=17,知q≠±1, ∴  两式相除并化简,得q4=16,∴q=±2. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 当q=2时,a1= ,Sn= = (2n-1); 当q=-2时,a1=- ,Sn= = [(-2)n-1]. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺; 莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?” 意思是:今有蒲生长一日,长为3尺;莞生长一日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增 加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为(结果保留整数.参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)  (　    ) A.1日　    B.2日　    C.3日　    D.4日 典例2 C 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设蒲每天生长的尺数构成等比数列{an}, 则其首项a1=3,公比为 , 设其前n项和为An,则An= . 设莞每天生长的尺数构成等比数列{bn}, 则其首项b1=1,公比为2, 设其前n项和为Bn,则Bn= . 令 = ,即2n+ =7, 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ∴2n=6或2n=1(舍去), ∴n= =1+ ≈3, ∴大约3日蒲、莞长度相等,故选C. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 疑难2　 　　根据等比数列的概念和前n项和公式,可推导出等比数列前n项和的若干性质,在等比数 列前n项和的有关问题中,恰当运用性质能简化运算,快速解题. 讲解分析 疑难 2 等比数列前n项和性质的应用 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 (1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=　　　    ; (2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公 比为　　　    ,项数为　　　    ; (3)若{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n-1+t,则t=　　　    . 典例 思路点拨    (1)应用当q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列求解. (2)根据等比数列前n项和的性质求解. (3)利用等比数列前n项和的函数特性求解. 30  2 8  - 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,设公比为q1(q1>0),则S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=2× (1+q1+ )=14, 解得q1=2(负值舍去), 所以S4n-S3n=2 =2×8=16, 所以S4n=S3n+16=14+16=30. (2)设该数列的公比为q2,项数为2n,奇数项的和为T奇,偶数项的和为T偶, 则q2= = =2. 则该数列的奇数项构成以1为首项, =4为公比,n为项数的等比数列, 所以 =85,所以4n=256,解得n=4. 所以原数列的项数为8. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 (3)Sn=3n-1+t= ·3n+t, 由等比数列前n项和的函数特性知t=- . 解后反思    本例中各小题均可列出关于首项和公比的方程组来求解,但灵活运用性质往往能 简化运算,且思路清晰. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.分组求和法 一般地,若{an},{bn}中一个是等差数列,一个是等比数列,则常用分组求和法求数列{an±bn}的 前n项和,即先分别求{an},{bn}的前n项和,再将两个和式合在一起. 2.错位相减法 已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为公比不为1的等比数列,由这两个数列中序号相同的项 的乘积组成的新数列为{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}和式中的各项乘{bn}的 公比q,并向后错位一项,与{anbn}和式中q的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,这 种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则需对其进行分类讨论. 讲解分析 疑难 3 与等比数列有关的数列求和 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1. (1)证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列　　　    的前n项和Sn. 从条件①{bn+log2bn},② ,③{nbn}中任选一个补充在横线中,并解答. 典例 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1), 因为a1+1=2≠0, 所以 =2,即 =2, 所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知,数列{bn}的通项公式为bn=2·2n-1=2n. 选①.bn+log2bn=2n+n, 则Sn=(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n) =(21+22+…+2n)+(1+2+…+n) = +  =2n+1+ . 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 选②. = = - , 则Sn= + + +…+ =1- = . 选③.nbn=n·2n, 则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n, 2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1, 两式相减得,Sn=-(2+22+…+2n)+n·2n+1 =- +n·2n+1=(n-1)·2n+1+2. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$