4.3.3 对数函数的图象与性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

4.3.3　对数函数的图象与性质 1 | 对数函数的概念 　　对数运算y=logax(x>0,a>0且a≠1)确定了一个函数,叫作(以a为底的)对数函数. 　　指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.这时,指数函数的定 义域(-∞,+∞)成了对数函数的值域,指数函数的值域(0,+∞)是对数函数的定义域. 　　一般地,若f(x)和g(x)互为反函数,则它们的图象关于直线y=x轴对称.两者中一个 递增另一个也递增,一个递减另一个也递减,但两者的单调区间一般不相同. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 图象     定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 图象过定点(1,0) 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 2 | 对数函数的图象与性质 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 1.从左向右,对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势? 当0<a<1时,对数函数y=logax的图象从左向右呈下降趋势;当a>1时,对数函数y=lo gax的图象从左向右呈上升趋势. 知识辨析 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 2.已知对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如图.如何根据图象判断底 数a,b,c,d及1的大小关系? 作直线y=1,设函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象与直线y=1分别交 于A,B,C,D,如图,则其坐标分别为(a,1),(b,1),(c,1),(d,1),则交点的横坐标与底数的 大小相等,因此由图象可知b>a>1>d>c. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 3.函数y=logax(a>0,且a≠1)与函数y=lo x的图象关于x轴对称吗? 设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),则y=lo x= =-logax=-f(x),由于函数y=f(x)的图 象与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,所以函数y=logax的图象与函数y=lo x的图 象关于x轴对称. 4.给定一个函数,如何判断该函数是否有反函数? ①从函数观点来判断,就是由式子y=f(x)解出x,得x=φ(y)后,看对于任意一个y的值, 由式子x=φ(y)能否确定唯一的x值与之对应. ②用图象来判断,就是看函数y=f(x)的图象与任意一条垂直于y 轴的直线是否至多 只有一个交点. ③单调函数必有反函数. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 1　对数型函数的图象及其应用   1.对数型函数图象过定点问题 　　求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出它的 解x0,即确定所过的定点为(x0,m). 2.函数图象的变换规律 (1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或 向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般可经过对称变换得到. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数  典例    (1)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间 [m2,n]上的最大值为2,则m+n=         ; (2)设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc的取值范围是     (0,1)    . 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 解析    (1)函数f(x)=|log2x|的图象如图所示,   结合图象,由f(m)=f(n),m<n,可得0<m<1<n, 所以0<m2<m<1. 结合图象可知,当x=m2时,f(x)在[m2,n]上取得最大值, 所以f(m2)=|log2m2|=2, 又0<m<1,所以m= , 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 所以f(n)=f =1, 又n>1,所以log2n=1,可得n=2, 所以m+n= +2= . (2)由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个交点,作出函数y=| lg x|的图象与直线y=c,如图所示, 结合图象可知,|lg a|=|lg b|=c,0<c<1, 又a<b<10, 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 ∴-lg a=lg b=c, ∴lg a+lg b=lg ab=0, ∴ab=1, ∴abc的取值范围是(0,1). 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 2　与对数型函数有关的定义域、值域问题   1.求对数型函数定义域的注意点 (1)求对数型函数的定义域,要注意真数大于0,即在y=loga f(x)(a>0,且a≠1)中应首 先保证f(x)>0. (2)若底数中也含有参数,则参数应使底数大于0且不等于1. 2.求对数型函数值域的常用方法 (1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,结合函数的性质,直 接得出函数的值域. (2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠ 0,a>0,且a≠1))时,可以用配方法求函数的值域. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 (3)根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域. (4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0,且a≠1)的函数值域的步骤:①换元,令u=f(x),利用 函数的图象和性质求出u的范围;②利用y=logau的图象和性质求出y的取值范围, 即函数的值域. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数  典例    (1)求函数f(x)=lo (x2+2x+3)的值域; (2)求函数y=(lo x)2- lo x+5在区间[2,4]上的最大值和最小值. 思路点拨　确定函数的复合形式,由定义域求“中间变量”的范围,由“中间变 量”的范围求函数的值域. 解析    (1)f(x)=lo (x2+2x+3)=lo [(x+1)2+2], 因为(x+1)2+2≥2, 所以lo [(x+1)2+2]≤lo 2=-1, 所以函数f(x)的值域是(-∞,-1]. (2)因为2≤x≤4, 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 所以lo 4≤lo x≤lo 2, 即-2≤lo x≤-1. 设t=lo x,则-2≤t≤-1, 所以y=t2- t+5, 其图象的对称轴为直线t= , 因此y=t2- t+5在[-2,-1]上单调递减, 所以当t=-2,即x=4时,ymax=10; 当t=-1,即x=2时,ymin= . 易错警示    解题时要注意函数的定义域对结果的影响,避免因不求定义域而导致 解题错误. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 3　与对数函数有关的复合函数的单调性   求复合函数的单调性的两个要点 (1)单调区间是定义域的子集. (2)若a>1,则y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0<a<1,则y=loga f(x)的单 调性与y=f(x)的单调性相反. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数  典例　函数y=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 (    D    ) A.(-∞,-2)　　　    B.(-∞,1) C.(1,+∞)　　　    D.(4,+∞) 思路点拨　根据“同增异减”求解单调区间,注意对数的真数应大于0. 解析    由x2-2x-8>0得x<-2或x>4,即x∈(-∞,-2)∪(4,+∞), 令t=x2-2x-8,x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),则y=ln t(t>0), 又y=ln t是其定义域上的增函数, t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减, ∴函数y=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞), 故选D. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 名师指导     解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域, 再根据“同增异减”原则判断函数的单调性. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4　如何比较对数值的大小   比较对数值大小常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性比较. (2)同真数的利用对数函数的图象比较或用换底公式转化后再比较. (3)底数和真数都不同的,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨 论. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数  典例    (1)已知a=log52,b=ln 2,c=log5 ,则 (    C    ) A.a>b>c　　　    B.a>c>b C.b>a>c　　　    D.b>c>a (2)设1<x<10,则下列不等关系正确的是 (    C     ) A.(lg x)2>lg x2>lg(lg x) B.(lg x)2>lg(lg x)>lg x2 C.lg x2>(lg x)2>lg(lg x) D.lg x2>lg(lg x)>(lg x)2 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 解析    (1)log5 <log51=0,∴c<0, 0=log51<log52<log55=1,∴0<a<1, 0=ln 1<ln 2<ln e=1,∴0<b<1, a=log52= ,b=ln 2= , ∵log25>log2e>0,∴ < , ∴b>a,∴b>a>c.故选C. (2)∵1<x<10,∴0<lg x<1,∴lg(lg x)<lg 1=0,又易知lg x2=2lg x>0,(lg x)2>0,且 =  = < = <1,∴lg x2>(lg x)2>0, ∴lg x2>(lg x)2>lg(lg x),故选C. 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 $$