1_1 集合的概念与表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

1.集合的概念 　　一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对 象称为该集合的元素,简称元. 　　集合常用大写拉丁字母表示,如集合A,B,…,集合的元素常用小写拉丁字母表示,如a,b,…. 2.集合中元素的特性 (1)确定性:集合中的元素必须是确定的. (2)无序性:集合中的元素并无先后顺序,即任何两个元素都可以交换顺序. (3)互异性:集合中的元素一定是不同的. 1.1 集合的概念与表示 必备知识 清单破 知识点 1 元素与集合的相关概念 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 3.元素与集合的关系 　　属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”或“⋷”表示). 4.集合相等 　　如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元 素),那么称这两个集合相等. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 1.常用数集及其记法 知识点 2 集合的表示与分类   非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集   N N*或N+ Z Q R 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 2.集合的表示方法 (1)列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内. (2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式. 　　为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn 图. 3.集合的分类 　　含有有限个元素的集合称为有限集. 　　含有无限个元素的集合称为无限集. 　　不含任何元素的集合称为空集,记作⌀. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 1.参加2023年杭州第19届亚运会曲棍球比赛项目的运动员可以组成一个集合吗? 参加2023 年杭州第19届亚运会的高水平运动员可以组成一个集合吗? 2.由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有几个元素? 3.集合{x|x>0}与{y|y>0}是相等集合吗? 4.已知下列三个集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},它们是不是相同的集合? 5.⌀和{⌀}表示的意义相同吗? 知识辨析 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 1.参加2023年杭州第19届亚运会曲棍球比赛项目的运动员是确定的,具有确定性,可以组成集 合.“高水平”无确定的标准,故高水平运动员不具有确定性,不可以组成集合. 2.2个.方程x2-4=0的根为x=±2,方程x-2=0的根为x=2,根据集合中元素的互异性知,集合中有2个 元素. 3.是.集合{x|x>0}与{y|y>0}的代表元素虽然不同,但都表示大于零的实数构成的集合,故是相 等集合. 4.不是.集合A表示函数y=x2+1中自变量x的取值范围,为R;集合B表示函数y=x2+1中因变量y的 取值范围,为{y|y≥1};集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的点集. 5.不相同.⌀是不含任何元素的集合,而集合{⌀}中含有一个元素⌀. 一语破的 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 1.确定性的应用 (1)判断一组对象是否构成集合的标准. (2)元素在集合中,元素就满足集合的限制条件;元素不在集合中,元素就不满足集合的限制条 件.由此可以列出关系式,进而得到参数的值或取值范围. 2.互异性的应用 　　互异性主要体现在求出参数后要代入检验,看看所求的集合中的元素是否互不相同. 3.无序性的应用 　　无序性是分类讨论思想的应用标准.若给出元素属于某集合,则它可能等于集合中的任 一元素;若给出两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等. 关键能力 定点破 定点 1 集合中元素特性的应用 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x. (1)若x2∈B,求实数x的值; (2)是否存在实数a,x,使A=B?若存在,求出实数a,x的值;若不存在,请说明理由. 思路点拨：(1)根据确定性列出关于x的方程,并求出x的值,再结合集合中元素的互异性检验x 的值是否满足题意. (2)因为B中有0,而A中a2+1>0,所以集合A中另外两个元素中必有0,分别令A中另外两个元素 为0,求得a的值,代入验证A是否等于B即可. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 解析： (1)由x2∈B,得x2=0或x2=1或x2=x,解得x=0或x=±1. 由集合中元素的互异性, 可知x≠0,x≠1,故x=-1. (2)不存在.理由如下:显然a2+1≠0. 由集合中元素的无序性,可知a-3=0或2a-1=0. 若a-3=0,则a=3, 此时A={0,5,10}≠B; 若2a-1=0,则a= ,此时A= ≠B. 故不存在实数a,x,使A=B. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 1.方法的选择 　　当集合中元素个数较少或元素个数多但有规律时可考虑用列举法;当集合中元素个数多 且有公共属性或无限时可考虑用描述法. 2.用列举法表示集合时的省略 　　元素个数多或元素个数无限但有规律时,在不发生误解的情况下,可按照规律列出几个 代表元素,其他元素用省略号表示.如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 00 0},“自然数集N”可以表示为{0,1,2,3,…}. 3.用描述法表示集合时的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素及其范围,如数或点等; (2)除代表元素外的字母,要说明其含义或指出其取值范围; 定点 2 集合的表示 (3)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确; (4)所有描述的内容都要写在“{}”内,且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 用适当的方法表示下列集合: (1)在自然数集内,小于2 021的奇数构成的集合; (2)方程(x+1)(x2-2)=0的根构成的集合; (3)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合; (4)已知集合A= ,用列举法表示集合A. 典例 思路点拨： (1)先表示出自然数集内的奇数,再结合限制条件用描述法表示. (2)求出方程的根后用列举法表示. (3)结合平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标的符号特征表示. (4)由 ∈N先找出8-x的所有可取的值,再结合x∈N得出x的值,最后求代表元素 的值, 进而用列举法表示. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念    (1)自然数集内的奇数可以表示为2n+1,n∈N, 故原题用描述法表示为{x|x=2n+1,n∈N且x<2 021}. (2)解(x+1)(x2-2)=0,得x=-1或x=± ,故方程的根构成的集合为{-1,- , }. (3)用有序实数对(x,y)作为代表元素,用描述法表示此集合为{(x,y)|x<0,且y>0}. (4)∵ ∈N, ∴8-x可取的值有1,2,4,8,16, ∴x的可能值有7,6,4,0,-8, 又x∈N,∴x可取7,6,4,0, ∴ 可取16,8,4,2, ∴A={2,4,8,16}. 解析： 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 求解含参数的集合问题的思路 (1)若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论,分类时要明确分类标准,如在方程 ax+b=0中,要讨论一次项系数a是不是0,在方程ax2+bx+c=0中,要讨论二次项系数a是不是0. (2)利用条件列出含参数的关系式,求解可得到参数的值或取值范围,要注意利用集合中元素 的特性对参数进行检验. 定点 3 集合中的参数问题 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R}. (1)若A是空集,求实数a的取值范围; (2)若A中只有一个元素,求实数a的值; (3)若A中有两个元素,求实数a的取值范围; (4)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围; (5)若A中至少有一个元素,求实数a的取值范围. 典例 思路点拨：对参数a进行分类讨论:a=0 一元一次方程 直接求解;a≠0 一元二次 方程 运用判别式Δ求解. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念   (1)若A=⌀,则方程ax2-3x+1=0无实数根, 则 解得a> . 故实数a的取值范围为 . (2)当a=0时,原方程可以化为-3x+1=0,解得x= ,符合题意; 当a≠0时,只需Δ=9-4a=0,解得a= . 故实数a的值为0或 . (3)若集合A中有两个元素,则方程ax2-3x+1=0有两个不相等的实数根, 所以  解析： 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 解得a< 且a≠0. (4)若集合A中至多有一个元素,则A=⌀或A中只有一个元素. ①当A=⌀时,由(1)得a> ; ②当A中只有一个元素时,由(2)得a=0或a= . 综上,实数a的取值范围为 a a=0或a≥  . (5)若集合A中至少有一个元素,则A中有一个元素或两个元素. 当集合A中只有一个元素时,由(2)得a=0或a= ; 当集合A中有两个元素时,由(3)得a< 且a≠0. 综上,实数a的取值范围为 . 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 $$