第6章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　不能正确理解样本与总体的关系致错 1.中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶.“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗,2016年11月30日,“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产,也被誉为“中国的第五大发明”.某小学三年级共有学生500名,随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”,只能说出“春、夏”两句的有45人,能说出“春、夏、秋”三句及其以上的有32人,据此估计该校三年级的500名学生中,对“二十四节气歌”只能说出第一句“春”或一句也说不出的有(　　) A.69人　　　　B.84人　　 C.108人　　　　D.115人 易错点2　不能正确计算数据的数字特征致错 2.(多选)有甲、乙两组数据,甲:1,2,a,b,10;乙:1,2,5,6,11,其中a,b∈N+,若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数,要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差,则(a,b)可以为(　　) A.(5,6)　　B.(7,5)　　C.(6,6)　　D.(8,4) 3.佩带香囊是端午节传统习俗之一,香囊内通常填充一些中草药,有散发清香、驱虫、开窍的功效.经研究发现:一批香囊中一种草药甲的含量x(单位:克)与香囊功效y之间满足y=15x-x2.现从中随机抽取6个香囊,得到香囊中草药甲的含量的平均值为6克,香囊功效的平均值为15,则这6个香囊中草药甲含量的标准差为(　　) A.　　B.　　C.3　　D.15 易错点3　对统计图理解不清致错 4.某中学高一年级举行了期中统一考试,随机抽取一部分学生的数学成绩(单位:分)并分组统计如下表: 分组 频数 频率 [0,30) 2 0.02 [30,60) 5 0.05 [60,90) 35 0.35 [90,120) m n [120,150] 13 0.13 合计 M N (1)求出表中m,n,M,N的值,并根据表中数据补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图估计这次数学成绩的样本数据的第35百分位数; (3)命题老师在考前期待这份试卷成绩的平均分在95分到105分之间,请你根据频率分布直方图估计最终成绩是否符合他的期待. 思想方法练 一、数形结合思想在统计学中的应用 1.从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本,考查竞赛的成绩分布,将样本分成5组,绘成频率分布直方图(如图),图中从左到右各小组的小矩形的高之比为1∶3∶6∶4∶2,最右边一组的频数是6,请结合直方图提供的信息,解答下列问题: (1)样本容量是多少? (2)列出频率分布表; (3)成绩落在哪个范围内的人数最多?并求出该小组的频数、频率; (4)估计这次竞赛中,成绩不低于60分的学生占总人数的百分比. 2.共享单车入住某市以来,因其“绿色出行,低碳环保”的理念而备受人们的喜爱.某机构为了解共享单车使用者的年龄段、使用频率和满意度三个方面的信息,在全市范围内发放5 000份调查问卷,回收到有效问卷3 125份,现从中随机抽取80份,分别对使用者的年龄段、26~35岁使用者的使用频率、26~35岁使用者的满意度进行汇总,得到下表: 表一 使用者 年龄段 25岁及 以下 26~ 35岁 36~ 45岁 46岁及 以上 人数 20 40 10 10 表二 使用 频率 0~6 次/月 7~14 次/月 15~22 次/月 23~31 次/月 人数 5 10 20 5 表三 满意度 非常满意 [9,10] 满意 [8,9) 一般 [7,8) 不满意 [6,7) 人数 15 10 10 5 (1)依据上述表格完成下列三个统计图: (2)某城区现有常住人口30万,请用样本估计总体的思想,试估计年龄在26~35岁之间每月使用共享单车在7~14次的人数. 二、函数与方程思想在统计学中的应用 3.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. (1)求某户居民一个月的电费y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份电费小于260元的占80%,求a,b的值; (3)根据(2)中求得的数据计算1月份用电量的第75百分位数. 4.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,若备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到柱形图如图所示: 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n∈N). (1)若n=19,求y与x的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值; (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.D　由题意得100名学生中只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生有100-45-32=23(人), 故估计该校三年级的500名学生中,对“二十四节气歌”只能说出第一句“春”或一句也说不出的有500×=115(人). 易错提示 正确区分样本与总体,并用样本来估计总体. 2.BCD　由题意可得,乙组数据的平均数为×(1+2+5+6+11)=5,中位数为5, 所以甲组数据的平均数为×(1+2+a+b+10)=5, 所以a+b=12. 因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差, 所以(1-5)2+(2-5)2+(a-5)2+(b-5)2+(10-5)2<(1-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(11-5)2, 即(a-5)2+(b-5)2<12, 又a,b∈N+,所以(a,b)可以为(4,8),(5,7),(6,6),(7,5),(8,4).故选BCD. 3.B　设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为xi克,香囊功效分别为yi(i=1,2,…,6), 因为草药甲的含量的平均值为6克,香囊功效的平均值为15, 所以x1+x2+…+x6=6×6=36,y1+y2+…+y6=6×15=90,所以15(x1+x2+…+x6)-(++…+)=90,所以++…+=450, 所以这6个香囊中草药甲含量的方差s2=[(x1-6)2+(x2-6)2+…+(x6-6)2]=[(++…+)-12(x1+x2+…+x6)+6×36]=×(450-12×36+6×36)=39,所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为.故选B. 易错警示 要结合具体情境理解数字特征的计算、意义和作用,明白每一种数字特征的优势和不足,并能根据现实问题的需要选择恰当的数字特征来表达数据的信息. 4.解析　(1)由频率分布表,得M==100,所以m=100-(2+5+35+13)=45, 所以第四组的频率n==0.45. 由频率之和为1,可得N=1.补全的频率分布直方图如下: (2)由题意知抽取的总人数为100,前两组的频率之和为0.02+0.05=0.07,第三组的频率为0.35,所以第35百分位数在第三组内,=0.8,0.8×30=24,所以第35百分位数为60+24=84(分). (3)由频率分布直方图可得平均成绩为0.02×15+0.05×45+0.35×75+0.45×105+0.13×135=93.6(分), 因为93.6<95,所以估计最终成绩不符合命题老师的期待. 易错警示 利用直方图求众数、中位数、平均数等的结果均为近似值,其往往与实际得出的数据不一致.但它们能粗略估计众数、中位数、平均数等数字特征. 思想方法练 1.解析　(1)设样本容量为n. ∵最右边一组的频数是6,从左到右各小组的小矩形的高之比为1∶3∶6∶4∶2, ∴2∶(1+3+6+4+2)=6∶n,解得n=48. (2)频率分布表如下: 分组 频数 频率 [50,60) 3 [60,70) 9 [70,80) 18 [80,90) 12 [90,100] 6 合计 48 1 (3)成绩落在[70,80)内的人数最多,频数为18,频率为. (4)样本中成绩不低于60分的学生占总人数的×100%=93.75%.∴估计这次竞赛中,成绩不低于60分的学生占总人数的93.75%. 2.解析　(1)如图. (2)由表一可知,年龄在26~35岁之间的有40人,占总抽取人数的一半,用样本估计总体的思想可知,该城区30万人口中年龄在26~35岁之间的约有30×=15(万人). 又年龄在26~35岁之间每月使用共享单车在7~14次之间的有10人,占此年龄段总抽取人数的,用样本估计总体的思想可知,年龄在26~35岁之间每月使用共享单车在7~14次之间的约有15×=(万人). 思想方法 对于考查用样本估计总体的有关问题,要明确统计图表的含义,会读取图表中的信息,同时还要注意各种数据的特征,从而作出判断. 3.解析　(1)当0≤x≤200时,y=0.5x; 当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60;当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140. 所以y与x之间的函数解析式为 y= 根据题目信息列出y与x的关系式,应用了函数思想. (2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量不超过400千瓦时的占80%, 结合频率分布直方图可知, 解得 (3)设第75百分位数为m,由题图知用电量不超过300千瓦时的频率为(0.001 0+0.002 0+0.003 0)×100=0.6,用电量不超过400千瓦时的频率为0.8,所以第75百分位数在(300,400]内,所以0.6+(m-300)×0.002 0=0.75,解得m=375,故1月份用电量的第75百分位数为375千瓦时. 4.解析　(1)当x≤19时,y=3 800; 当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700, 所以y=(x∈N). (2)由题中柱形图知,需更换的易损零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台在购买易损零件上的费用为4 300元,10台在购买易损零件上的费用为4 800元, 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元). 若每台机器在购机的同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台在购买易损零件上的费用为4 500元, 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050(元). 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 思想方法 函数与方程思想在本章中主要体现在(1)利用频率和为1列方程或求平均数,中位数等;(2)在样本数字特征的计算中,构造函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$